Главная страница «Первого сентября» • Главная страница журнала «Математика» • Содержание №3/2003

Продолжение. Начало в № 2/2003

Г. Муравин,
Москва

Уравнения, неравенства и их системы

11 класс

Фрагмент учебника Г.К. Муравина, О.В. Муравиной

Системы уравнений

Большинство уравнений, которые вам довелось решать, были уравнениями с одной переменной. В отличие от них уравнение с двумя переменными, как правило, имеет бесконечно много решений, хотя и из этого правила бывают исключения.

Пример 1. Решите уравнение ln2 x + y2 + 1 = 2y.

Решение. Перепишем данное уравнение:

ln2 x + (y – 1)2 = 0.

Оба слагаемых должны одновременно быть равны нулю, что достигается только при x = y = 1.

Ответ: x = 1, y = 1.

При решении уравнения мы встретились с требованием одновременного выполнения условий

ln2 x = 0 и (y – 1)2 = 0,

то есть с системой

Введение новой переменной, помогавшее решать уравнения предыдущего пункта, по сути дела тоже заменяло уравнение системой уравнений. Например, замена 2x–1 = y при решении уравнения 4x – 10·2x–1 = 24 приводит к системе

Заметим, что, хотя нас по-прежнему интересуют только значения переменной x, знак равносильности при переходе от уравнения к системе ставить нельзя, так как решением системы является не число x, а пара (x; y).

Вы знакомы с двумя основными подходами к решению систем — методами сложения и подстановки. Оба этих метода сводят решение системы уравнений с несколькими переменными к решению уравнения с одной переменной. При этом используется возможность:

1) умножать уравнение системы на отличное от нуля число;
2) заменять уравнение его суммой или разностью с другим уравнением этой системы;
3) заменять в уравнении переменную ее выражением, полученным из другого уравнения системы*).

Пример 2. Решите систему уравнений

Решение. Заменим одно из уравнений системы его суммой с другим уравнением этой системы:

В первом уравнении системы осталась одна переменная. Решим его.

Теперь можно найти значения cos y и подставить их во второе уравнение:

Ответ:

Примечания. 

1. Запись ответа в виде пар применяется для переменных x и y. Если переменные обозначены другими буквами — лучше либо записывать ответ в виде простейших систем, либо использовать буквы с индексами, например:

2. Различные буквы n и k в записи ответа говорят о независимости их замены целыми числами — можно, например, взять n=0, а k=3.

Пример 3. Решите систему уравнений

Решение. Умножим первое уравнение на – 2 и прибавим его ко второму уравнению системы:

Второе уравнение полученной системы является квадратным относительно произведения xy. Решая его, находим, что xy = –1 или xy = –3.

Подставляя эти значения xy в первое уравнение системы, получаем

Первая из этих систем не имеет решений, а у второй — два решения: (3; – 1) и (– 3; 1).

Ответ: (3; – 1), (– 3; 1).

Кроме сложения и вычитания уравнений системы, их иногда бывает удобно перемножать или делить друг на друга.

Пример 4. Решите систему уравнений

Решение. В левых частях обоих уравнений можно заметить фрагменты формул суммы и разности кубов x и y. Заменим первое уравнение системы произведением ее уравнений:


или

Решая второе уравнение первой системы, получим y = –1 или y = 0, а второе уравнение второй системы корней не имеет.

Ответ: (1; – 1), (1; 0).

Как и при решении уравнений, при решении систем иногда используются свойства монотонных функций.

Пример 5. Решите систему уравнений

Решение. С учетом положительности значений переменных, которая следует из второго уравнения, перепишем систему в виде

Левая и правая части первого уравнения системы представляют собой значения убывающей функции

z = log0,7 t – t

соответственно при t=x и при t=y. Из их равенства следует, что x=y. Получаем систему

второе уравнение которой является квадратным относительно . Решив его и найдя y = 9, получаем ответ.

Ответ: (9; 9).

Как и при решении уравнений, при решении систем часто используется замена переменных.

Пример 6. Решите систему уравнений

Решение. Обозначив получим

Возвращаемся к переменным x и y:

Ответ:

Иногда замена переменных может даже увеличить число уравнений.

Пример 7. Решите систему уравнений

Решение. Обозначим где u, v и z могут принимать только неотрицательные значения. Тогда u2 – v2 – z2 = 3, и мы получаем систему трех уравнений с тремя переменными:

Заметим сразу, что вторая из полученных систем не удовлетворяет условию введения переменной z (z і 0).

Возвращаясь к переменным x и y, получим:

Понятно, что при этом

Ответ:

Пример 8. Решите систему уравнений  

Решение. Данная система уравнений называется однородной, так как левые части ее уравнений — однородные многочлены второй степени (каждый член данного многочлена имеет вторую степень). Умножим первое уравнение на 11 и вычтем из него второе уравнение системы:

Получилась система, первое уравнение которой является однородным уравнением второй степени относительно x и y. Поскольку y=0 не удовлетворяет этому уравнению, делением на y2 приводим его к равносильному уравнению, являющемуся квадратным относительно :

Таким образом, исходная система свелась к совокупности двух незатейливо решаемых методом подстановки систем:

Рассмотрим еще один тип систем, уравнения которых симметричны относительно переменных, то есть не изменяются при замене x на y, а y на x. Системы таких уравнений называются симметрическими. Решения одной из простейших симметрических систем можно найти как корни квадратного уравнения z2 – pz + q = 0, а в более сложных случаях может помочь введение новых переменных u = x + y и v = xy.

Пример 9. Решите систему уравнений  

Решение. Обозначим x + y = u, xy = v, тогда x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = u2 – 2v.

Получаем:

Возвращаемся к переменным x и y:

Ответ: (3; 1), (1; 3).

Переход к системе помогает иногда и при решении иррациональных уравнений.

Пример 10. Решите уравнение

Решение. Обозначим

Тогда   m3 = 3 – x, n3 = 4 + x и m3 + n3 = 7.

Получаем симметрическую систему С учетом того, что m + n = 1 преобразуем левую часть второго уравнения:

m3 + n3 = (m + n)3 – 3mn(m + n) = 1 – 3mn.

Далее имеем      z2 – z – 2 = 0, z1 = – 1, z2 = 2, n1 = – 1, n2 = 2.

Понятно, что записывать значения m излишне.

Возвращаясь к переменной x, получаем:

Можно подставить найденные значения x в исходное уравнение и убедиться, что они действительно являются его корнями.

Ответ: 4, – 5.

Упражнения

1. Решите систему уравнений методом подстановки:

В чем особенность систем уравнений, которые решаются методом подстановки?

2. Решите систему уравнений методом сложения:

В чем особенность систем уравнений, которые решаются методом сложения?

3.· Критическими точками функции P(x) = x3 + ax2 + bx + c являются x1 = 1, x2 = 3. Найдите P(3), если P(1)=4.

4.о Решите систему тригонометрических уравнений:

5. Решите систему уравнений, используя метод сложения:

6.о Решите систему, перемножая ее уравнения или деля одно уравнение на другое:

7.о Решите систему уравнений, используя замену переменных:

8.о Решите систему уравнений как однородную:

9. Решите симметрическую систему уравнений:

10.· Решите иррациональное уравнение, при необходимости переходя к системе:

11.· Решите систему уравнений:

12.· Найдите все решения системы уравнений

удовлетворяющие условиям 0<x<p, 0<y<p. 

Контрольные вопросы и задания

1. Какие две системы называются равносильными? Какие преобразования системы заведомо переводят ее в равносильную?

2. Можно ли использовать знаки следования или равносильности при переходе к системе с новыми переменными? В каком случае замена переменных приведет к равносильной системе?

3. Решите систему уравнений

*) Результатом перечисленных преобразований является система, равносильная исходной.
о — упражнения более сложные.
· — упражнения, для выполнения которых нужно применить нестандартный подход.