Главная страница «Первого сентября» • Главная страница журнала «Математика» • Содержание №45/2002

Е. Пименова, Т. Голубятникова,
средняя школа № 1 им. В.С. Воронина,
Мурманская обл.

Умницы и умники

10-11классы

Геометрия трав

Математик несбывшийся, странник,
Оглянись, удивляясь стократ:
В травах срез волчеца – пятигранник,
А в сеченье душицы – квадрат.

Все на свете покажется внове
Под гольцом, чья вершина в снегу:
Водосбор – треуголен в основе
На цветущем альпийском лугу!

Где же круг?
Возле иглистой розы,
Там, где луг поднебесный скалист,
Вижу, с ветром играет березы
Треугольноромбический лист...

Г. Бухарев

Правила игры

1. Розыгрыш дорожек. Учащимся предложено следующее домашнее задание.

а) Придумайте новую геометрическую фигуру и дайте ей название.
б) Представьте, что вы – корреспондент «Учительской газеты».
Ваша задача — написать краткую, яркую заметку, посвященную
игре «Умницы и умники».
в) Составьте алгоритм достижения цели.		 I этап

II этап

III этап

IV этап

2. Красная дорожка – нельзя ошибаться. Желтая дорожка – ошибиться можно только один раз. Зеленая дорожка – можно ошибиться два раза.

Каждый агон начинается с зеленой дорожки. Игра заканчивается в агоне, если один из участников дошел до рубежной черты. После каждого агона проходит состязание теоретиков.

3. Участники игры.

Практики:

I агон (трое участников);
II агон (трое участников);
III агон (трое участников).

Теоретики (количество участников по усмотрению учителя).

I  АГОН

Розыгрыш дорожек. Придумайте новую геометрическую фигуру и дайте ей название.

I этап

Красная дорожка

Желтая дорожка

Зеленая дорожка

Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки K, L, M.

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки K, L, B1.

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины ребер AB, BB1, D1C1.

II этап

Красная дорожка

Желтая дорожка

Зеленая дорожка

В плоскости a дана прямая a. Сколько можно построить прямых, перпендикулярных прямой a и проходящих через данную на этой прямой точку?

В плоскости a дана прямая a. Сколько можно построить прямых, перпендикулярных прямой a, проходящих через данную вне этой прямой точку?

В плоскости a дана прямая a. Сколько можно построить прямых, перпендикулярных прямой a, проходящих через данную вне этой прямой точку и пересекающих эту прямую?

III этап. Танграм

Желтая дорожка

Зеленая дорожка

Соберите следующие фигуры из частей разрезанного квадрата.

IV этап

Зеленая дорожка

Сколько диагоналей имеет прямоугольный параллелепипед? Куб? Найдите длину диагонали куба, если его ребро равно a.

II АГОН

Розыгрыш дорожек. Представьте, что вы – корреспондент «Учительской газеты». Ваша задача — написать краткую яркую заметку, посвященную игре «Умницы и умники».

I этап

Красная дорожка

Желтая дорожка

Зеленая дорожка

Через точку пересечения диагоналей ромба O проведен к его плоскости перпендикуляр OK, равный 5 см. Вычислите расстояние от точки K до каждой стороны ромба, если его диагонали равны 40 см и 30 см.

Ответ: 13 см.

Из точки M проведены к плоскости a наклонные MA и MB, равные 10 см и 17 см. Вычислите расстояние от точки M до плоскости a, если длины проекций пропорциональны числам 2 и 5.

Ответ: 8 см.

Сторона BC треугольника ABC лежит в плоскости a; AA1 B a, AK – высота треугольника ABC. Докажите, что отношение площадей треугольника ABC и треугольника A1BC равно отношению AK : A1K.

II этап

Красная дорожка

Желтая дорожка

Зеленая дорожка

Всегда ли можно построить прямую, параллельную двум данным плоскостям?

Ответ. Всегда возможно.

Даны две параллельные плоскости и пересекающие их прямые. Найдите геометрическое место середин отрезков, расположенных между плоскостями.

Ответ. Плоскость, параллельная данным и делящая пополам любой из указанных отрезков.

Три плоскости попарно пересекаются. Верно ли, что линии их пересечения либо пересекаются в одной точке, либо параллельны? Покажите.

III этап. Танграм

Желтая дорожка

Зеленая дорожка

Составьте следующие фигуры из частей разрезанного квадрата.

IV этап

Зеленая дорожка

Сколько вершин имеет тетраэдр? Сколько граней у тетраэдра? Сколько диагоналей?               [4; 4; –]

III АГОН

Розыгрыш дорожек. Составьте алгоритм достижения цели.

I этап

Красная дорожка

Желтая дорожка

Зеленая дорожка

Точка K расположена вне плоскости треугольник ABC, E и F – середины отрезков KA и KC.

1) Докажите, что отрезок EF равен и параллелен средней линии треугольника ABC (MP).

2) Как расположены прямые EM и FP?

Точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости; K и M – середины отрезков BD и CD.

1) Имеют ли общие точки прямая KM и плоскость, в которой лежат точки A, B и C?

2) Вычислите периметр треугольника AKM, если расстояние между каждой парой данных точек равно 8 см.

Через точку K стороны AD параллелограмма ABCD проведена плоскость a, параллельная прямой DC.

1) На какие фигуры делит плоскость a данный параллелограмм? (Ответ поясните.)

2) Вычислите длины отрезков, на которые делит плоскость a диагональ BD, если DK = 6 см, AK = 8 см, BD = 21 см.

II этап

Красная дорожка

Желтая дорожка

Зеленая дорожка

Через сторону AB ромба ABCD проведена плоскость a. Точки E, F – середины сторон AD и DC.

1) Постройте точку пересечения прямой EF и плоскости a.

2) Вычислите расстояние от этой точки до точек A и B, если BC=12 см.

Через боковую сторону AB трапеции ABCD проведена плоскость a.

1) Постройте точку пересечения прямой DC и плоскости a.

2) Вычислите расстояние от этой точки до точек A и D, если AD=2 см, BC=6 см, AB=4 см, DC= 5 см.

Через сторону BC параллелограмма ABCD проведена плоскость a. Точки K и M – середины сторон AB и AD.

1) Постройте точку пересечения прямой MK и плоскости a.

2) Вычислите расстояние от этой точки до точек B и C, если AD=14 см.

III этап. Танграм

Желтая дорожка

Зеленая дорожка

Составьте следующие фигуры из частей разрезанного квадрата.

IV этап

Зеленая дорожка

К плоскости a проведены наклонные MA и MB и перпендикуляр MO. Углы между MB, MA и плоскостью a равны соответственно 30° и 45°, MO = 15 см. Вычислите длины наклонной MA и проекции наклонной MB.

Состязание теоретиков

1. Верно ли, что любая прямая, проходящая через точку пересечения медиан треугольника, пересекает его сторону?

2. Через точку M, которая не лежит в плоскости a, проведены прямые a, b и c. Они пересекают плоскость a в точках, которые не лежат на одной прямой. Лежат ли прямые a, b и c в одной плоскости? (Ответ поясните.)

3. Прямоугольник ABCD и равнобедренная трапеция BCMK лежат в разных плоскостях. Как расположены их диагонали BM и AC (BC C KM)?

4. Точка B отрезка AB лежит в плоскости a. Через точку A проведена прямая, пересекающая плоскость a в точке A1. Через середину отрезка AB (точку C) проведена прямая c, параллельная AA1.

а) Где расположена точка пересечения прямой c и плоскости a (C1)?
б) Вычислите CC1, если AA1 = 22 см.

5. Верно ли утверждение, что две прямые, параллельные одной плоскости, параллельны?

6. Отрезок KM = 10 см и параллелен плоскости a. Через его концы проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость a в точках K1 и M1.

а) Как расположены прямые KM и K1M1?
б) Вычислите расстояние между точками K1 и M1.
в) Вычислите площадь четырехугольника KMM1K1, если KK1 = 8 см,  РKMM1 = 30°.

7. Вершины A, B и точка O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD лежат в плоскости a. Лежат ли в этой плоскости вершины C и D?

8. Равные прямоугольники ABCD и ABMK лежат в разных плоскостях. Верно ли утверждение, что прямые AC и BK параллельны?

9. Прямая a параллельна плоскости a. Верно ли утверждение, что любая прямая плоскости a параллельна прямой a?

10. Отрезок AB=15 см лежит в плоскости a. Точка C не лежит в ней; K и M – середины отрезков AC и BC.

а) Может ли прямая KM иметь общие точки с плоскостью a? (Ответ поясните.)
б) Вычислите расстояние между точками K и M.