Продолжение. См. № 1/2003.

Е. Смирнова, И. Шарыгин,
Москва

Геометрия – витамин для мозга

Глава I

Глава I – материал вводного характера. Ее основная цель — ввести учащихся в замечательный мир геометрии, где происходит переход от реального мира, реальных трехмерных форм к геометрическим абстракциям: поверхностям, линиям, точкам, к плоским фигурам. Предлагается и другая схема: точка, затем траектория движения точки — линия, двумерные фигуры, «заметаемые» линиями; после чего происходит выход в трехмерное пространство и переход к телам. Геометрические тела (формы) рассматриваются с двух точек зрения: как готовая форма (статический подход) и как результат некоего движения (кинематический подход). Именно с этих двух точек зрения изучаются в главе I важнейшие геометрические формы.

Урок 1

Тема: Геометрические тела

Цели урока:

• Познакомить учащихся с новым учебным предметом «геометрия». Рассказать им о том, что изучает геометрия.
• Рассказать о реальных геометрических формах. Выделить основную пространственную форму — геометрическое тело.
• Познакомить учащихся с учебным комплектом пособий для изучения геометрии в 7-м классе.

Оборудование урока:

1. Модели различных геометрических тел.

2. Кодопозитивы к упражнениям 1, 2 пособия [4].

3. Учебные пособия [1], [4], [7].

Ход урока

I. Беседа учителя с учащимися

Люди издавна интересуются окружающим миром и для изучения его создали различные науки. В каждой из наук изучаются предметы и явления с какой-нибудь точки зрения. При этом не обращают внимания на некоторые свойства изучаемых объектов, которые не существенны для данной науки. Так, в биологии при изучении размножения растений обсуждают вопрос о способах их опыления, а значит, говорят о расположении в цветке разных его частей и их роли в этом процессе, но при этом не рассматривают форму цветка, его цвет, форму лепестков, вид почвы, на которой растут цветы. Формами, расцветкой цветка интересуются селекционеры, выводящие новые виды растений, а почвами и вообще строением земной поверхности занимаются другие науки. Сегодня мы постараемся ответить на вопрос о том, чем занимается геометрия.

Далее учитель начинает знакомить учащихся с учебником геометрии 7–9-х классов [1]. Это знакомство желательно начать с чтения слов автора, которые он обращает к ученикам. Здесь же можно рассказать и об авторе учебника.

Учитель продолжает свою беседу с учениками. Он напоминает, что за каждым словом, определяющим ту или иную науку, стоят те или иные объекты и явления. Так, например, за словом «биология» стоят зримые образы — растения и животные. А какие образы стоят за словом «геометрия»? Для ответа на этот вопрос учитель предлагает обратиться к обложке учебника геометрии, на которой изображены различные объекты, изучаемые в геометрии.

Если обратиться к энциклопедическому словарю, то там геометрия определяется как раздел математики, изучающий пространственные формы и их отношения. Перед учащимися сразу встает вопрос: «А что такое пространственные формы?». Ответ может быть таким: само пространство или какая-то его часть может служить примером пространственной формы, причем важнейшей пространственной формой является геометрическое тело, то есть ограниченная часть пространства. При этом геометрия интересуется только формой и размерами этой ограниченной части пространства.

Богатую коллекцию геометрических тел дают нам геологические и биологические объекты. Например, плоды различных растений чрезвычайно разнообразны как по вкусу и аромату, так и по форме и размерам. Смородина, клюква, апельсин, арбуз обладают совершенно разными вкусами и значительно различаются по размеру, но с точки зрения геометрии их объединяет то, что они обладают одной из самых совершенных форм природы — формой шара. Поэтому несъедобный одуванчик, имеющий ту же форму, с точки зрения геометрии ничем не отличается от арбуза, апельсина, клюквы.

Человека окружают геометрические тела самой различной формы. Простейшим из них дали названия: шар, куб, параллелепипед, призма, пирамида, усеченная пирамида, цилиндр, конус, усеченный конус и другие, известные учащимся из курса «Наглядной геометрии». Полезно продемонстрировать модели этих геометрических тел и выполнить упражнение 1 из рабочей тетради для 7-го класса [4], где для каждого изображенного там геометрического тела предлагается указать по два предмета, похожих на него по форме. Конечно, далеко не всякий предмет будет в точности соответствовать по форме одному из названных выше геометрических тел, но некоторые тела можно мысленно «разъять на части» по форме, близкой к ним. Это и требуется выполнить в упражнении 2 пособия [4], причем около каждой части предмета предлагается подписать название похожего геометрического тела. При обсуждении упражнений 1 и 2 пособия [4] удобно использовать кодопозитивы (их можно заменить рисунками на переносной доске).

II. Итог урока

При подведении итогов урока учитель должен познакомить учеников со всем комплектом учебных пособий для изучения геометрии в 7-м классе (пособия [1], [4], [7]). Он сообщит им также о необходимости иметь четыре тетради: две рабочие тетради (для работы в классе и дома), одну тетрадь для контрольных работ и тетрадь для конспектов и опорных фактов (тетрадь систематизации материала).

В тетрадь для систематизации материала вносятся первые записи (первый конспект).

Т С М

Предмет геометрии

1. Чем занимается геометрия?

Геометрия изучает пространственные формы и отношения. Примером пространственных форм может служить само пространство или некоторая его часть.

2. Важнейшими пространственными формами являются геометрические тела. Геометрическое тело — это ограниченная часть пространства.

3. См. таблицу 1.

Т а б л и ц а 1

Замечания для учителя. При изображении геометрических тел нужно обратить внимание учащихся на правила проведения линий невидимого контура. Для закрепления этих правил полезно выполнить упражнение 5 пособия [4], причем рабочие эскизы нужно выполнять в тетради для классных работ, а в рабочую тетрадь [4] переносить готовое решение. Эти решения могут быть следующими:

а)

б)

Рис. 1

К упражнению 5 тесно примыкают упражнения 3 и 4 пособия [4] о невозможных и неоднозначных объектах. Такие упражнения знакомы учащимся из курса наглядной геометрии [2] (см. параграфы 2, 5).

III. Задание на дом: пункт 1.1 (часть I), упражнения 1, 2, 5. Подготовить к работе четыре вышеперечисленные тетради, геометрические инструменты, спички, пластилин, резинки или эластичные шнуры. Поместить все это в пенал для черчения или в планшет.

Урок 2

Тема: Поверхности

Цели урока:

• Ввести понятие поверхности как границы геометрического тела.
• Рассмотреть вопрос о поверхности как некоторой математической абстракции реальных пространственных форм.
• Выяснить число измерений геометрического тела, поверхности.
• Рассмотреть поверхность куба и поверхность тетраэдра.
• Ввести понятие многогранника.
• Предложить учащимся для решения ряд содержательных задач и упражнений, связанных с развертками куба и тетраэдра.

Оборудование урока:

каркасные модели куба и тетраэдра, их развёртки.

Ход урока

I. Фронтальная работа с классом (10 мин)

1. Вопросы классу.

Что изучает геометрия?
Какие примеры пространственных форм вы знаете?
Как вы понимаете термин «геометрическое тело»?
Какие вы знаете простейшие геометрические тела?
Какие реальные предметы, напоминающие каждое из указанных тел, вы можете назвать?

2. Обсуждение домашних упражнений:

а) упражнения 5 пункта 1.1 пособия [1];
б) упражнения 7 пункта 1.1 [1], решение которого понятно из рисунка 2.

Рис. 2

Замечание. Если нет головоломки заводского изготовления, то желательно показать решение на модели, выполненной из цветного пластилина, причем головоломку можно расположить в коробке, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда.

II. Вопросы к классу

Сколько измерений необходимо произвести, чтобы изготовить коробку, имеющую форму параллелепипеда?

Ответ: три измерения — длину, ширину и высоту.

Сколько измерений имеет «египетская пирамидка», о которой идет речь в упражнении 7 [1]?

Ответ: три.

Обобщение: любое геометрическое тело имеет три измерения (смотри заключительную часть пункта 1.1).

III. Дальнейшая работа с учебником предполагает чтение и разбор текста пункта 1.2 (с. 11, 12), посвященного понятию поверхности как границы геометрического тела и вопросу о числе ее измерений. Учащимся можно предложить дополнить примеры поверхностей, данные на странице 12 учебника, подчеркнув при этом, что понятие поверхности является математической абстракцией. Удачным примером поверхности может служить поверхность воды в море или в озере. В тихую безветренную погоду можно увидеть зеркальную гладь озера – прообраз плоской поверхности или, как её называют, плоскости.

Для введения понятия поверхности многогранника можно воспользоваться проволочными каркасами куба и пирамиды (рис. 3).

Рис. 3

На проволочный каркас натягивается пленка, которая образует поверхность куба и пирамиды (тетраэдра). Отдельные плоские части этой поверхности называются гранями куба или пирамиды, а сами проволочные каркасы с натянутой на них мыльной пленкой — многогранниками с шестью (у куба) и четырьмя (у пирамиды) гранями. Линии, из которых состоят каркасы куба и пирамиды называются ребрами. У куба имеется 12 ребер, у пирамиды — 6 ребер. Точки, где сходятся концы ребер, называются вершинами, их у куба 8, у пирамиды — 4. Полезно рассмотреть и другие многогранники, указав у них число граней (Г), ребер (Р), и вершин (В). Проделав это, можно проверить равенство

Г + В – Р = 2

для каждого многогранника (теорема Эйлера). Полезно также решить упражнение 6 [4].

IV. Самым известным для учащихся многогранником является куб. Куб и его свойства рассматриваются в параграфе 5 пособия [2] и в пунктах 11 и 12 пособия [3]. Там дается ряд упражнений на развертки куба. С решения этих упражнений нужно начать знакомство с развертками. После этого можно перейти к решению упражнений, посвященных построению разверток других многогранников. Закончить тему разверток многогранников необходимо решением упражнений из учебника [1] и пособия [4] в следующем порядке.

Упражнение 2 п. 1.2

Замечание: это упражнение удобно выполнять, используя заранее изготовленные фигура куба. Дополнительно можно ввести задание: в том случае, если приведенная на рисунке фигура является разверткой куба, то, используя ее, найти площадь поверхности соответствующего куба.

Рис. 4

Решение.

Разверткам куба соответствуют фигуры, приведенные на рисунках 8,б и 8,в учебника [1], п.1.2.

Для того, чтобы получить поверхности соответствующих кубов, согните их развертки по пунктирным линиям так, как показано соответственно на рисунках 4,а и 4,б.

Теперь легко подсчитать площади разверток, а следовательно, и площади поверхностей соответствующих кубов. Площадь поверхности куба, приведенного на рисунке 8,б [1], равна 6 кв. ед., а на рисунке 8,в [1] — 12 кв. ед.

Ответ: фигура а) на рисунке 8 [1] разверткой куба не является, так как у куба в каждой вершине должно сходиться по три ребра, в то время как в точке A (рис. 5) это требование не выполняется.

Фигура г) также не является разверткой куба. Это устанавливается анализом расположения граней. Если одну из граней (на рисунке 6 она заштрихована) считать нижней гранью куба, то отметив боковые грани убеждаемся, что их число равно пяти, а не четырем, как у куба.

Фигуры же б) и в) являются развертками куба, что видно на рисунках 7,а и 7,б.

Рис. 7

Упражнение 8 [4].

В упражнении требуется нарисовать еще несколько разверток куба. Они могут быть, например, такими (рис. 8):

Рис. 8

Далее можно рассмотреть более сложные упражнения.

Упражнение. Поверхность куба, изображенного на рисунке 9, разрезали по отрезкам OD, OA, OK, OM, ON, OC и MB и развернули. Начертите получившуюся развертку.

Решение приведено на рисунке 10.

Замечание: решение полезно проверить а) либо сгибая по пунктирным линиям развертку, б) либо разрезая исходную модель по указанным линиям.

Выполнив несколько упражнений на построение разверток куба, можно перейти к построению разверток других многогранников, в частности тетраэдра.

Упражнение. Из бумажного треугольника, все углы которого острые, сложить тетраэдр.

Тетраэдр можно сложить, перегибая треугольник вдоль прямых l₁, l₂, l₃, проходящих через середины его сторон.

Решение приведено на рисунке 11.

Рис. 11

Замечание для учащихся: если исходный треугольник равносторонний — получится правильный тетраэдр, то есть пирамида, все ребра которой равны.

Упражнение. Какие многоугольники, изображенные на рисунке 12 можно считать развертками правильного тетраэдра? Почему?

Рис. 12

Решение. Изображенные на рисунках 12,а и 12,б многоугольники являются развертками правильного тетраэдра. Многоугольник, показанный на рисунке 12,в, не может быть разверткой тетраэдра, поскольку в его вершине А сходятся четыре ребра, что для тетраэдра не имеет места (у тетраэдра в одной точке сходятся только три ребра).

V. Итоги урока

1. Приведите примеры геометрических тел, у которых толщина пренебрежимо мала по сравнению с другими размерами. Как в этом случае геометры называют эти тела?

2. Сколько измерений имеет комната? Сколько измерений интересуют художника, создающего панно на одной из стен комнаты?

3. Сколько измерений имеет шар? Сфера? Объясните свой ответ. Приведите примеры тел, которые можно считать моделью шара, и тел, которые можно считать моделью сферы.

4. Чем существенно различаются поверхности следующих трех тел — шара, куба и цилиндра?

Ответ: поверхность куба состоит из шести плоских граней, у шара поверхность не является плоской, а поверхность цилиндра состоит из двух плоских частей и цилиндрической поверхности, которая не является плоской.

Задание на дом: пункт 1.1 [1], пункт 1.2 [1] упр. 5.

Дополнительное упражнение. По каким ребрам нужно разрезать куб, изображенный на рисунке 13, чтобы получить развертку, представленную на рисунке 14?