А. Мордкович, П. Семенов,
Москва

События, вероятности,
статистическая обработка данных

7-9 классы

Продолжение. См. № 34/2002.

Упражнения

1. Правило умножения

1. 

а) Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9?
б) Сколько среди них чисел кратных пяти?
в) Сколько среди них чисел кратных одиннадцати?г) Сколько среди них чисел кратных трем?

2. Несколько стран решили использовать для своего государственного флага символику в виде четырех вертикальных полос одинаковой ширины разных цветов — белого, синего, красного, зеленого. У каждой страны — свой флаг.

а) Сколько всего стран могут использовать такую символику?
б) Сколько всего стран могут использовать такую символику с первой белой полосой?
в) Сколько всего стран могут использовать такую символику с третьей зеленой полосой?
г) Сколько всего стран могут использовать такую символику с синей и красной полосами, расположенными рядом?

3. В футбольном турнире участвует несколько команд. Оказалось, что все они использовали для трусов и футболок белый, красный, синий, зеленый или желтый цвета, причем были использованы все возможные варианты.

а) Сколько команд участвовало в турнире?
б) Сколько команд играло в зеленых футболках?
в) У скольких команд футболки и трусы были разного цвета?
г) У скольких команд футболки и трусы были разного цвета, причем трусы были не красные?

4. На контрольной будет пять задач — по одной из каждой из пяти тем. Задачи будут взяты из общего списка по 10 задач в каждой теме. При подготовке к контрольной Вова решил только по 8 задач из каждой темы. Найдите:

а) общее число всех возможных вариантов контрольной работы;
б) число тех вариантов, в которых Вова умеет решать все пять задач;
в) число тех вариантов, в которых Вова ничего не сможет решить;
г) число тех вариантов, в которых Вова умеет решать все задачи, кроме первой.

5. В клетки квадратной таблички 2 ґ‘ 2 произвольно ставят крестики и нолики.

а) Сколькими способами можно заполнить эту табличку?
б) В скольких случаях в левой нижней клетке будет стоять крестик?
в) В скольких случаях в верхней левой и нижней правой клетках будут разные значки?
г) Решите задачи а), б) и в) для таблички 3 ґ 3.

2. Дерево вариантов

6. Вова точно помнит, что в формуле азотной кислоты подряд идут буквы H, N, O и помнит, что есть один нижний индекс – то ли двойка, то ли тройка.

а) Нарисуйте дерево возможных вариантов, из которых Вове придется выбирать ответ.
б) Сколько среди них тех, в которых индекс равен двойке?
в) Сколько среди них тех, в которых индекс стоит не на втором месте?
г) Как изменится дерево вариантов, если Вова помнит, что на первом месте точно стоит H, а порядок остальных букв забыл?

7. Одновременно происходят выборы мэра города и префекта округа. Кандидатуры на должность мэра выставили Алкин, Балкин, Валкин, а на должность префекта — Эшкин, Юшкин, Яшкин.

а) Нарисуйте дерево возможных вариантов голосования и определите с его помощью число различных исходов голосования.
б) В скольких вариантах будет кандидатура Эшкина?
в) В скольких вариантах фамилии кандидатов на должность мэра и на должность префекта состоят из разного числа букв?
г) Как изменятся ответы в а) и б), если учесть еще кандидата «против всех»?

8. Из четырех тузов поочередно выбирают двух.

а) Нарисуйте дерево возможных вариантов.
б) В скольких случаях среди выбранных будет бубновый туз?
в) В скольких случаях вторым выбранным будет туз пик?
г) В скольких случаях тузы будут разного цвета?

9. У Аси есть любимый костюм, в котором она ходит в школу. Она одевает к костюму белую, голубую, розовую или красную блузку, а в качестве «сменки» надевает босоножки или туфли. Кроме того, у Аси есть три разных бантика (№ 1, 2, 3), подходящих ко всем блузкам.

а) Нарисуйте дерево возможных вариантов Асиной одежды.
б) Сколько дней Ася сможет выглядеть по-разному в этом костюме?
в) Сколько дней она будет ходить в туфлях?
г) Сколько дней она будет ходить в красной блузке и босоножках?

10. Руководство некоторой страны решило сделать свой государственный флаг таким: на одноцветном прямоугольном фоне в одном из углов помещается круг другого цвета. Цвета решено выбрать из трех возможных: красный, желтый, зеленый.

а) Сколько вариантов такого флага существует?
б) Сколько из них флагов с кругом в верхнем правом углу?
в) Сколько флагов не желтого прямоугольного фона?
г) Сколько красных флагов с кругами в нижних углах?

3. Факториалы и перестановки

11. Вычислите:

12. Вычислите:

13. Делится ли 11! на:

а) 64;           б) 25;           в) 81;           г) 49?

14. На сколько нулей оканчивается число:

а) 10!;         б) 12!;          в) 15!;          г) 26!?

15. Сократите дробь:

16. Упростите выражение:

17. Решите в натуральных числах уравнение:

а) n! = 7(n – 1)!;

б) (k – 10)! = 77(k – 11)!;

в) (m+17)! = 420(m+15)!;

г) (3x)! = 504(3x-- 3)!.

18.

а) На дверях четырех одинаковых кабинетов надо повесить таблички с фамилиями четырех заместителей директора. Сколькими способами это можно сделать?
б) В 9 «А» классе в среду 5 уроков: алгебра, геометрия, физкультура, русский язык, английский язык. Сколько можно составить вариантов расписания на среду?
в) Сколькими способами четыре вора могут по одному разбежаться на все четыре стороны?
г) Адъютант должен развести пять копий приказа генерала по пяти полкам. Сколькими способами он может выбрать маршрут доставки приказа?

19. У Вовы на обед – салат, первое, второе, третье и пирожное. Он обязательно начнет с пирожного, а все остальное съест в произвольном порядке. Найдите число всевозможных вариантов обеда.

20. В гостинице – семь одноместных номеров. Из семи приехавших постояльцев трое уже зарезервировали свои номера. Найдите число способов расселения.

21. Одиннадцать футболистов строятся перед началом матча. Первым – обязательно капитан, вторым – обязательно вратарь, а остальные – случайным образом. Сколько существует способов построения?

22. Сколькими способами можно обозначить вершины куба буквами A, B, C, D, E, F, G, K?

4. Закрепление пройденного

23. Современные пятиборцы в течение двух дней участвуют в соревновании по пяти видам спорта: конкур (кросс на лошадях), фехтование, плавание, стрельба, бег.

а) Сколько существует вариантов порядка прохождения видов соревнования?
б) Сколько существует вариантов порядка прохождения видов соревнования, если известно, что последним видом должен быть бег?
в) Сколько существует вариантов порядка прохождения видов соревнования, если известно, что последним видом должен быть бег, а первым — конкур?
г) Сколько существует вариантов, в которых конкур и фехтование не проходят подряд?

24. Шесть граней игрального кубика помечены цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6. Кубик бросают дважды и записывают выпадающие цифры.

а) Найдите число всех возможных результатов.
б) Укажите те из них, в которых произведение выпавших чисел кратно 10.
в) Составьте таблицу из двух строк. В первой строке запишите суммы выпавших очков, во второй – количество результатов, в которых выпадает эта сумма.
г) Составьте аналогичную таблицу для модуля разности выпавших очков.

25. На плоскости даны 10 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой.

а) 3 точки покрасили в рыжий цвет, а остальные – в черный. Сколько можно провести отрезков с разноцветными концами?
б) Сколько можно провести отрезков с «рыжими» концами?
в) Составьте таблицу из двух строчек. В первой строке запишите количество рыжих точек из 10 данных (от 0 до 10), во второй – число «разноцветных» отрезков при таком способе раскраски.
г) 5 точек покрасили в серый цвет, 2 точки – в бурый и 3 – в малиновый цвет. Сколько можно построить «серобуромалиновых» треугольников?

26. Группа туристов планирует осуществить поход по маршруту Антоново – Борисово – Власово – Грибово. Из Антоново в Борисово можно сплавиться по реке или дойти пешком. Из Борисово во Власово можно пройти пешком или доехать на велосипедах. Из Власово в Грибово можно доплыть по реке, доехать на велосипедах или пройти пешком.

а) Нарисуйте дерево возможных вариантов похода.
б) Сколько всего вариантов похода могут выбрать туристы?
в) Сколько есть полностью не пеших вариантов?
г) Сколько вариантов похода могут выбрать туристы при условии, что хотя бы на одном из участков маршрута они должны использовать велосипеды?

24. В Сети связь происходит через узлы, которые нумеруются восьмизначными номерами (номер, например 00011122, возможен).

а) Сколько в Сети может быть узлов?
б) Какой минимальной длины должны быть номера узлов, чтобы их хватило каждому жителю Земли?
в) Сколько в Сети узлов с суммой цифр номера равной 71?
г) Сколько в Сети узлов с суммой цифр номера меньше 3?

28. Вова услышал в песне, что «… у зим бывают имена …». Он вспомнил семь самых хороших зим своей жизни и решил дать им семь разных, нравящихся ему женских имен.

а) Сколькими способами он может это сделать?
б) Сколько способов существует, если первая зима – точно Татьяна, а последняя – несомненно, Анна?
в) Сколько способов существует, если женских имен восемь, а не семь?
г) Сколько способов существует, если имен семь, а зим – восемь?

29. Ася помнит, что в ответе задачи на правило умножения для двух испытаний получалось 48 и что испытания с одним исходом не рассматривались. Ей надо вспомнить число исходов в обоих испытаниях.

а) Из скольких вариантов Асе придется выбирать правильный ответ?
б) Сколько вариантов, которые состоят из чисел разной четности?
в) Сколько вариантов, которые состоят из чисел, отличающихся друг от друга более, чем на 10 ?
г) А сколько всего вариантов, если испытаний было три?

Ответы

1. а) 25; б) 5; в) 5; г) 8.
2. а) 24; б) 6; в) 6; г) 12.
3. а) 25; б) 5; в) 20;
г) 16. 4. а) 100000; б) 32768; в) 32; г) 20000.
5. а) 16; б) 8; в) 8; г) 512, 256, 256.
6. б) 3; в) 4.
7. а) 9; б) 3; в) 6; г) 16, 4.
8. б) 6; в) 3; г) 8.
9. б) 24; в) 12; г) 3.
10. а) 24; б) 6; в) 16; г) 4.
11. а) 5040; б) 40320; в) 600; г) 24.
12. а) 30240; б) 462; в) 2550; г) 120120.
13. а) б) в) Да; г) нет.
14. а) 2; б) 2; в) 3; г) 6.
15. а) n; б) ; в) 2k(2k +1); г) (4m – 1)(4m – 2).
16. а) ; б) 0; в) m²; г) 18(3k + 2).
17. а) 7; б) 87; в) 4; г) 3.
18. а) 24; б) 120; в) 24; г) 120.
19. 24.
20. 24.
21. 362880.
22. 40320.
23. а) 120; б) 24; в) 6; г) 72.
24. а) 36; б) 6.
25. а) 21; б) 3; г) 30.
26. б) 12; в) 2; г) 8.
27. а) 100 000 000; б) 10; в) 8; г) 45.
28. а) 5040; б) 120; в) 40320; г) 0.
29. а) 8; б) 2; в) 4; г) 18.

О поурочном планировании

В тексте основного учебного материала нет поурочного деления. Такое явное разбиение на уроки может излишне регламентировать работу учителя и, на наш взгляд, имеет некоторый оттенок недоверия к его профессиональным возможностям. Кто-то может сначала разобрать весь материал параграфа, а затем перейти к упражнениям. Кто-то выберет способ равномерного чередования теории и практики. В более подготовленных классах можно часть материала начинать рассматривать с задач, новые понятия вводить по ходу дела, а «беллетристику» оставить для самостоятельного чтения.

В отличие от теоретической части, упражнения к параграфам расположены по темам, каждая из которых достаточно точно соответствует одному уроку. Тем самым, перечень этих тем в том виде, в каком он присутствует в тексте этого учебного пособия, и дает примерное поурочное планирование. Вот этот перечень.

§ 1. Простейшие комбинаторные задачи. Правило умножения и дерево вариантов. Перестановки (4 урока)

1. Правило умножения.
2. Дерево вариантов.
3. Факториалы и перестановки.
4. Закрепление пройденного.

§ 2. Выбор нескольких элементов. Сочетания (4 урока)

1. Выбор двух элементов.
2. Выбор трех и более элементов.
3. Сочетания и числа .
4. Закрепление пройденного.

§ 3. Случайные события и их вероятности (5 уроков)

1. События достоверные, невозможные и случайные.
2. Классическое определение вероятности.
3. Вероятность противоположного события.
4*. Вероятность суммы несовместных событий.
5. Закрепление пройденного. Контрольная работа.

§ 4. Статистика – дизайн информации (4 урока)

1. Варианты и их кратности.
2. Многоугольники распределения данных.
3.Кривая нормального распределения.
4*. Числовые характеристики выборки.

§ 5. Независимые повторения испытаний с двумя исходами (4 урока)

1. Схема Бернулли.
2. Использование функции j.
3. Использование функции F.
4. Закрепление пройденного.

Итак, основной материал каждого параграфа рассчитан, как правило, на три урока. Плюс один урок отводится для самостоятельной работы и для закрепления пройденного материала. Таким образом, максимум составляет 21 урок, а минимальный формат – 16 уроков: по 3 в каждом из пяти параграфов и один урок – контрольная работа. Тем самым, время изучения всего этого учебного материала – около месяца. Если этот материал изучается вместо главы о тригонометрических функциях, то, видимо, время его изучения придется на конец 9-го класса.

Темы (уроки), отмеченные в приведенном выше плане звездочкой, можно в классах с недостаточной предварительной подготовкой отложить до изучения их в старшей профильной школе. Контрольную работу целесообразно провести по материалу первых трех параграфов, поскольку тематика двух других параграфов специфичнее остальных, и к ней ученику еще надо привыкнуть.

Среди упражнений к четвертому, «статистическому», параграфу имеются задания, по сути дела, являющиеся лабораторными работами. Ученики могут отчитаться по этой теме, письменно представив результаты такой самостоятельной работы. Если в школе позволяют технические возможности и есть хороший контакт с преподаванием информатики, то разумно в этом месте познакомить учащихся с простейшими приемами статистической обработки информации с помощью редактора «Microsoft Exel».