10-11 классы с углубленным изучением математики
Е. Потоскуев, г. Тольятти,
Л. Звавич, г. Москва
О новом учебном комплекте по стереометрии
Глава 1. Введение в стереометрию
§ 1. Предмет стереометрии. Основные понятия
Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур на плоскости (плоских фигур), называется планиметрией. Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве (пространственных фигур), называется стереометрией.
Слово «стереометрия» состоит из греческих слов «стереос» — телесный, пространственный и «метрео» — измеряю.
При изучении математики вы уже встречались с основными понятиями стереометрии: точками, прямыми и плоскостями, а также расстояниями. На интуитивном уровне вы, скорее всего, уже говорили:
- о принадлежности точки прямой или плоскости;
- о взаимном расположении прямых в пространстве (параллельны, пересекаются или скрещиваются);
- о взаимном расположении прямой и плоскости (прямая лежит в плоскости, пересекает ее или ей параллельна);
- о взаимном расположении двух плоскостей (плоскости пересекаются или параллельны).
Всюду в дальнейшем выражения «две точки», «две прямые», «две плоскости» следует понимать соответственно так: две различные точки, две различные прямые, две различные плоскости.
При изучении стереометрии мы будем пользоваться рисунками и чертежами: они помогут нам понять, представить, проиллюстрировать содержание того или иного факта, суть понятия, представить то, о чем идет речь в задаче, теореме.
Более того, интуитивное, живое пространственное воображение в сочетании со строгой логикой мышления — это ключ к изучению стереометрии. Поэтому прежде, чем приступить к пониманию сущности аксиомы, определения, доказательству теоремы, решению геометрической задачи, постарайтесь наглядно представить, вообразить, нарисовать фигуру, о которой идет речь. «Мой карандаш бывает еще остроумней моей головы», — признавался великий математик Леонард Эйлер (1707–1783).
Однако при строгом подходе к изучению геометрии рисунок не имеет доказательной силы, даже если он выполнен безупречно. И тем не менее, верно, наглядно и хорошо выполненный рисунок (чертеж) к задаче — это надежный помощник при ее решении.
В научной литературе доказательство должно основываться лишь на логических умозаключениях. В школьном же курсе геометрии из-за громоздкости ряда рассуждений, многообразия различных частных случаев при доказательствах теорем, с одной стороны, и ограниченности времени, с другой стороны, порой приходится жертвовать логической строгостью, прибегая к наглядности, что является вполне допустимым и разумным.
§ 2. О некоторых пространственных фигурах
Хотя
изучение пространственных фигур нам еще
предстоит, мы будем использовать отдельные виды
многогранников при рассмотрении ряда вопросов
стереометрии.
Напомним некоторые сведения о многогранниках и дадим каждому многограннику наглядное описание.
Многогранник представляет собой тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников (рис. 1–10). Эти многоугольники называются гранями многогранника, а стороны и вершины многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника. Многогранники могут быть выпуклыми (рис. 1) и невыпуклыми (рис. 2). Выпуклый многогранник расположен по одну сторону относительно плоскости, проходящей через любую его грань. (Мы будем изучать только выпуклые многогранники.)
Приведем примеры отдельных многогранников.
Куб представляет собой многогранник, у которого шесть граней, и все они — равные квадраты. У куба 12 равных ребер и 8 вершин (рис. 3).
Параллелепипед
представляет собой многогранник, у которого
шесть граней, и каждая из них —
параллелограмм. Параллелепипед может быть
прямым (рис. 4) или наклонным (рис. 5).
Параллелепипед, все грани которого прямоугольники, называют прямоугольным. Прямоугольный параллелепипед изображается также, как и прямой. Из сказанного следует, что куб — это прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.
n-угольная
пирамида представляет собой многогранник, одна
грань которого, называемая основанием
пирамиды, — некоторый выпуклый n-угольник, а
остальные n граней — треугольники с общей
вершиной (рис. 6). Эта общая вершина называется
вершиной пирамиды, а треугольники — боковыми
гранями пирамиды. Отрезки, соединяющие вершину
пирамиды с вершинами ее основания, называются
боковыми ребрами пирамиды. Пирамида, в основании
которой лежит правильный n-угольник, а боковые
ребра равны между собой, называется правильной
пирамидой (рис. 7). Пирамида, в основании
которой лежит треугольник, называется
треугольной пирамидой или тетраэдром. Таким
образом, тетраэдр — это четырехгранник. Все
его четыре грани — треугольники. Тетраэдр, все
четыре грани которого — равные правильные
треугольники, называется правильным тетраэдром
(рис. 8). Правильный тетраэдр — это
частный случай правильной треугольной пирамиды.
n-угольная
призма представляет собой многогранник, две
грани которого, называемые основаниями
призмы, — равные n-угольники, а все остальные n
граней — параллелограммы. Они называются
боковыми гранями призмы. Призма может быть
прямой (рис. 9) или наклонной (рис. 10). У прямой
призмы все боковые грани — прямоугольники, у
наклонной призмы хотя бы одна грань —
параллелограмм, не являющийся прямоугольником.
Параллелепипед — это призма, в основании которой лежит параллелограмм.
Сферой
называется множество всех точек пространства,
удаленных от данной точки, называемой центром
сферы, на одно и то же расстояние (рис. 11).
Отрезок, соединяющий любую точку сферы с ее
центром, называется радиусом сферы. Радиусом
сферы называют также расстояние от любой точки
сферы до ее центра. Для сферы, как и для
окружности, определяются хорды и диаметр.
Шаром называется множество всех точек пространства, расстояние от каждой из которых до данной точки — центра шара — не превосходит данного положительного числа, которое называется радиусом шара.
Шар и куб — примеры геометрических тел, сфера и плоскость — примеры поверхностей.