В. Малинин,
г. Нижний Новгород

Показательные уравнения

11 класс

Задача 1. При каких значениях параметра p уравнение 4^x – (5p – 3)^·2x + 4p² – 3p = 0 (1)   имеет единственное решение?

Решение. Введем замену 2^x = t, t > 0, тогда уравнение (1) примет вид t² – (5p – 3)t + 4p² – 3p = 0.  (2)

Дискриминант уравнения (2)  D = (5p – 3)² – 4(4p² – 3p) = 9(p – 1)².

Уравнение (1) имеет единственное решение, если уравнение (2) имеет один положительный корень. Это возможно в следующих случаях.

1. Если D = 0, то есть p = 1, тогда уравнение (2) примет вид t² – 2t + 1 = 0, отсюда t = 1, следовательно, уравнение (1) имеет единственное решение x = 0.

2. Если p№1, то 9(p – 1)² > 0, тогда уравнение (2) имеет два различных корня t₁ = p, t₂ = 4p – 3. Условию задачи удовлетворяет совокупность систем

Подставляя t₁ и t₂ в системы, имеем

или

Ответ: p = 1, 0 < pЈ 0,75.

Рассмотрим более общую задачу.

Задача 2. Сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра a?

Решение. Пусть  тогда уравнение (3) примет вид t² – 6t – a = 0.       (4)

Найдем значения параметра a, при которых хотя бы один корень уравнения (4) удовлетворяет условию t > 0.

Введем функцию f(t) = t² – 6t – a. Возможны следующие случаи.

Случай 1. Уравнение (4) имеет два различных положительных корня, если выполнятся условия

где t₀ — абсцисса вершины параболы и D — дискриминант квадратного трехчлена f(t);

Таким образом, при – 9 < a < 0 уравнение (3) имеет два корня

Случай 2. Уравнение (4) имеет единственное положительное решение, если

D = 0, если a = – 9, тогда уравнение (4) примет вид  (t – 3)² = 0, t = 3, x = – 1.

Случай 3. Уравнение (4) имеет два корня, но один из них не удовлетворяет неравенству t > 0. Это возможно, если

     

Таким образом, при aі 0 уравнение (4) имеет единственный положительный корень . Тогда уравнение (3) имеет единственное решение 

При a < – 9 уравнение (3) корней не имеет.

Ответ:

если a < – 9, то корней нет;
если a = – 9, то x = – 1;
если a і 0, то
если – 9 < a < 0, то

Сравним способы решения уравнений (1) и (3). Отметим, что при решении уравнение (1) было сведено к квадратному уравнению, дискриминант которого — полный квадрат; тем самым корни уравнения (2) сразу были вычислены по формуле корней квадратного уравнения, а далее относительно этих корней были сделаны выводы. Уравнение (3) было сведено к квадратному уравнению (4), дискриминант которого не является полным квадратом, поэтому при решении уравнения (3) целесообразно использовать теоремы о расположении корней квадратного трехчлена и графическую модель. Заметим, что уравнение (4) можно решить, используя теорему Виета.

Решим более сложные уравнения.

Задача 3. Решите уравнение

Решение. ОДЗ: x№1, x№2.

Введем замену. Пусть 2^x = t, t > 0, тогда в результате преобразований уравнение примет вид

t² + 2t – 13 – a = 0.         (*)

Найдем значения a, при которых хотя бы один корень уравнения (*) удовлетворяет условию t > 0.

Рассмотрим функцию f(t) = t² + 2t – 13 – a. Возможны случаи.

Случай 1. Для того чтобы оба корня уравнения (*) удовлетворяли неравенству t > 0, должны выполняться условия

где t₀ — абсцисса вершины f(t) = t² + 2t – 13 – a, D — дискриминант квадратного трехчлена f(t).

Система решений не имеет.

Случай 2. Для того чтобы только один корень уравнения (*) удовлетворял неравенству t > 0, должно быть выполнено условие f(0) < 0, то есть a > – 13.

Тогда

Случай 3. Найдем значения a, когда t № 2, t № 4.

откуда a № 11, a № – 5.

Ответ: если a > – 13, a № 11, a № 5, то  если aЈ– 13, a = 11, a = 5, то корней нет.

Задачи для самостоятельного решения

1. При каких значениях параметра a уравнение 36^x + (a – 1)6^x + a – 2a² = 0 имеет два действительных различных корня?

Указание. Пусть 6x = t, тогда уравнение примет вид  t² + (a – 1)t + a – 2a² = 0, откуда t₁ = a, t₂ = 1 – 2a. Уравнение имеет два разных корня, если выполняется

Ответ:

2. При каких значениях параметра a уравнение 9^x – 3^x+1 – a² + 5a – 4 = 0

имеет один действительный корень?

Указание. Смотреть решение задач 1, 2.

Ответ: a Ј 1; a і 4; a = 2,5.

3. При каких значениях параметра a уравнение 49^x + (a – 1)7^x – 2a² + 4a – 2 = 0

не имеет ни одного действительного корня?

Ответ: a = 1.

4. При каких значениях параметра a уравнение 16^x – (5 – a)4^x + 6 – 2a = 0имеет два действительных различных корня?

Ответ: a < 3; a № 1.

5. При каких значениях параметра p уравнение имеет единственное решение?

Указание. Воспользоваться решением задачи 1.

Ответ:

6. При каких значениях параметра p уравнение 25^–x – (p + 8)5^–x – 2p² – 2p + 7 = 0  имеет единственное решение?

Ответ:

7. Найдите все значения a, при которых уравнение  4^x – a^·2^x – a + 3 = 0 имеет хотя бы одно решение.

Указание. Свести уравнение к виду   t² – at – a + 3 = 0, где t = 2^x.

Ответ: a і 2.

8. Решите уравнение относительно x.

Указание. Пусть 2^x = t, t > 0, тогда . Полученное уравнение равносильно системе

Так как t > 0, то

Далее нужно найти значения параметра a, при которых хотя бы один корень полученного уравнения системы удовлетворяет условию 0 < t < 1; при всех других значениях параметра a исходное уравнение решений не имеет.

Ответ: если 0 < a Ј 1, то x = log₂ a, при остальных a решений нет.

9. Решите уравнение

Указание. Пусть 2^x = t, t > 0, полученное уравнение равносильно системе

Ответ: если   то  при других a решений нет.