Проект стандарта по геометрии

Предлагаем вашему вниманию проект стандартов, разработанный альтернативной группой преподавателей и ученых… Критику, мысли и предложения просим присылать по адресу: 119002, г. Москва, Б. Власьевский пер., д. 11, Московский центр непрерывного математического образования. На конверте указать «Стандарт» или по e-mail: stаndart@mccme.ru .

Широкое обсуждение проекта стандартов по математике (подготовленного группой под руководством Г.В. Дорофеева) показало, что этот проект не мог быть принят за основу федерального стандарта по математике. В связи с этим по инициативе РАН, МИАН им. В.А. Стеклова, МГУ им. М.В. Ломоносова, Департамента образования города Москвы осенью 2002 года была сформирована независимая группа для разработки нового проекта.

Работу этой группы координировали Долбилин Н.П. (МИАН), Панферов В.С. (МГУ), Семенов А.Л. (МИОО), Ященко И.В. (МЦНМО).

В работе группы принимали участие Арнольд В.Д., Блинков А.Д., Звавич Л.И., Потапов М.К., Семенов А.В., Семенов П.В., Сергеев И.Н., Смирнов В.А., Тихомиров В.М., Шарыгин И.Ф.

В разработке проекта стандарта по геометрии участвовали Долбилин Н.П., Шарыгин И.Ф. (руководители), Арнольд В.Д., Блинков А.Д., Панферов В.С., Семенов А.В., Сергеев И.Н., Смирнов В.А., Ященко И.В.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
К ПРОЕКТУ СТАНДАРТА ПО ГЕОМЕТРИИ

Проект стандарта по геометрии разработан для двух школьных ступеней: Основная школа (5–9-е классы) и Старшая школа (10–11-е классы), которая в свою очередь делится на «базовую» и «профильную». (Здесь мы не обсуждаем вопрос о том, сколько должно быть «профилей» и в каких классах, а следуем документам Министерства образования РФ.)

При разработке проекта мы исходили из того, что по ряду причин количество часов математики в Основной школе должно быть не менее 6 часов в неделю, а в старших классах – не менее 5 часов в «базовой» и 8 часов – в «профильной». Чрезвычайно важно «не выдавливать» математику из основной школы.

Авторы проекта стандарта по геометрии исходят из того, что серьезные изменения содержания, приводящие к неизбежной замене учебников, можно производить лишь в случае крайней необходимости. Содержание данного проекта в целом соответствует действующим учебникам геометрии из федерального комплекта.

Для каждой ступени стандарт состоит из двух частей: Содержание и Требования к подготовке учащихся. Некоторые темы и разделы, входящие в содержание выделены курсивом. Курсив означает, что указанная тема должна быть освещена в учебнике и излагаться на уроке, но не спрашиваться. Темы, отмеченные «звездочкой», носят необязательный характер. Учитель или автор учебника вправе не излагать эту тему на уроке или в учебнике. Остальные темы и разделы должны изучаться, хотя, конечно, глубина изучения зависит от уровня подготовленности учащихся.

Материал «Дополнительные темы планиметрии» предоставляет учителю список рекомендуемых тем для изучения в профильной школе. Выбор тем этого раздела и глубины их изучения зависит только от учителя.

Хотя данный проект стандарта и не рассматривает содержание геометрии в математических классах основной школы (в 8–9-х классах), он может использоваться с учетом необязательных тем и раздела «дополнительные темы планиметрии».

В разделе «Требования к подготовке учащихся» представлен относительно небольшой список требований, носящих характер общих рекомендаций.

Вместе с тем мы считаем, что уровень математической подготовки определяется не перечнем изучаемых понятий и теорем, а умением решать задачи. Поэтому в качестве неотъемлемого измерителя уровня подготовленности школьника выступает система задач (см. Приложение, сейчас система задач дорабатывается и будет вынесена на обсуждение позднее). Именно в системе задач будет отражен «стандартный» уровень требований (на оценку «4» и «5»), и отдельно выделен список простейших задач, соответствующих «минимальному» уровню (оценке «3»).

Система задач, по нашему мнению, не только является основным измерителем подготовленности учащихся на выходе из ступени, но и может быть использована в процессе обучения. По нашему мнению, не нужно опасаться, что обучение может свестись к натаскиванию на решение данного набора задач. Мы стремимся создать систему задач, для освоения которой необходим полноценный учебный процесс.

Разгрузка содержания коснулась, в частности, начальных разделов. Разумеется, неупоминание в них аксиоматики не означает запрета на построение курса на аксиоматической основе. Необязательность аксиоматического построения (при сохранении дедуктивного характера) открывает, по нашему мнению, больше возможностей для отработки важных содержательных (и традиционных для нашей школы) разделов, что положительно скажется на геометрической подготовке школьников.

Одной из важнейших методологических проблем, которые приходится решать в процессе создания школьного курса геометрии является проблема взаимоотношений между плоскостной и пространственной геометрией. С одной стороны, первичной является геометрия пространства, изучающая реальные (хотя и идеализированные) тела, свойства которых ребенок познает с первых дней своей жизни. А с другой, дедуктивное построение геометрической теории логичнее выстраивать от плоскости к пространству. Кроме того, решение большинства пространственных задач сводится к одной или нескольким задачам планиметрии. Попытки решения проблемы посредством одновременного изучения планиметрии и стереометрии предпринимались неоднократно и безуспешно.

В то же время полное исключение из программ основной школы пространственной геометрии имеет известные негативные стороны. Недопустимо, чтобы ученик, покидающий школу после 9-го класса, не выносил из курса геометрии никаких представлений о пространстве и свойствах основных пространственных тел. Для этого в первый раздел «Содержания основной школы» закладывается «поверхностное» (то есть по существу требующее знаний лишь планиметрии, но не стереометрии) представление о пространственных телах, что отражено и в соответствующих задачах.

ГЕОМЕТРИЯ

Требования к математической подготовке учащихся

В результате изучения данного курса предполагается, что учащийся будет:

• уметь изображать основные геометрические фигуры на плоскости (углы, некоторые частные виды треугольников, четырехугольников и многоугольников; окружность); знать основные свойства этих фигур;
• различать основные виды взаимного расположения фигур (параллельность, перпендикулярность, пересечение, касание, вписанность, описанность);
• иметь наглядные представления об основных пространственных формах (куб, параллелепипед, призма, пирамида, шар, сфера, конус, цилиндр);
• уметь изображать указанные пространственные формы, распознавать их на чертежах, моделях, в окружающей действительности; иметь представления о сечениях, уметь рисовать развертки некоторых из этих форм;
• уметь выполнять чертеж, соответствующий данной задаче;
• решать планиметрические задачи на нахождение величин (длин отрезков, величин углов, площадей) с необходимыми теоретическими обоснованиями;
• уметь решать задачи на доказательство геометрических фактов;
• уметь решать основные задачи на построение;
• уметь решать задачи планиметрического характера, связанные с трехмерными фигурами (нахождение площадей поверхностей основных многогранников, построение некоторых простейших сечений и др.).

Конкретизация уровня требований содержится в прилагаемом списке задач двух уровней: стандартного и минимального. Этот список задач является неотъемлемой частью данного раздела стандарта.

ГЕОМЕТРИЯ

СОДЕРЖАНИЕ

1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМЫ, ФИГУРЫ И ТЕЛА

1.1. Точка, прямая и плоскость. Части прямой (отрезок, луч), угол, ломаная.
1.2. Отрезок прямой как кратчайший путь между двумя точками. Расстояние. Измерение отрезков.
1.3. Вертикальные и смежные углы. Измерение углов.
1.4. Параллельность и перпендикулярность прямых. Признаки и свойства.
1.5. Фигуры на плоскости. Многоугольники. Виды многоугольников. Выпуклые многоугольники. Окружность и круг.
1.6. Осевая и центральная симметрия фигур.
1.7. Длина ломаной, периметр многоугольника.
1.8. Понятие о равенстве в геометрии.
1.9. Наглядные представления о пространственных фигурах (куб, параллелепипед, призма, пирамида, шар, сфера, конус, цилиндр). Изображение, сечения. Развертки.

2. ТРЕУГОЛЬНИКИ

2.1. Внутренние и внешние углы треугольника. Стороны треугольника, его медианы, биссектрисы, высоты.
2.2. Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники.
2.3. Равнобедренный треугольник. Свойства и признаки. Равносторонний треугольник.
2.4. Признаки равенства треугольников.
2.5. Неравенство треугольника. Перпендикуляр и наклонная.
2.6. Сумма углов треугольника. Сумма углов выпуклого многоугольника.
2.7. Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника.
2.8. Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников.
2.9. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора.
2.10. Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°.
2.11. Теорема синусов и теорема косинусов. Решение треугольников.
2.12. Замечательные точки треугольника – точки пересечения: серединных перпендикуляров (центр окружности, описанной около треугольника), биссектрис (центр окружности, вписанной в треугольник), медиан, высот.

3. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ

3.1. Параллелограмм. Ромб, прямоугольник, квадрат. Свойства и признаки.
3.2. Трапеция. Средняя линия трапеции.
3.3. Вписанные четырехугольники. Описанные четырехугольники.

4. ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ

4.1. Центр, радиус, диаметр окружности и круга. Дуга, хорда. Сектор, сегмент.
4.2. Взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей. Касательная к окружности и ее свойства (равенство касательных к окружности, выходящих из одной точки). Секущая окружности.
4.3. Центральный угол, вписанный угол. Угол с вершиной внутри круга, угол с вершиной вне круга.
4.4. Окружность, вписанная в треугольник, и окружность, описанная около треугольника.
4.5. Вписанные и описанные многоугольники.
4.6. Метрические соотношения в окружности (свойства хорд, секущих, касательных).
4.7. Правильные многоугольники.
4.8. Длина окружности и длина дуги. Число p. Радианная мера угла.

5. ПЛОЩАДИ ПЛОСКИХ ФИГУР

5.1. Понятие о площади плоских фигур. Равновеликость. Связь между площадями подобных фигур.
5.2. Площадь прямоугольника.
5.3. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции (основные формулы).
5.4. Различные формулы площади треугольника (через две стороны и угол между ними, формула Герона). Формулы, связывающие площадь треугольника с радиусом вписанной и радиусом описанной окружности.
5.5. Площадь четырехугольника. Формула, выражающая площадь четырехугольника через две диагонали и угол между ними.
5.6. Площадь описанного многоугольника.
5.7. Площадь круга и площадь сектора

6. КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ

6.1. Декартовы координаты на плоскости. Формула расстояния между двумя точками.
6.2. Уравнение окружности. Уравнение прямой.
6.3. Вектор. Длина (модуль) вектора. Коллинеарные векторы. Равенство векторов.
6.4. Операции над векторами (умножение на число, сложение). Координаты вектора. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.
6.5. Скалярное произведение векторов.

7. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ

7.1. Движение. Виды движения: осевая симметрия, параллельный перенос, поворот.
7.2. Гомотетия. Подобие фигур.

8. МЕТОДЫ И ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИИ

8.1. Методы решения задач: геометрических мест; симметрии; подобия; площадей; дополнительных построений; вспомогательного треугольника.
8.2. Простейшие построения с помощью циркуля и линейки: угла, равного данному; биссектрисы данного угла; серединного перпендикуляра к отрезку; прямой, параллельной данной прямой; треугольника по трем сторонам.
8.3. Использование свойств окружности (окружность и углы; окружность и касательные).
8.4. Алгебраический метод решения геометрических задач (составление уравнений). Координатный метод. Векторный метод.
8.5. Задачи на вычисление, на доказательство, на построение, на геометрические места точек.
8.6. Геометрические неравенства, задачи на максимум и минимум.
8.7. Задачи на принадлежность нескольких точек одной прямой и на пересечение нескольких прямых в одной точке.
8.8. Планиметрия в пространстве.

9. ГЕОМЕТРИЯ КАК ЧАСТЬ КУЛЬТУРЫ

Все темы, входящие в этот раздел, представляют собой общекультурный компонент основного содержания курса геометрии. Пункт 9.3 отражен в системе задач.

9.1*. История развития геометрии. Роль российских математиков в развитии геометрии.
9.2*. Понятие аксиоматического метода построения курса геометрии.
9.3. Геометрия и практическая деятельность человека.
9.4*. Элементарная геометрия и современная наука.

ГЕОМЕТРИЯ

Требования к математической подготовке учащихся

В результате изучения данного курса предполагается, что учащийся будет:

• владеть знаниями, навыками и умениями, приобретенными в курсе геометрии основной школы;
• уметь строить изображения (параллельные проекции) основных многогранников (параллелепипед, призма, пирамида) и круглых тел (цилиндр, конус);
• уметь выполнять чертеж, соответствующий данной задаче;
• уметь строить сечения многогранников, изображать сечения круглых тел;
• решать стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов) с необходимыми теоретическими обоснованиями;
• уметь решать стереометрические задачи на доказательство геометрических фактов;
• иметь представление о роли геометрии и ее прикладном значении;
• понимать дедуктивный характер курса геометрии, иметь представление об аксиоматическом методе.

Конкретизация уровня требований содержится в прилагаемом списке задач двух уровней: стандартного и минимального. Этот список задач является неотъемлемой частью данного раздела стандарта.

ГЕОМЕТРИЯ

СОДЕРЖАНИЕ

1. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ

1.1. Основные понятия стереометрии (точка, прямая, плоскость, пространство). Способы задания прямых и плоскостей. Многогранники и круглые тела.
1.2. Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые. Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярность прямых. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
1.3. Параллельность и перпендикулярность прямой и плоскости. Признаки и свойства. Ортогональная проекция. Перпендикуляр и наклонная. Угол между прямой и плоскостью. Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трех перпендикулярах.
1.4. Параллельность плоскостей. Признаки и свойства. Двугранный угол, линейный угол двугранного угла. Перпендикулярность плоскостей.
1.5. Параллельное проектирование. Площадь ортогональной проекции. Изображение пространственных фигур.

2. МНОГОГРАННИКИ

2.1. Вершины, ребра, грани многогранника. Поверхность многогранника. Многогранные углы. Выпуклые и невыпуклые многогранники.
2.2. Призма, ее элементы: основания, боковые ребра, высота, боковая поверхность. Прямая и наклонная призма. Правильная призма. Параллелепипед. Куб.
2.3. Пирамида, ее элементы: основание, боковые ребра, высота, боковая поверхность. Сечения пирамиды, параллельные ее основанию. Правильная пирамида. Треугольная пирамида (сфера, вписанная в пирамиду; сфера, описанная около пирамиды).
2.4. Симметрии в кубе, в параллелепипеде, в правильных призмах и пирамидах.
2.5. Сечения многогранников. Построение сечений.
2.6. Общее представление о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр).

3. КРУГЛЫЕ ТЕЛА И ПОВЕРХНОСТИ

3.1. Цилиндр, конус и их элементы: основания, образующая, высота, боковая поверхность. Развертка боковой поверхности.
3.2. Шар, сфера. Сечения сферы (шара) плоскостями. Касательная плоскость к сфере.
3.3. Касание круглых тел с плоскостями и между собой.
3.4. Вписанные и описанные многогранники.
3.5. Понятие о телах вращения и о их поверхностях вращения. Ось вращения.

4. ОБЪЕМЫ ТЕЛ И ПЛОЩАДИ ИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

4.1. Понятие объема тела. Общие свойства. Равновеликость тел.
4.2. Объем прямоугольного параллелепипеда. Объем призмы, цилиндра.
4.3. Объем пирамиды, конуса. Объем треугольной пирамиды.
4.4. Площадь поверхности цилиндра и конуса.
4.5. Объем шара и площадь сферы.

5. КООРДИНАТЫ. ВЕКТОРЫ

5.1. Декартовы координаты в пространстве. Формула расстояния между двумя точками. Уравнения сферы и плоскости. Способы задания прямой.
5.2. Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов и умножение вектора на число. Угол между векторами. Компланарность векторов. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов.

6. МЕТОДЫ И ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИИ

6.1. Сведение к планиметрическим задачам: метод сечений; метод проектирования. Развертка.
6.2. Координатный и векторный методы.
6.3. Задачи на вычисление, на доказательство, на геометрические места точек. Задачи на максимум и минимум.

ГЕОМЕТРИЯ

Требования к математической подготовке учащихся

В результате изучения данного курса предполагается, что учащийся будет:

• владеть знаниями, навыками и умениями, приобретенными в курсе планиметрии основной школы, а также при изучении «дополнительных глав планиметрии» в профильной школе;
• владеть методами построения изображений (в параллельной проекции) многогранников;
• уметь выполнять чертеж, соответствующий данной задаче;
• владеть основными методами построения сечений геометрических тел;
• решать планиметрические и стереометрические задачи повышенной трудности на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов) с необходимыми теоретическими обоснованиями;
• уметь решать планиметрические и стереометрические задачи повышенной сложности на доказательство геометрических фактов;
• понимать аксиоматический метод построения курса геометрии; иметь представление о существовании неевклидовых геометрий (сферической геометрии и геометрии Лобачевского), о истории возникновения и развития геометрии;
• иметь представление о роли геометрии и ее прикладном значении: знать примеры задач прикладного характера.

Конкретизация уровня требований содержится в прилагаемых двух списках задач: стандартного уровня базовой школы и дополнительного списка задач для профильного уровня.

ГЕОМЕТРИЯ

СОДЕРЖАНИЕ

1. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ПЛАНИМЕТРИИ

1.1. Решение задач повышенного уровня сложности по курсу планиметрии.
1.2. Дополнительные факты, теоремы и разделы планиметрии (по усмотрению учителя, см. Приложение).

2. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ

2.1. Основные понятия стереометрии (точка, прямая, плоскость, пространство). Способы задания прямых и плоскостей. Многогранники и круглые тела. Расстояние между фигурами.
2.2. Взаимное расположение прямых в пространстве. Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые. Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярность прямых. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
2.3. Взаимное расположение прямой и плоскости. Параллельность и перпендикулярность (признаки и свойства). Угол между прямой и плоскостью. Перпендикуляр и наклонная. Расстояние от точки до плоскости. Ортогональная проекция. Теорема о трех перпендикулярах.
2.4. Взаимное расположение плоскостей. Параллельность. Перпендикулярность (признаки и свойства). Двугранный угол, линейный угол двугранного угла. Биcсектор двугранного угла.
2.5. Параллельное проектирование. Площадь ортогональной проекции. Изображение пространственных фигур. Центральное проектирование.

3. МНОГОГРАННИКИ

3.1. Вершины, ребра, грани многогранника. Поверхность многогранника. Выпуклые и невыпуклые многогранники. Теорема Эйлера.* Многогранные углы. Неравенства для плоских углов трехгранного угла. Теорема синусов и теорема косинусов для трехгранного угла.*
3.2. Призма, ее элементы: основания, боковые ребра, высота, боковая поверхность. Прямая призма и наклонная призма. Правильная призма. Параллелепипед. Куб.
3.3. Пирамида, ее элементы: основание, боковые ребра, высота, боковая поверхность. Сечения пирамиды, параллельные ее основанию. Правильная пирамида. Треугольная пирамида (сфера, вписанная в пирамиду; сфера, описанная около пирамиды). Виды треугольных пирамид: равногранные, ортоцентрические.
3.4. Сечения многогранников. Построение сечений.
3.5. Развертки многогранников.
3.6. Правильные многогранники (тетраэдр, октаэдр, куб, икосаэдр, додекаэдр).
3.7. Симметрия в многогранниках.

4. КРУГЛЫЕ ТЕЛА И ПОВЕРХНОСТИ

4.1. Цилиндр, конус, их элементы: основания, образующая, высота, боковая поверхность. Развертка боковой поверхности.
4.2. Шар, сфера. Сечения сферы (шара) плоскостями. Касательная плоскость к сфере.
4.3. Касание круглых тел с плоскостью, с прямой и между собой.
4.4. Вписанные и описанные многогранники.
4.5. Понятие о телах и поверхностях вращения. Ось вращения.
4.6.* Сечения цилиндра плоскостью. Конические сечения. Эллипс. Парабола. Гипербола. Сфера Данделена.

5. ОБЪЕМЫ ТЕЛ И ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

5.1. Понятие объема. Общие свойства. Равновеликость тел. Отношение объемов подобных тел.
5.2. Объем прямоугольного параллелепипеда. Объем призмы и цилиндра.
5.3. Объем пирамиды и конуса. Вычисление объема треугольной пирамиды.
5.4. Площадь поверхности цилиндра и конуса.
5.5. Объем шара и площадь сферы. Площадь сферического пояса и сферического сегмента.

6. КООРДИНАТЫ. ВЕКТОРЫ

6.1. Декартовы координаты в пространстве. Формула расстояния между двумя точками. Уравнения сферы и плоскости. Уравнения прямой. Сферические координаты.
6.2. Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов и умножение вектора на число. Угол между векторами. Компланарность векторов. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов.

7. СИММЕТРИЯ ФИГУР

7.1. Представление о движении и равенстве фигур в пространстве.
7.2. Параллельный перенос. Поворот вокруг прямой.*
7.3. Центральная симметрия. Зеркальная симметрия.
7.4. Симметрия многогранников. Ось симметрии n-го порядка.*

8. МЕТОДЫ И ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИИ

8.1. Сведения к планиметрическим задачам: метод сечений; метод проектирования. Развертка.
8.2. Координатный и векторный методы.
8.3. Метод центра масс.*
8.4. Задачи на вычисление, на доказательство, на построение на изображениях, на геометрические места точек.
8.5. Задачи на комбинации тел.
8.6. Геометрическое конструирование.
8.7. Геометрические неравенства, задачи на максимум и минимум.
8.8. Решение планиметрических задач стереометрическими методами.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Дополнительные темы планиметрии

1. Центр масс. Барицентрические координаты.
2. Инверсия.
3. Паркеты и покрытия.
4. Движение. Теорема Шаля.
5. Гомотетия.
6. Геометрия комплексных чисел.
7. Геометрия треугольника: вневписанные окружности, окружность девяти точек, прямая Эйлера, формула Эйлера (d² = R² – 2Rr), теорема Фейербаха, педальный треугольник, теорема Чевы, теорема Менелая, теорема Карно.
8. Геометрия четырехугольника. Полный четырехсторонник. Прямая Гаусса. Теоремы косинусов для четырехугольника (теоремы Бретшнейдера)
9. Классические задачи: задача Штейнера–Лемуса (о равных биссектрисах), окружность Аполлония, задача Аполлония, задача Наполеона, задачи Архимеда (арбелос).
10. Изопериметрическая задача.
11. Золотое сечение.
12. Выход в пространство (теорема Дезарга)