Г. Самойлик,
методист ОМЦ ЗОУДО, Москва

Яков Исидорович Перельман

Статья посвящена 120-летию со дня рождения известного популяризатора науки,
педагога, советского ученого Я.И. Перельмана

Краткая справка

Перельман Яков Исидорович (17.12.1882–16.03.1942). Родился в Белостоке. Окончил Петербургский лесной институт (1909). Работал редактором журналов «Природа и люди» и «В мастерской природы». советский ученый, популяризатор физико-математических наук, основоположник жанра научно-занимательной литературы. Один из первых пропагандистов идей К.Э. Циолковского, автор свыше 100 книг: «Занимательная физика», «Занимательная алгебра», «Занимательная геометрия», «Межпланетные путешествия», «Занимательная астрономия» и др.

Автор данных книг на десятилетия опередил свое время. Неоценима польза, которую принесли его публикации приучая к творчеству многие поколения детей. Их значимость получила реальное подтверждение и научное обоснование уже в наше время в работах многих современных психологов.

Методически точное содержание задач, высокая степень эмоциональности, которая передается через них читателю, — все это создает условия для выведения учащегося на высший уровень интеллектуальной активности — креативный.

Творчество Я.И. Перельмана подтверждает идею об интеллектуальной активности как основе развития творческих возможностей. Впервые термин «интеллектуальная активность» использовала Д.Б. Богоявленская в своей работе «Интеллектуальная активность как проблема творчества» (Ростов-на-Дону, 1983). Это понятие используется в качестве показателя личности, который включает в себя интеллектуальные и мотивационные компоненты. Задачи Я.И. Перельмана способствуют развитию интеллектуальной инициативы, являющейся (по мнению Д.Б. Богоявленской) наиболее специфичным показателем интеллектуальной активности. Важнейшая роль задач Я.И. Перельмана заключается в том, что они создают условия продолжения мыслительной деятельности за пределами заданной ситуации.

Работы Я.И. Перельмана стимулируют познавательные потребности юного поколения. Ведь познавательные потребности лежат, по мнению А.М. Матюшкина (Психологическая структура, динамика и развитие познавательной активности. – Журнал «Вопросы психологии», № 4/1982), в основе «познавательной активности», выражающейся по своей продуктивности в трех уровнях: ориентировочная реакция, вызываемая новизной объекта; исследовательская познавательная активность, возникшая в заданной проблемной ситуации; личностная активность, выражающаяся в форме интеллектуальной инициативы.

Действительно, несмотря на свой солидный возраст, задачи Я.И. Перельмана всегда остаются некоторым открытием для многих любознательных детей, впервые взявших в свои руки его замечательные книги. При этом они приобщаются к истинной исследовательской познавательной активности, возникающей в заданных Я.И. Перельманом проблемных ситуациях.

И наконец, посредством «занимательной науки», лежащей в основе книг Я.И. Перельмана, реализуется особая потребность в познании, характеризующая изначально каждого здорового ребенка. А данная познавательная потребность, по мнению В.С. Юркевича (Познавательная потребность как основа развития способностей ребенка. — Журнал «Вопросы психологии», № 4/1985), является главным условием развития одаренности детей.

В предисловии к тринадцатому изданию своей книги «Занимательная физика» Я.И. Перельман отражает основное кредо своих книг и практически дает оценку своей творческой деятельности: «...автор стремится не столько сообщить читателю новые знания, сколько помочь ему «узнать то, что он знает», то есть углубить и оживить уже имеющиеся у него основные сведения, научить сознательно ими распоряжаться и побудить к разностороннему их применению. Достигается это рассмотрением пестрого ряда головоломок, замысловатых вопросов, занимательных рассказов, забавных задач, парадоксов и неожиданных сопоставлений... Составитель старался, насколько мог, придавать изложению внешне интересную форму, сообщать привлекательность предмету. Он руководствовался той психологической аксиомой, что интерес к предмету повышает внимание, облегчает понимание и, следовательно, способствует более сознательному и прочному усвоению».

Важным является то, чтобы учителя, особенно начинающие, никогда не пренебрегали этой психологической аксиомой и включали в свою преподавательскую деятельность элементы полезной занимательности. Задачники Я.И. Перельмана по-прежнему остаются для этого незаменимым источником.

Для творческих учителей и их учеников, для тех, кто впервые знакомится с творчеством Я.И. Перельмана, ниже приводятся занимательные задачи и рассказы из его самых популярных книг.

Занимательная алгебра¹
«Трудная задача»

Картина Богданова-Бельского «Трудная задача» известна многим, но мало кто из видевших эту картину вникал в содержание той «трудной задачи», которая на ней изображена. Состоит она в том, чтобы устным счетом быстро найти результат вычисления:

Задача в самом деле нелегкая. С нею, однако, хорошо справлялись ученики того учителя, который с сохранением портретного сходства изображен на картине, именно С.А. Рачинского, профессора естественных наук, покинувшего университетскую кафедру, чтобы сделаться рядовым учителем сельской школы.

Талантливый педагог культивировал в своей школе устный счет, основанный на виртуозном использовании свойств чисел. Числа 10, 11, 12, 13 и 14 обладают любопытной особенностью:

10² + 11² + 12² = 13² + 14².

Так как 100 + 121 + 144 = 365, то легко рассчитать в уме, что воспроизведенное на картине выражение равно 2.

Алгебра дает нам средство поставить вопрос об этой интересной особенности ряда чисел более широко: единственный ли это ряд из пяти последовательных чисел, сумма квадратов первых трех из которых равна сумме квадратов двух последних?

Решение. Обозначив первое из искомых чисел через x, имеем уравнение

x² + (x + 1)² + (x + 2)² = (x + 3)² + (x + 4)⁴.

Удобнее, однако, обозначить через x не первое, а второе из искомых чисел. Тогда уравнение будет иметь более простой вид:

(x – 1)² + x² + (x + 1)² = (x + 2)² + (x + 3)².

Раскрыв скобки и сделав упрощения, получаем:

x² – 10x – 11 = 0,   откуда

x₁ = 11, x₂ = – 1.

Существуют, следовательно, два ряда чисел, обладающих требуемым свойством: ряд Рачинского 10, 11, 12, 13, 14  и ряд  – 2, – 1, 0, 1, 2.

В самом деле  (– 2)² + (– 1)² + 0² = 1² + 2².

Жизнь Диофанта

История сохранила нам мало черт биографии замечательного древнего математика Диофанта. Все, что известно о нем, почерпнуто из надписи на его гробнице — надписи, составленной в форме математической задачи. Мы приведем эту запись.

Решение. Решив уравнение и найдя, что x = 84, узнаем следующие черты биографии Диофанта: он женился в 21 год, стал отцом на 38 году, потерял сына на 80-м году и умер в возрасте 84 года.

 

 

Артель косцов

Известный физик А.В. Цингер в своих воспоминаниях о Л.Н. Толстом рассказывает о следующей задаче, которая очень нравилась великому писателю:

«Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам: первая артель осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру еще остался участок, скошенный на другой день одним косцом за один день работы.

Сколько косцов было в артели?»

Решение. В этом случае, кроме главного неизвестного — числа косцов, которое мы обозначим через x, — удобно ввести еще и вспомогательное, именно — размер участка, скашиваемого одним косцом в один день: обозначим его через y. Хотя задача и не требует его определения, оно облегчит нам нахождение главного неизвестного.

Выразим через x и y площадь большого луга. Луг этот косили полдня x косцов; они скосили

Вторую половину дня его косила только половина артели, то есть косцов; они скосили

Так как к вечеру был скошен весь луг, то площадь его равна

Выразим теперь через x и y площадь меньшего луга. Его полдня косили косцов и скосили площадь

Прибавим недокошенный участок, как раз равный y (площади, скашиваемой одним косцом за один рабочий день), и получим площадь меньшего луга:

Остается перевести на язык алгебры фразу: «первый луг вдвое больше второго», — и уравнение составлено:

:

Сократим дробь в левой части уравнения на y; вспомогательное неизвестное благодаря этому исключается, и уравнение принимает вид

откуда x = 8.

В артели было 8 косцов.

После напечатания первого издания «Занимательной алгебры» профессор А.В. Цингер прислал мне подробное и весьма интересное сообщение, касающееся этой задачи. Главный эффект задачи, по его мнению, в том, что «она совсем не алгебраическая, а арифметическая и притом крайне простая, затрудняющая только своей нешаблонной формой».

«История этой задачи такова, — продолжает профессор А.В. Цингер. — В Московском университете на математическом факультете в те времена, когда там учились мой отец и мой дядя И.И. Раевский (близкий друг Л.Н. Толстого), среди прочих предметов преподавалось нечто вроде педагогики. Для этой цели студенты должны были посещать отведенную для университета городскую народную школу и там в сотрудничестве с опытными искусными учителями упражняться в преподавании. Среди товарищей Цингера и Раевского был некий студент Петров, по рассказам — чрезвычайно одаренный и оригинальный человек. Этот Петров (умерший очень молодым, кажется, от чахотки) утверждал, что на уроках арифметики учеников портят, приучая их к шаблонным задачам и к шаблонным способам решения. Для подтверждения своей мысли Петров изобретал задачи, которые вследствие нешаблонности очень затрудняли «опытных искусных учителей», но легко решались более способными учениками, еще не испорченными учебой. К числу таких задач (их Петров сочинил несколько) относится и задача об артели косцов. Опытные учителя, разумеется, легко могли решать ее при помощи уравнения, но простое арифметическое решение от них ускользало. Между тем, задача настолько проста, что привлекать для ее решения алгебраический аппарат совсем не стоит.

Если большой луг полдня косила вся артель и полдня пол-артели, то ясно, что в полдня пол-артели скашивает луга. Следовательно, на малом лугу остался нескошенным участок в Если один косец в день скашиваетлуга, а скошено было то косцов было 8.

Толстой, всю жизнь любивший фокусные, не слишком хитрые задачи, эту задачу знал от моего отца еще с молодых лет. Когда об этой задаче пришлось мне беседовать с Толстым — уже стариком, его особенно восхитило то, что задача делается гораздо яснее и прозрачнее, если при решении пользоваться самым примитивным чертежом».

Ниже нам встретятся еще несколько задач, которые при некоторой сообразительности проще решаются арифметически, чем алгебраически.

Занимательная геометрия

Бросание иглы

Самый оригинальный и неожиданный способ для приближенного вычисления числа p состоит в следующем. Запасаются короткой (сантиметра два) швейной иглой, — лучше с отломанным острием, чтобы игла была равномерной толщины, — и проводят на листе бумаги ряд тонких параллельных линий, отделенных одна от другой расстоянием вдвое больше длины иглы. Затем роняют с некоторой (произвольной) высоты иглу на бумагу и замечают, пересекает ли игла одну из линий или нет (рисунок слева). Чтобы игла не подпрыгивала, подкладывают под бумажный лист пропускную бумагу или сукно. Бросание иглы повторяется много раз, например сто или, еще лучше, тысячу, каждый раз отмечая, было ли пересечение2.

Опыт Бюффона с бросанием иглы

Если потом разделить общее число падений иглы на число случаев, когда замечено было пересечение, то в результате должно получиться число p, конечно более или менее приближенно.

Объясним, почему так получается. Пусть вероятнейшее число пересечений иглы равно K, а длина нашей иглы — 20 мм. В случае пересечения точка встречи должна, конечно, лежать на каком-либо из этих миллиметров, и ни один из них, ни одна часть иглы, не имеет в этом отношении никаких преимуществ перед другими. Поэтому вероятнейшее число пересечений каждого отдельного миллиметра равно . Для участка иглы в 3 мм оно равно для участка в 11 мм — Иначе говоря, вероятнейшее число пересечений прямо пропорционально длине иглы.

Эта пропорциональность сохраняется и в том случае, если игла согнута. Пусть игла согнута в форме фигуры II (рисунок справа), причем участок AB = 11 мм, BC = 9 мм. Для части AB вероятнейшее число пересечений равно а для BC равно для всей же иглы то есть по-прежнему равно K. Мы можем изогнуть иглу и более затейливым образом (фигура III), — число пересечений от этого не изменится. (Заметьте, что при изогнутой игле возможны пересечения черты двумя и более частями иглы сразу; такое пересечение надо, конечно, считать за 2, за 3 и т. д., потому что первое зачислялось при подсчете пересечений для одной части иглы, второе — для другой
и т. д.).

Вообразите теперь, что мы бросаем иглу, изогнутую в форме окружности с диаметром, равным расстоянию между чертами (оно вдвое больше, чем наша игла). Такое кольцо каждый раз должно дважды пересечь какую-нибудь черту (или по одному разу коснуться двух линий, — во всяком случае, получаются две встречи). Если общее число бросаний N, то число встреч — 2N. Наша прямая игла меньше этого кольца по длине во столько раз, во сколько полудиаметр меньше длины окружности, то есть в 2p раз. Но мы уже установили, что вероятнейшее число пересечений пропорционально длине иглы. Поэтому вероятнейшее число (K) пересечений нашей иглы должно быть меньше 2N в 2p раз, то есть равно . Отсюда

Чем большее число падений наблюдалось, тем точнее получается выражение для числа p. Один швейцарский астроном Р. Вольф в середине прошлого века наблюдал 5000 падений иглы на разграфленную бумагу и получил в качестве p число 3,159... — выражение, впрочем, менее точное, чем архимедово число.

Как видите, отношение длины окружности к диаметру находят здесь опытным путем, причем — это всего любопытнее — не чертят ни круга, ни диаметра, то есть обходятся без циркуля. Человек, не имеющий никакого представления о геометрии и даже о круге, может тем не менее определить этим способом число p, если терпеливо проделает весьма большое число бросаний иглы.

Литература

1. Богоявленская Д.Б. Интеллектуальная активность как проблема творчества. — Ростов-на-Дону, издательство Ростовского университета, 1983.
2. Матюшкин А.М. Основные направления исследования мышления и творчества. — Психологический журнал, № 1/1984.
3. Матюшкин А.М. Психологическая структура, динамика и развитие познавательной активности. — Журнал «Вопросы психологии», № 4/1982.
4. Перельман Я.И. Занимательная алгебра. — М., Наука, 1970.
5. Перельман Я.И. Занимательная геометрия. — М., Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1955.
6. Юркевич В.С. Познавательная потребность как основа развития способностей ребенка. — Журнал «Вопросы психологии», № 4/1985.

---

¹ Здесь и далее приведены оригинальные тексты из книг Я.И. Перельмана.
² Пересечением надо считать и тот случай, когда игла только упирается концом в начерченную линию.