С. Шестаков,
Москва

Некоторые логарифмические неравенства

11 класс

В ряду стандартных неравенств особое место занимают логарифмические неравенства, содержащие переменную в основании логарифма, поскольку решение таких неравенств вызывает определенные трудности у школьников и абитуриентов. Наиболее распространенный способ решения этих неравенств заключается в рассмотрении двух случаев: 1) основание больше единицы; 2) основание положительно и меньше единицы. Другим методом решения является обобщенный метод интервалов, заключающийся в приведении неравенства к виду f(x)Ъ0 (где символом «Ъ» обозначен один из знаков >, <, і, Ј), разбиении D(f) нулями f(x) на несколько интервалов и определении знака f(x) на каждом интервале по ее знаку в одной из точек соответствующего интервала.

В этой статье будет рассмотрен еще один метод решения логарифмических неравенств, содержащих переменную в основании логарифма, основанный на замене функций (см. [3]). Напомним, что если область определения, нули и промежутки знакопостоянства функции f(x) соответственно совпадают с областью определения, нулями и промежутками знакопостоянства функции g(x), то неравенства p(x)f(x)і 0 и p(x)g(x)і0 равносильны. В частности, при а > 1

Суть метода состоит в приведении логарифмов неравенства к любому основанию, большему 1, и применении равносильного преобразования (1). Рассмотрим основные виды логарифмических неравенств, содержащих переменную в основании логарифма.

I. Неравенства вида log_h(x)f(x) < b

Применим формулу перехода к новому основанию и воспользуемся свойствами логарифмов:

Теперь остается воспользоваться преобразованием (1). Итак,

Важнейшими частными случаями являются неравенства вида log_h(x)f(x)<b при bО{0; 1; 2}.

Конечно же, «запоминать» системы (2)–(5) не надо. Следует помнить лишь об основной идее решения подобных неравенств, заключающейся в переходе к основанию, большему 1, и замене разности логарифмов разностью соответствующих функций при естественных ограничениях на каждую из них. Кроме того, обратим внимание на часто использующийся при решении подобных неравенств прием: если в качестве сомножителя левая часть неравенства содержит какой-либо логарифм (а не разность двух логарифмов), то для того, чтобы применить преобразование (1), необходимо представить этот логарифм в виде разности, вычтя из него нуль, записанный как логарифм единицы по тому же основанию. И еще одно замечание. Разумеется, аналогичные преобразования применимы как для неравенств противоположного знака, так и для нестрогих неравенств. Перейдем к решению примеров.

Пример 1. Решите неравенство log_{2x – 5}(5x – 2) і1.

Решение.

Ответ: (3; Ґ).

Для более компактной формы записи при решении всех следующих примеров некоторые очевидные преобразования будут опускаться.

Пример 2. Решите неравенство

Решение.

Последняя система легко решается методом интервалов.

Ответ: (–0,5; 0]И[1; 4).

Обратим внимание на то, что при решении предыдущего неравенства были использованы тождество |a|²=a² и замена функции |u(x)|–|v(x)| функцией u²(x)–v²(x) (см. [3]).

Пример 3. Решите неравенство log_2–x(x + 2)·log_x+3(3 – x)Ј0.

Решение.

Последняя система легко решается методом интервалов.

Ответ: (–2; –1]И(1; 2).

II. Неравенства вида log_h(x)f(x) < log_h(x)g(x)

Решение неравенства указанного вида (неравенства, рассмотренные выше, являются его частными случаями) проводится с помощью ставших, как можно надеяться, уже привычными преобразований:

Эти преобразования, разумеется, остаются в силе как для неравенств противоположного знака, так и для нестрогих неравенств.

Пример 4. Решите неравенство

Решение.

Ответ: {1}И(1,5; 3).

III. Неравенства вида log_f(x)h(x) < log_g(x)h(x)

Последняя группа стандартных логарифмических неравенств, содержащих неизвестную в основании логарифма, – неравенства, левая и правая части которых представляют собой логарифмы с разными основаниями от одной и той же функции. Равносильная система и в этом случае получается с помощью преобразований, аналогичных рассмотренным ранее.

Отметим, что эти преобразования применимы и в случае неравенства противоположного знака, и в случае нестрогих неравенств. Последнее особенно важно, поскольку случай равенства h(x) единице будет учтен в соответствующей системе, что позволит избежать потери решения, которая часто происходит при традиционном решении путем перехода к основанию h(x).

Пример 5. Решите неравенство

Решение.

Решение первого неравенства последней системы – объединение промежутков Пересечением решений трех оставшихся неравенств является множество Следовательно, решение всей системы:

Ответ:

Не вызывает сомнений, что в ряде случаев изложенный метод позволяет решать логарифмические неравенства, содержащие переменную в основаниях логарифмов, быстрее и эффективнее других методов. Соответствующие примеры легко найти во многих задачниках, например, в [1] или [2].

Литература

1. Куланин Е.Д., Федин С.Н. «5000 конкурсных задач по математике» – М.: Аст, 1999 г.
2. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. «Факультативный курс по математике. Решение задач. 11 класс» – М.: Просвещение, 1991г.
3. Шестаков С.А. «Замени функцию». «Математика», № 8/2002.