А. Семенов,
школа № 218, Москва
Тригонометрия, корни и ... проблемы
При решении тригонометрических уравнений ученик может (должен) пользоваться формулами корней тригонометрических уравнений:
Компактная запись корней, стандартная форма записи (размышлений от учащегося не требуют). По большому счету, если ученик пользуется такой записью, то считается, что он точно усвоил решение простейших тригонометрических уравнений. О чем же могут свидетельствовать тогда такие записи решений тригонометрических уравнений:
В этих записях допущены, с первого взгляда, серьезные ошибки, которые при желании (любого проверяющего) можно расценить как полное непонимание темы. А вдруг здесь допущены описки по невнимательности?
В чем же могут крыться причины этих ошибок-описок? На мой взгляд, причин здесь несколько.
Первая причина заключается в том, что ученик, получив формулы корней тригонометрических уравнений, их воспроизводит машинально, не задумываясь. Записав двадцать-пятьдесят раз формулы корней, — бдительность теряется, а заданий на вдумчивую запись корней уравнения в школьных учебниках нет. По мнению учеников, запись «n О Z» — избыточная. И они по-своему правы, потому что им не приходится решать тригонометрических уравнений, в которых n — элемент какого-нибудь подмножества целых чисел.
Вторая причина заключается в том, что в формальной записи с использованием символа «д» может затеряться идея двух серий решений тригонометрического уравнения. Может быть, с целью компактности записи корней уравнения — это разумно, но опасность применения такой записи в дальнейшем подстерегает многих выпускников школы. Так, например, в тестовых заданиях, где требуется указать количество корней, принадлежащих заданному промежутку, «компактная» запись корней уравнения даже мешает, создает определенные трудности в отборе корней.
При изучении темы «Решение тригонометрических
уравнений» обязательно нужно решать уравнения,
например, такого вида: 
При решении таких уравнений ученики
имеют возможность задуматься и о двух сериях
корней простейшего тригонометрического
уравнения, и о необходимости описания переменной
n.
Решение. 
или 
или
Решим уравнение (1).
Так как 
то
есть
Решим уравнение (2).
Так как 
, то
есть
Ответ:
Третья причина, по-моему, заключается в том, что в синтетической (красивой!) формуле записи корней простейшего тригонометрического уравнения sin t = a теряются идеи как двух серий решений тригонометрического уравнения, так и периодичность функции «синус». Повторюсь, с целью компактности записи корней уравнения может быть это разумно, но опасность применения такой записи корней огромна. Эта форма записи корней может провоцировать ошибки в самой записи корней уравнения (ученики пишут «+ 2pn», объясняя тем, что период «синуса» равен 2p). Трудности в отборе корней, принадлежащих промежутку, при такой записи значительно больше, чем в простейшем уравнении с косинусом.
Четвертая причина, по-моему, кроется в том, что очень часто учителя настойчиво требуют писать разные буквы в различных решениях простейших тригонометрических уравнений, к которым свелось более сложное тригонометрическое уравнение. Например, мне приходилось встречать такую форму записи корней уравнения
Безусловно, корни уравнения записаны верно.
Будет ли другим множество корней уравнения, если
они будут записаны в форме 
В обоих случаях получается одно и
то же числовое множество.
Заострить внимание учеников, потребовать вдумчивой работы может, например, следующее задание.
Решите уравнение 
Решение. 
или
Решим уравнение (1).
Так как
Решим уравнение (2).
Так как
Ответ:
Поскольку нет инструкций (или иных документов), в которых были бы описаны требования к форме записи корней тригонометрического уравнения, то настаивать на «компактной» форме записи я считаю неразумным. Если ученик решает тригонометрические уравнения так:
то я не думаю, что это нанесет вред его интеллектуальному развитию или может послужить свидетельством недостаточно высокого математического уровня.