Л. Кудрявцев,
член-корреспондент РАН,
Москва

Окончание. Начало см. в № 38/2002.

Модернизация средней школы и математическое образование

3. Единый государственный экзамен

Последние годы по инициативе Министерства образования во многих субъектах Российской Федерации в средних общеобразовательных школах экспериментально проверяется проведение письменного выпускного единого государственного экзамена (ЕГЭ) по ряду основных предметов, изучавшихся в школе (часть из них школьник может выбрать самостоятельно). Закодированные экзаменационные работы проверяются не в школе, где проходило обучение, а в специально организованных центрах. Это исключает возможность протекционизма, и поэтому экзаменационные работы оцениваются объективно. Каждый школьник, сдававший ЕГЭ, получает свидетельство, в котором указаны оценки (по стобалльной системе) выполненных им работ ЕГЭ.

Высшие учебные заведения имеют право зачислять в число своих студентов абитуриентов по их свидетельствам о сданных ЕГЭ. Абитуриент может разослать копии своего свидетельства о ЕГЭ в любое число вузов, в которых он бы хотел продолжать свое образование. При получении ответов от вузов, содержащих согласие на его зачисление в студенты, он может выбрать вуз, который ему больше по душе и поехать туда с уверенностью, что будет принят в число студентов.

При такой системе отпадает необходимость в занятиях с репетитором или на подготовительных курсах с целью поступления в выбранный вуз. Кроме того отсутствует риск, что абитуриент, отправившись для поступления в вуз, быть может, далеко от своего дома, не поступит в него, а в результате понесет не только материальные убытки, но и потеряет возможность поступить в текущем году в другой вуз.

Конечно, поскольку в различных школах даже одного и того же региона России уровни обучения могут отличаться один от другого довольно существенно, то ЕГЭ должен проводиться на некотором усредненном уровне, который несколько ниже даже среднего уровня, так как в противном случае будет слишком много школьников, достаточно удовлетворительно учившихся в своих не очень высокого уровня школах, плохо сдавших не по своей вине ЕГЭ.

Следует также отдавать отчет в том, что по результатам ЕГЭ, даже если он сдан очень хорошо, не всегда можно достаточно обосновано судить о способности абитуриента учиться в ряде высших учебных заведений, так как ЕГЭ должен соответствовать содержанию среднего образования, существующего в настоящее время в России. А оно, как было выяснено в предыдущем разделе статьи, недостаточно соответствует требованиям, предъявляемым многими вузами к своим будущим студентам. Поэтому для приема в ряд вузов придется проводить дополнительные экзамены. Однако и в этом случае ЕГЭ сыграет положительную роль как первый этап отбора абитуриентов для поступления в эти вузы.

Конечно, ЕГЭ не повлияет на необходимость организации репетиторства и дополнительных занятий с отстающими студентами, которых будет по-прежнему достаточно много. Эта система сохранится до того времени, пока уровень образования в общеобразовательных средних школах не поднимется настолько, что сделает их ненужными (как это и было неоднократно раньше).

При существующих нормах педагогической нагрузки в вузах нельзя отчислять всех неуспевающих студентов, так как тогда на старших курсах преподаватели выпускающих кафедр будут недостаточно загружены работой, не говоря уже о том, что вуз будет выпускать недостаточное число нужных специалистов. Нельзя и принимать сверх нормы студентов на первый курс в расчете на отсев их на младших курсах по неуспеваемости, так как в этом случае окажутся сверх меры перегружены преподаватели общеобразовательных кафедр.

Если одновременно с ЕГЭ будут производиться рассмотренные выше преобразования по усилению качества среднего образования, то уровень ЕГЭ будет естественным образом из года в год повышаться. Кроме того, ЕГЭ будет стимулировать отстающие по своему уровню средние школы подняться качественно на более высокую ступень. Правда, надо следить и за тем, чтобы школы, дающие своим ученикам образование на достаточно высоком уровне, не снижали его, ориентируясь на количество баллов в оценке результатов ЕГЭ, дающее право на поступление в текущем году в высшие учебные заведения. Помешать развитию этой тенденции может стобалльная система оценок результатов ЕГЭ, предоставляющая возможность ежегодно несколько увеличивать число баллов, обеспечивающее поступление в вуз. Это, само собой разумеется, будет целесообразно лишь при условии, что в результате принимаемых мер положение со средним образованием из года в год действительно будет улучшаться.

4. Роль и специфические особенности математического образования

Изучение математики в средних и высших учебных заведениях существенно отличается от изучения других предметов прежде всего тем, что в нем особую и значительную роль играют воображение, интуиция и логическое мышление. Важность математического образования обусловлена тем, что математика является неотъемлемой и существенной частью общечеловеческой культуры.
В этом смысле математическое образование входит в гуманитарное, понимаемое в широком смысле этого слова. Поэтому изучение математики оказывает существенное влияние на развитие личности, на ее формирование. Оно дает не только определенный круг знаний, но и совершенствует мышление, помогает выработке мировоззрения, влияет в лучшую сторону на нравственное и духовное воспитание учащихся. Все это происходит отнюдь не в меньшей, а нередко в большей степени, чем при изучении других дисциплин в средних и высших учебных заведениях.

Наши отечественные педагоги давно это хорошо понимали. Например, вскоре после революции 1917 года еще до проведения реформы среднего образования были изданы «Примерные программы по математике» (издание Отдела подготовки учителей Комиссариата Народного Просвещения, Петербург,1918г.), в начале преамбулы к которым было написано: «Курс математики строится и проводится в своей программе-минимум не столько в интересах будущих математиков или будущих техников, химиков, статистиков и т.п., сколько в целях пополнения тех недостающих звеньев в системе гуманитарного образования, понимая последнее в широком смысле слова, какие может дать только математика».

Особенности математического образования объясняются самой сущностью математики. В отличие от физики, химии, астрономии, биологии, медицины, истории, географии, экономики, социологии и других дисциплин, которые имеют дело с реальными объектами, математика представляет собой абстрактную науку, изучающую определенного рода логические структуры, называемые математическими (алгебраические, аналитические, геометрические, вероятностные и т.п.). Абстрактность математики порождает ее универсальность. Математика дает возможность с помощью математических моделей описывать самые разнообразные реальные процессы и предсказывать результаты, к которым они приводят. Благодаря этому математика является мощным инструментом для изучения и познания окружающего нас мира. Математика развивается как за счет возникающих в нем внутренних проблем, так и за счет задач, которые появляются при изучении и математическом моделировании реальных событий.

Выше уже говорилось, что нравственное и духовное воспитание является неотъемлемой частью образования. Изучение математики может существенно помочь воспитательному процессу по ряду причин. Прежде всего язык математики — строго логические рассуждения. Поэтому математика учит человека думать: развивает логическое мышление, приучает отбрасывать при решении возникающих задач несущественные детали и не пренебрегать тем, что имеет принципиальное значение, учит принимать обоснованные решения. Изучение математики дисциплинирует мышление, приучает к правильному словесному выражению мысли, к точности, ясности и краткости речи.

Каждый, кто изучает математику, отдает себе отчет в том, что заданная ему задача решена им или нет, предложенная им для доказательства теорема — доказана им или нет. Это воспитывает у человека честность в отношении к себе, добросовестное отношение к порученному ему делу, правильную самооценку, приучает его к самоконтролю. Изучение математики совсем не простое дело. Поэтому оно воспитывает настойчивость, умение достичь намеченной цели, развивает работоспособность.

Логическая стройность математики и неожиданные внутренние связи в ней не могут не восхитить человека, не развить его эстетические чувства. Математика развивает интуицию и воображение.

Уже из всего сказанного ясно, что изучение математики существенно влияет на формирование личности человека, обогащает и совершенствует ее.

К сожалению, последние годы систематически происходит снижение требований к математическим знаниям школьников: стали меньше обращать внимание на доказательство теорем, уменьшился объем знаний по геометрии, уменьшилось количество и понизился уровень решаемых в школе задач. А решение достаточного числа разнообразных задач различной сложности по арифметике, алгебре, геометрии и тригонометрии является очень важной и существенной частью успешного изучения математики, так как именно решение задач эффективно способствует усвоению математических понятий, активному владению математическими методами, приобретению навыков математического моделирования.

Нельзя не считаться с тем, что мы живем в период массовой компьютеризации многих сторон человеческой деятельности. В математике это имеет прямое отношение, в частности, к решению некоторых типов задач, на которые раньше тратилось много времени. Теперь решение многих задач можно получить простым нажатием клавишей компьютера. При этом речь идет не только о численных решениях задач, но и о решениях в буквенных выражениях с тем или иным количеством дополнительных параметров. Однако это совсем не означает того, что, например, должно быть полностью изъято обучение аналитическим преобразованиям в школе и вузе. Совсем нет. Конечно, вопрос, как и чему учить в новых условиях, требует специального рассмотрения и выработки обоснованных рекомендаций.

Необходимость умения проводить аналитические преобразования обусловлена тем, что одной из основных целей математического образования остается умение составлять математические модели (обычно уравнения: алгебраические, дифференциальные, интегральные, разностные и т.п.). Поэтому решение текстовых задач в школе и в вузе остается важной частью обучения математике. При составлении математической модели и ее качественном анализе, как правило, нельзя обойтись без владения аналитическими преобразованиями.

В подтверждение этой мысли в качестве примера напомню, что академик Л.Д. Ландау в теоретический минимум, который должен был сдать каждый, кто хотел стать его учеником, всегда включал вычисление неопределенного интеграла. Л.Д. Ландау прекрасно знал, что специалисты никогда не занимаются вычислением интегралов, а пользуются справочниками, в которых имеются готовые ответы. Однако он понимал, что умение выбрать правильный путь аналитических преобразований и довести их до конца является необходимым для будущего физика.

Потребностью овладеть методами аналитических преобразований объясняется то, что в средней школе до сих пор сохраняется решение более или менее сложных тригонометрических уравнений, а в вузах — вычисление неопределенных интегралов, хотя ни то ни другое не является необходимым для изучения математики и вряд ли когда-нибудь пригодится. Пока просто не придумали ничего лучшего для обучения аналитическим выкладкам.

Снижение общего уровня требований к знаниям школьников опасно тем, что лучшая их часть будет лишена возможности получить среднее образование на том достаточно высоком уровне, на котором было бы им доступно.

Чтобы этого не произошло, мало создать специализированные (физико-математические, химические, биологические, гуманитарные и т.п.) старшие классы, в которых будет осуществляться более глубокое изучение ряда дисциплин. Недостаточный уровень изучения математики, физики, химии и других предметов в младших классах может существенно затруднить углубленное изучение этих предметов в старших специализированных классах. Чтобы этого не случилось, необходимо поднять уровень изучения математики в общеобразовательных классах.

Ничего нет страшного в том, что часть школьников не овладеет на высоком уровне программным материалом — для этого и существуют различные оценки знаний: «удовлетворительно», «хорошо» и «отлично». Однако тот, кто может освоить предмет на высоком уровне, должен иметь возможность сделать это как в младших, так и в старших классах.

Сохранение достаточно высокого уровня школьной подготовки также является необходимым условием уменьшения различия между требованиями, предъявляемыми на выпускных экзаменах в школе и приемных экзаменах в высшие учебные заведения.

Из всего сказанного явствует, что на содержание математического образования и методы, применяемые при изучении математики, следует обратить особое внимание. Само собой разумеется, конечно, что математическое образование должно гармонически сочетаться со всем процессом образования в целом.

Пренебрежение математическим образованием может иметь далеко идущие неприятные последствия. Вот что говорится по этому поводу в решении расширенного заседания Ученого совета математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук по итогам обсуждения современного школьного образования от 26 сентября 2001 г.: «Ослабление математического образования и математической культуры в стране угрожает падением не только интеллектуального, но и индустриального, а впоследствии и военного уровня России» (цитируется по выше упомянутой книге «Образование, которое мы можем потерять», стр. 258).

Приложение

Проект базисного учебного плана общеобразовательной 11-летней средней школы, разработанный Научно-методическим советом по математике Министерства образования РФ