Конкурс "Я иду на урок"

Т. Абросимова,
р. пос. Сосновское,
Нижегородская обл.

Мастерство — это то, чего можно добиться.
                                             А.С. Макаренко

Векторный метод: от знания к пониманию

11 класс
геометрия
Учебник: Л.С. Атанасян, «Геометрия, 10–11»

Цели урока:

• обучающая: отработка отдельных компонентов векторного метода и получение алгоритма применения метода в целом;
• развивающая: формирование умений выполнять обобщение и конкретизацию, развитие качеств мышления: гибкость, целенаправленность, рациональность, критичность с учетом индивидуальных особенностей;
• воспитывающая: развитие взаимовыручки и взаимопомощи, умения вести культурную дискуссию.

Организация работы на уроке:

— группы по уровням развития доминирующих мыслительных структур и личным симпатиям;
— помощник учителя — учащийся 11-го класса, мечтающий стать учителем математики.

Оборудование: различные виды плакатов, индивидуальные доски, модели геометрических тел.

План урока в высказываниях записан на плакате и вывешивается перед уроком.

I. «Кто не знает, в какую гавань он плывет, для того нет попутного ветра» (Сенека).

II. Ориентировочный этап.

1. Высь, ширь, глубь,
Лишь три координаты.
Мимо них где путь?
Засов закрыт...

(В. Брюсов)

2. «Подвергай все сомнению» (Сократ).

III. Методы математики — методы научного мышления. «Геометрия приближает разум к истине» (Платон).

IV. Практические приложения векторного метода. «Проще, легче, веселее!» (Станиславский).

V. Сущность геометрии в ее методе, где строгость вывода соединяется с наглядными представлениями» (А.Д. Александров).

VI. Твори, выдумывай, пробуй! (Домашнее задание.)

Ход урока

I. Повторение

Проверка владения понятийным аппаратом, основными действиями.

Кто не знает, в какую гавань он плывет, для того нет попутного ветра.
Сенека

1. Сверхскоростной математический диктант (организует, проверяет то, что в оперативной памяти).

а) Координаты
б) A(– 3; 0; 0). Укажите, где расположена эта точка.
в)  Запишите координаты .
г)  Укажите взаимное расположение
д)  Разложите по базисам
е) Сформулируйте определение скалярного произведения векторов
ж) M(x; y; z). Разложите
з) Где находится точка K(5; 0; – 3)?
и) Границы угла между векторами.
к) Координаты середины отрезка по координатам концов.

Один ученик в классе диктует ответы, остальные проверяют свои работы, выставляют количество верных ответов, быстро сверяют с ответами на переносной доске.

2. Заполнение пропусков в таблице с теоретическими сведениями.

Каждая группа заполняет свою часть таблицы и готовит вопросы для других групп.

I

II

III

Подводим итоги.

Какие строчки заполнялись без затруднений?
Какой вопрос самый интересный?
Кто задал самый интересный вопрос?
Затем на уроке по теме «Векторный метод решения задач» были предложены 1 и 2 блоки вопросов?

II. Ориентировочный этап

На этом этапе происходит проверка сформированности действий перевода информации с геометрического языка на векторный и обратно.

1.

Высь, ширь, глубь,
Лишь три координаты.
Мимо них где путь?
Засов закрыт...

В. Брюсов

Нужно ли выбирать систему координат при решении задач векторным методом?
Что позволяет сделать при решении задачи удачный выбор системы координат?
Как выбирается система координат? Можно ли дать рекомендации по ее выбору?
Нужно ли выбирать систему координат, если задача звучит так:

а) Найдите угол между векторами
б) Четыре точки заданы своими координатами A(3; 1), B(1; 4), C(1; 0) и D(4; 5).

Найдите угол между прямыми AB и CD.

Каждой группе предлагается задача.

Не решая задачу, покажите, какая система координат наиболее целесообразна для поиска решения данной задачи. Для этого можно использовать модели, можно выполнить чертежи на индивидуальных досках.

Для 1-й группы

Докажите, что угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых содержит диагональ куба, а другая — диагональ грани куба, равен 90°.

Для 2-й группы

В прямоугольной трапеции MPKC (Р M = 90°, Р P = 90°) длины сторон MP = 4, PK = 2 и MC = 8. Докажите, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найдите длину отрезка KC и величину угла C.

Для 3-й группы

Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD, в которой боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом a. Точка K — середина ребра BS. Найдите угол между прямыми AK и SC.

Представитель каждой группы объясняет выбор системы координат.

2.

Подвергай все сомнению!
Сократ

Каждая группа отвечает на вопросы по переводу информации на векторный и геометрический язык.

Дополнительные задания

1.  Какую фигуру задает система?

2. Дано: ABCD — трапеция с основаниями AC и BD, AC > BD. Запишите это утверждение в векторной форме.

Как вы думаете, какова цель этого этапа, где вы выбирали систему координат, отвечали на вопросы?

III. Методы математики — методы научного мышления

Геометрия приближает разум к истине.
Платон

Перед вами на столе ваше домашнее задание к сегодняшнему уроку: каждая группа решала и оформляла решение своей задачи. Задачи разные, но общее у них — применение векторов к их решению.

Тексты домашних задач

Для 1-й группы

В трапеции ABCD углы A и B равны 90° каждый, а стороны AB = 2, BC = 1, AD = 4. Докажите, что диагонали этой трапеции взаимно перпендикулярны.

Для 2-й группы

Даны три силы приложенные к одной точке. Вычислите работу, производимую равнодействующей этих сил, когда точка их приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из точки A(5; 3; – 7) в точку B(4; 1; – 4).

Для 3-й группы

№ 438(а).

Посовещавшись, напишите на этом же листе, какие этапы можно выделить в решении вашей задачи.

Слушаем выступление групп.

Итоги подводит помощник учителя; появляется алгоритм действия по применению векторного метода решения задач (в распечатках).

Основные компоненты векторного метода решения задач

1. Перевод условия задачи на язык векторов:

— выбор системы координат (если это необходимо);
— выбор базисных векторов;
— разложение всех введенных векторов по базисным.

2. Составление векторного равенства (или системы равенств).

3. Упрощение векторных равенств или замена их алгебраическими уравнениями (или системой уравнений) и их решение.

4. Объяснение геометрического смысла полученного результата.

Если кто-то желает внести дополнения и изменения, можно вычеркивать и вписывать то, что посчитаете нужным.

Слово учителя о диалектической связи математики с жизнью.

практика ® абстрактная теория ® интерпретация результатов ® практические приложения

IV. Практические приложения векторного метода

Проще, легче, веселее!
Станиславский

Слово помощнику учителя, который, задавая вопросы классу, доказывает признак перпендикулярности прямой и плоскости (доказательство традиционным методом очень объемно) векторным методом.

Запись на доске

Дано: a ^ p, a ^ q; p пересекает q в точке O; p и q лежат в плоскости a.

Доказать: a ^ a (то есть доказать, что a ^ m, где m — произвольная прямая плоскости a).

Перевод условия и заключения теоремы на векторный язык.

 — направляющие векторы прямых.

Дано: принадлежат a; принадлежит a.

Доказать:

Доказательство. 

 

что и требовалось доказать.

V. 

Сущность геометрии в ее методе, где строгость вывода
соединяется с наглядными представлениями.
А.Д. Александров

Не могу сегодня не вернуться к задаче «о кирпиче», потому что многие из вас напоминали мне сегодня о ней неоднократно. Представьте, что вы случайно попали на стройку. Предложите практически удобный способ измерения диагонали кирпича. Необходимо обойтись одним измерением, без всяких вычислений (есть только линейка). Ваши предложения.

VI. Твори, выдумывай, пробуй!

Домашнее задание на выбор:

1. На одну «5» — домашняя контрольная работа.
2. На две «5» — найти и решить задачи (2–3), где прослеживается применение векторного аппарата в физике, технике, химии, лингвистике.
3. На три «5» — сформулируйте основные компоненты метода координат по аналогии с тем, как сформулированы основные компоненты векторного метода и составьте систему задач (можно их не решать) по отработке каждого из компонентов этого метода.

VII. Рефлексивно-оценочный этап

Оценки за урок у каждого ученика на листе с диктантом:

1) оценка бригадира за работу на уроке;
2) собственная оценка за работу на уроке.

Кому бригадир поставил «5»? «4»?
Кто себе поставил «5»?
Какой момент наиболее интересен был на уроке?
Где пришлось более всего концентрироваться, вдумываться?
Кто выбирает вариант 1 домашнего задания?
Кто выбирает вариант 2 домашнего задания?
Кто выбирает вариант 3 домашнего задания?

Урок окончен.

.