Э. Капленко,
г. Воронеж

Чертеж в стереометрических задачах

Пособие для учителей

11 класс

Задача № 7. Грани параллелепипеда – равные ромбы со стороной a и острым углом 60°. Найдите объем параллелепипеда.

Нужно обосновать построение изображения высоты параллелепипеда.

1. Обоснование чертежа

Предположим, что ABCDA₁B₁C₁D₁ – параллелепипед с нижним основанием ABCD, все грани которого являются ромбами со стороной a и острым углом 60°. Очевидно, что при одной вершине параллелепипеда, каждая из которых является также вершиной трехгранного угла, могут сочетаться лишь плоские углы с градусными мерами {60°; 60°; 60°} или {60°; 120°; 120°} (это следует из свойств многогранных углов; сумма всех плоских углов меньше 360°; каждый из плоских углов меньше суммы всех остальных). Будем считать, что в вершине A сходятся три плоских угла по 60°.

Предполагая, что O – проекция вершины A₁ на плоскость нижнего основания (т. е. что A₁O – одна из высот параллелепипеда), можно заключить, что O принадлежит диагонали AC ромба ABCD (рис. 8).

Рис. 8

Учитывая величины внутренних углов ромбов-граней, нетрудно установить, что пирамида A₁ABD является правильным тетраэдром, и потому основанием высоты A1O этого тетраэдра является центр правильного треугольника ABD (на чертеже это точка пересечения медиан). Ввиду полученных результатов можно установить наиболее рациональную последовательность конструирования чертежа: его следует начать с построения правильного тетраэдра A₁ABD, который затем достроить до параллелепипеда.

2. Вычислительная часть

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ – параллелепипед с высотой A₁O (OОAC) и нижним основанием ABCD; AB=AD=AA₁ = a, РA₁AB=РBAD=РA₁AD = 60°.

Найти .

Решение.

Ответ: 

Задача № 8. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ (ABCD – нижнее основание). Найдите величину угла между плоскостью грани ABB₁A₁ куба и плоскостью, проходящей через диагональ AB₁ этой грани и середину M ребра DC куба.

Необходимо обосновать:

а) построение сечения куба плоскостью AB₁M;
б) построение линейного угла двугранного угла между плоскостью ABB₁ и секущей плоскостью AB₁M.

1. Обоснование чертежа

а) Для построения сечения данного куба плоскостью AB₁M найдем K = AMЗBC, соединим K с вершиной B1 и найдем N = BKЗCC₁. Соединив точки M и N, получим четырехугольник AB₁NM, который и является сечением.

Из равенства треугольников ADM и KCM следует, что KC = AD, а из равенства DCKN и DC₁B1N следует, что CN = C₁N, т. е. что N – середина ребра CC₁. Легко видеть, что DAB₁K равнобедренный, а сечение AB₁NM является равнобочной трапецией (AB₁пкMN, так как это линии пересечения параллельных плоскостей плоскостью AB₁M) (рис. 9).

Рис. 9

б) Рассмотрим двугранный угол с ребром AB₁ (т. е. угол, образованный полуплоскостями AB₁B и AB₁K). Для плоскости ABB₁ прямая KB является перпендикуляром (KB^BA, KB^BB₁ Ю KB^(ABB₁)), а прямая KO – наклонной (O = AB₁ЗA₁B), поэтому OB – проекция OK на плоскость ABB₁. На основании определения угла между прямой и плоскостью как угла между прямой и ее проекцией на эту плоскость можно заключить, что Р BOK – угол между плоскостью грани ABB₁A₁ куба и секущей плоскостью AB₁M.

2. Вычислительная часть

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ – куб; M – середина DC, AMЗBC = K, BKЗCC₁ = N – середина CC₁; РBOK – линейный угол двугранного угла при ребре AB₁.

Найти РBOK.

Решение. Пусть a – длина ребра куба.

Ответ:

Задача № 9. В правильной четырехугольной призме через середины двух смежных сторон основания проведена плоскость, пересекающая три боковых ребра и наклоненная к плоскости основания под углом j. Сторона основания равна a. Найдите площадь полученного сечения.

Необходимо обосновать:

а) построение сечения куба заданной плоскостью;
б) построение линейного угла двугранного угла между секущей плоскостью и плоскостью основания куба.

1. Обоснование чертежа

Пусть ABCDA₁B₁C₁D₁ – данная призма. Так как она правильная, то ее основания – квадраты, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Пусть M – середина AD, N – середина DC. Возьмем произвольную точку B0 на ребре BB₁ и будем считать (B₀MN) секущей плоскостью.

а) Построение сечения начнем с построения точек M₁=MNЗAB и N₁=MNЗBC. Точки M₁ и B₀ лежат в плоскости грани ABB₁A₁, а N₁ и B₀ – в плоскости грани BCC₁B₁. Проводя через них прямые, получим вершины сечения на ребрах AA₁ и CC₁, A₀=M₁B₀ЗAA₁, C₀=N₁B₀ЗCC₁. Искомым сечением является пятиугольник MA₀B₀C₀N (рис. 10).

Рис. 10

Легко видеть, что пятиугольник MA₀B₀C₀N симметричен относительно прямой B₀K (это следует из того, что диагональная плоскость BDD₁B₁ является плоскостью симметрии для данной призмы, ввиду чего пары точек M®N, A₀®C₀ симметричны относительно нее).

б) Для построения линейного угла двугранного угла с ребром MN между плоскостями B₀MN и ABC нужно пересечь его плоскостью, перпендикулярной ребру. На чертеже такой плоскостью является (BB₀K). В самом деле, BK^MN, так как BK^AC (диагонали квадрата перпендикулярны) и MNпкAC (MN – средняя линия DACD); B0K^MN – по теореме о трех перпендикулярах; таким образом, прямая MN оказывается перпендикулярной двум пересекающимся прямым BK и B₀K плоскости BB₀K, поэтому на основании признака перпендикулярности прямой и плоскости MN^(BB₀K). Теперь можно применить определение линейного угла двугранного угла, из которого следует, что РB₀KB – линейный угол двугранного угла между секущей плоскостью и плоскостью основания призмы. По условию РB₀KB=j.

2. Вычислительная часть

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ – правильная призма, ABCD и A₁B₁C₁D₁ – квадраты, AB = a; M – середина AD, N – середина DC, B₀ОBB₁; MA₀B₀C₀N – сечение куба (A₀ОAA₁, C₀ОCC₁); РB₀KB=j (K=MNЗBD).

Найти

Решение. 1. SABCD = a².

2.  (это легко видеть из разбиения квадрата на треугольники его средними линиями, одной диагональю и средними линиями треугольников, на которые диагональ разбивает этот квадрат)  (рис. 11).

Рис. 11

3. Пятиугольник MABCN является ортогональной проекцией пятиугольника MA₀B₀C₀N. Так как угол между плоскостями этих пятиугольников известен (j), то можно воспользоваться известной теоремой об ортогональной проекции многоугольника, S_F' = S_Fcos j, где F – многоугольник, а F' – его ортогональная проекция на плоскость, которая образует с плоскостью многоугольника F угол j.

Ответ:

Задача № 10. Образующая прямого кругового конуса равна a и составляет с плоскостью основания угол j. Найдите объем описанной около конуса пирамиды, основанием которой служит ромб с острым углом a.

Необходимо обосновать:

а) построение изображения пирамиды с ромбическим основанием, описанной около конуса;
б) построение изображения угла между какой-нибудь образующей конуса и плоскостью основания.

1. Обоснование чертежа

а) Будем считать, что изображение прямого кругового конуса дано. Тогда построение описанной около него пирамиды с ромбическим основанием сведется к построению изображения ромба, описанного около данной окружности (а это одно из базовых построений на изображениях плоских фигур); сначала проводится анализ оригинала основания, затем строится изображение основания, которое затем достраивается до изображения полной фигуры.

Анализ оригинала основания. – два произвольных диаметра окружности; стороны ромба – касательные к окружности в концах этих диаметров (рис. 12).

Рис. 12

Построение изображения основания. A₀C₀ и B₀D₀ – два произвольных (не сопряженных) диаметра эллипса; AB, BC, CD, AD – касательные к эллипсу в точках A₀, B₀, C₀, D₀ (рис. 13).

Рис. 13

Итак, пусть SABCD – пирамида, описанная около конуса. Это означает, что пирамида и конус имеют общую высоту SO, где O = ACЗBD – центр окружности, лежащий в основании конуса. Если при этом A₀, B₀, C₀, D₀ – точки касания сторон AB, BC, CD, DA ромба ABCD и окружности основания конуса, то SA₀, SB₀, SC₀, SD₀ – образующие конуса, которые являются линиями прикосновения боковой поверхности конуса с боковыми гранями пирамиды, рис. 14.

Рис. 14

б) Возьмем образующую SA₀, она является наклонной к плоскости основания. Тогда OA₀ – проекция этой образующей на плоскость основания. По определению угла между прямой и плоскостью, РSA₀O – это угол, который составляет с плоскостью основания образующая SA₀. По условию РSA₀O=j.

2. Вычислительная часть

Дано: F – конус с высотой SO; SA₀ – образующая, SA₀=a, РSA₀O=j; SABCD – пирамида, описанная около конуса F: SA₀, SB₀, SC₀, SD₀ – линии прикосновения конуса и пирамиды; ABCD – ромб, РA=РC=a< 90°.

Найти V_SABCD.

Решение.

1. В D SOA₀  SO = asin j, OA₀=acos j.

Задачи для самостоятельного решения (с указаниями)

1. В основании пирамиды лежит треугольник с внутренними углами a и b и радиусом описанной окружности R. Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом g. Найдите объем пирамиды.

Указание. Нужно обосновать:

а) построение изображения основания высоты пирамиды;
б) построение углов между боковыми ребрами пирамиды и плоскостью ее основания.

Ответ:

2. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны a и b, а его диагональ составляет с боковой гранью, содержащей сторону a, угол 30°. Найдите объем параллелепипеда.

Указание. Нужно обосновать построение угла между диагональю параллелепипеда и его боковой гранью.

Ответ:

3. Чему равен объем прямоугольного параллелепипеда, диагональ которого длины a составляет с плоскостью основания угол a, а с боковой гранью – угол b?

Указание. Нужно обосновать:

а) построение угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания;
б) построение угла между диагональю и плоскостью боковой грани.

Ответ:

4. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 3 см и 5 см, а одна из диагоналей основания равна 4 см. Найдите длину большей диагонали параллелепипеда, зная, что меньшая образует с плоскостью основания угол 60°.

Указание. Установить, какая из диагоналей параллелепипеда является меньшей (использовать свойства наклонных к плоскости и их проекций на эту плоскость). Обосновать построение угла между меньшей диагональю и плоскостью нижнего основания параллелепипеда.

Ответ: 10 см.

5. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб со стороной 4 см и углом 60°. Большая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите боковую поверхность параллелепипеда.

Указание. Установить, какая из диагоналей параллелепипеда является большей. Обосновать построение угла между этой диагональю и плоскостью нижнего основания.

Ответ: .

6. Одно ребро тетраэдра равно 4 см, а каждое из остальных 3 см. Найдите объем тетраэдра.

Указание. Обосновать построение изображения основания высоты пирамиды. В качестве основания тетраэдра можно брать равнобедренный треугольник (тогда все боковые ребра равны) или равносторонний треугольник; в первом случае обоснование чертежа является более простым.

Ответ:

7. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна см, а ее боковое ребро  см. Найдите величину двугранного угла при основании пирамиды.

Указание. Нужно обосновать:

а) в какую точку плоскости основания проецируется вершина пирамиды;
б) построение на чертеже линейного угла двугранного угла при основании пирамиды.

Ответ: 60°.

8. В треугольнике ABC AC=BC=10 см, РA=РB=30°. Прямая BD перпендикулярна плоскости данного треугольника и BD=5 см. Найдите расстояние от точки D до прямой AC.

Указание. Нужно обосновать построение изображения перпендикуляра из точки D на прямую AC. При этом следует учесть, что РACB тупой, и потому основание этого перпендикуляра будет внешней точкой по отношению к отрезку AC (рис. 15).

Рис. 15

Ответ: 10.

9. Точка M, лежащая вне плоскости данного прямого угла, удалена от вершины угла на расстояние a, а от его сторон на расстояние b. Найдите расстояние от точки M до плоскости угла.

Указание. Обосновать построение проекций точки M на плоскость, в которой лежит данный угол, и на его обе стороны.

Ответ:

10. В равнобедренном треугольнике основание и высота равны 4 см. Данная точка находится на расстоянии 6 см от плоскости треугольника и на равных расстояниях от его вершин. Найдите это расстояние.

Указание. Необходимо обосновать построение изображения основания перпендикуляра из данной точки на плоскость данного треугольника.

Ответ: 6,5.

11. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Все двугранные углы при основании пирамиды равны 60°. Найдите высоту пирамиды.

Указание. Нужно обосновать:

а) построение точки, являющейся основанием высоты пирамиды;
б) построение линейных углов двугранных углов при основании пирамиды.

Ответ:

12. Вычислите объем четырехугольной пирамиды, в основании которой лежит равнобедренная трапеция с нижним основанием 2 см, боковой стороной 1 см и острым углом 60°, если известно, что все боковые ребра пирамиды равны 2 см.

Указание. Обосновать построение изображения высоты (доказать при проведении обоснования чертежа, что основанием высоты пирамиды будет являться середина нижнего основания трапеции).

Ответ:

13. Дан куб ABCDA₁B₁C1D₁ с ребром a. Вычислите площадь сечения этого куба плоскостью, проходящей через диагональ AB₁ боковой грани и середину M ребра CD.

Ответ: .

14. Найдите площадь сечения куба ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через вершину D и середины M и N ребер A₁B₁ и B₁C₁, если ребро куба равно 1.

Ответ:

15. Высота цилиндра 8 см, радиус основания 5 см. Цилиндр пересечен плоскостью так, что в сечении получается квадрат. Найдите расстояние от плоскости сечения до оси цилиндра.

Указание. Доказать, что в сечении цилиндра плоскостью может получиться квадрат лишь в том случае, когда секущая плоскость параллельна оси цилиндра, причем высота цилиндра не должна превышать диаметра основания. Обосновать построение отрезка, выражающего расстояние от прямой (оси цилиндра) до параллельной ей плоскости (секущей).

Ответ: 3.

16. Образующая конуса равна 6 см и образует с его основанием угол 45°. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, проведенной через две его образующие, угол между которыми равен 60°.

Указание. Необходимо обосновать:

а) построение угла между образующей конуса и плоскостью его основания;
б) существование сечения, проходящего через две образующие, угол между которыми равен 60° (найдутся ли среди множества образующих конуса две такие, угол между которыми 60°?).

Ответ:

17. Высота конуса равна 6. Образующая конуса составляет с плоскостью основания угол 60°. В конус помещена пирамида, основанием которой служит равнобедренный прямоугольный треугольник, вписанный в основание конуса, а вершиной – середина одной из образующих конуса. Найдите объем пирамиды.

Ответ: 12.

18. В тетраэдре ABCD все ребра, кроме AB, имеют равные длины. Угол ACB – прямой. Найдите величину двугранного угла при ребре BC.

Указание. Нужно обосновать:

а) построение изображения высоты пирамиды;
б) построение изображения линейного угла двугранного угла при ребре BC.

Ответ:

Окончание. См. № 27–28/2002.

.