А. Вернер,
С.-Петербург

Роль и место тригонометрии в курсе геометрии основной школы

1. Как изучать тригонометрические функции в геометрии

А.Д. Александров нашел простой и короткий путь изучения основ тригонометрии в курсе геометрии основной школы. Он изложил его в 1982 г. в препринте «Треугольники», изданном СО АН СССР в Новосибирске. Действенность предложенного подхода подтверждает почти двадцатилетний опыт преподавания по его учебникам. В этих учебниках введение тригонометрических функций опирается на тему «Площади многоугольников», которая (как и в учебнике Л.С. Атанасяна и др.) изучается в первом полугодии 8-го класса, и на теорему Пифагора.

Сначала определяется синус угла. В препринте «Треугольники» А.Д. Александров пишет:

«Каждому углу сопоставляется число, называемое синусом этого угла и определяемое следующим образом.

На одной из сторон угла от его вершины откладывается произвольный отрезок c, и из его конца опускается перпендикуляр h на другую сторону угла или на ее продолжение. Отношение этого перпендикуляра к отрезку c и называется синусом данного угла. Оно зависит только от величины угла и обозначается sin A, если угол или его величина (градусная или иная мера) обозначена A.

То, что каждому углу, каждой величине угла A сопоставлено определенное число sin A, означает, что задана функция величины угла. Синус есть функция величины угла.»

Корректность такого определения (независимость его от отрезка c, отложенного на стороне угла) вытекает из следующей теоремы об отношении перпендикуляра и наклонной:

Отношение перпендикуляра, опущенного из некоторой точки стороны угла на другую сторону угла (или ее продолжение), к расстоянию от этой точки до вершины угла не зависит от выбора точки на стороне угла.

Доказательство. Рассмотрим некоторый угол (pq) с вершиной A. Его сторону p будем считать горизонтальной, а сторону q — наклонной (рис. 1). Выберем на стороне q любую точку B (отличную от A) и опустим перпендикуляр BC на p или на дополнительный луч. Докажем, что отношение не зависит от выбора точки B. Выберем некоторую точку M на луче p и проведем отрезок BM.

Рис. 1

Отрезок BC — высота треугольника ABM. Проведем другую его высоту MK и выразим дважды удвоенную площадь 2S треугольника ABM.

2S = AM^·BC и 2S = BA^·MK.

Поэтому AM^·BC = BA^·MK, откуда следует . Отношение не зависит от положения точки B на луче q. Поэтому и равное ему отношение не зависит от ее выбора на этом луче. 

После определения синуса рассматриваются его свойства. Полезность этого понятия подтверждается:

1) решением прямоугольных треугольников (синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе);

2) формулой для площади треугольника:

3) теоремой синусов, которая является просто следствием определения синуса: для любого треугольника ABC его высота CM = a sin B и CM = b sin A. Поэтому

4) решением треугольников по стороне и двум углам.

Синус обладает тем недостатком, что он не определяет угол однозначно: например, если синус угла равен 0,5, то таким углом может быть и угол, равный 30°, и угол, равный 150°. Вторая тригонометрическая функция — косинус — определяет угол треугольника однозначно. Определить косинус угла можно так.

Пусть на одной стороне угла A отложен отрезок AB, а AC — его проекция на прямую, содержащую другую сторону угла A. Тогда косинусом угла A называется отношение отрезков AC к AB, взятое со знаком «плюс», если угол A — острый, и со знаком «минус», если угол A — тупой.

Теорема Пифагора позволяет вывести основное тригонометрическое тождество. Выражая из него косинус через синус, изучаем свойства косинуса.

Поскольку косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению катета, прилежащего к этому углу, к гипотенузе, то имеет место равенство синуса и косинуса дополнительных острых углов в прямоугольном треугольнике.

Теорема косинуса (ее частный случай — теорема Пифагора!) необходима при изложении основ тригонометрии. Вместе с теоремой синусов (и теоремой о сумме углов треугольника) она дает возможность легко изложить теорию подобия треугольников и позволяет решить любую вычислительную задачу о треугольниках.

Естественно, что тангенс угла определяется как отношение синуса этого угла к его косинусу, а котангенс — как отношение косинуса этого угла к его синусу. По моему мнению, котангенс вполне можно исключить из минимального содержания для основной школы.

2. Подобие треугольников

Можно сразу сказать в общем виде о подобии двух фигур: линейные размеры второй фигуры (подобной первой) получаются из соответствующих линейных размеров первой фигуры умножением на одно и то же положительное число — коэффициент подобия. Треугольник задается своими сторонами. Поэтому два треугольника называются подобными, если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника. Если коэффициент пропорциональности обозначить через k, то треугольник A1B1C1 подобен треугольнику ABC, когда

a₁ = ka, b₁ = kb, c₁ = kc.    (1)

Установить подобие двух треугольников — это доказать равенства (1). Докажем два признака подобия треугольников.

Первый признак. Дано: a₁ = ka, b₁ = kb, РC₁ = РC.

Доказать: c₁ = kc.

Доказательство. По теореме косинуса   c₁² = a₁² + b₁² – 2a₁b₁ cos C₁ = k² (a² + b² – 2ab cos C) = k²c².

Поскольку c₁, c и k — положительные числа, то c₁ = kc. 

Второй признак. Дано: РA₁ = РA, РB₁ = РB.

Доказать: (1).

Доказательство. По теореме о сумме углов треугольника РC₁ = РC. Поэтому sinA₁=sinA, sinB₁=sinB, sinC₁=sinC. (2)

По теореме синусов стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих им углов. Следовательно,

a=p sinA, b=p sinB, c=p sinC и  a₁=q sinA₁, b₁=q sinB₁, c₁=q sinC₁. (3)

Из равенства (2) и (3) следует, что a₁=ka, b₁=kb, c₁=kc,  где

Из свойств подобных треугольников выделим два.

Свойство 1. Соответственные углы подобных треугольников равны.

Доказательство. Пусть треугольник A₁B₁C₁ подобен треугольнику ABC с коэффициентом k. Тогда имеют место равенства (1). Выразим косинус угла C₁ по теореме косинуса. Получим:

Из равенства косинусов углов C₁ и C следует равенство этих углов. Аналогично доказываются равенства и других соответственных углов рассматриваемых треугольников.

Свойство 2. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату их коэффициента подобия.

Это свойство сразу следует из формулы

Поскольку многоугольники составлены из треугольников, то и отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату их коэффициента подобия.

Отметим, что средняя линия треугольника отсекает от исходного треугольника (согласно первому признаку подобия) подобный ему треугольник (с коэффициентом ). Поэтому свойства средней линии треугольника вытекают из полученных теорем о подобных треугольниках.

3. Выводы

А.Д. Александров в своей программной статье «О геометрии» (журнал «Математика в школе», № 3/1980) писал: «Тригонометрические функции — это испытанный аппарат геометрии, и их тоже нужно излагать, отправляясь от простых наглядных задач, как они практически возникли — из решения треугольников». Так им и было сделано в написанном им курсе элементарной геометрии. В его подходе при введении тригонометрических функций и в опирающейся на них теории подобия треугольников нет трудности, возникающей в теореме о пропорциональности отрезков, отсекаемых параллельными прямыми на сторонах угла для случая несоизмеримых отрезков, которая присутствует во всех учебниках, следующих А.П. Киселеву. Какова эта трудность можно вспомнить, посмотрев пункт 159 учебника А.П. Киселева, пункт 60 учебника А.В. Погорелова и соответствующие места в других учебниках. А.Д. Александров перенес ее в формулу для площади прямоугольника S = ab, обоснование справедливости которой проще.

Вводить тригонометрические функции лишь для острых углов (как это предлагается в проекте «Обязательного минимума содержания образовательных программ») не стоит по многим обстоятельствам.

Во-первых, как было выше продемонстрировано, все тригонометрические функции можно единообразно определять сразу для любых углов (в интервале от 0° до 180°) и никаких дополнительных сложностей при этом не возникает (это доказано почти двадцатилетней практикой!).

Во-вторых, сужение применений тригонометрии лишь до решения прямоугольных треугольников делает тригонометрию в курсе геометрии неполноценной, и те применения тригонометрических функций, о которых было сказано выше, вполне можно ввести в обязательный минимум. Заметим, что программу минимума можно было бы разгрузить от некоторых второстепенных вопросов (например, от точки пересечения высот треугольника, вписанных углов, котангенса).

В-третьих, как будут находить проекцию вектора на ось, если нет косинуса тупого угла? А что такое отрицательные угловые коэффициенты?

Наконец, в четвертых, тригонометрические функции остались сейчас в курсе математики основной школы лишь в геометрии. Поэтому курс геометрии должен изложить эту тему так, чтобы был «обеспечен полноценный характер базового образования» (как сказано в проекте «Обязательного минимума содержания»).

Изложение теории подобных треугольников, предложенное А.Д. Александровым, кратко и изящно: определение стало проще и естественнее (почему в определении подобных треугольников надо говорить о равенстве углов, которых в других ситуациях, скажем, у окружностей, вообще нет?), признаков стало меньше и выводятся они совсем просто. Надо знакомить школьников с этими взглядами великого геометра.