Геометрия

Т. Ходеева,
школа N№ 1151, Москва

Изучение свойств многогранников

7-9 классы

Пространственное мышление значимо для каждого человека, независимо от уровня его образования и вида деятельности. Значительную роль в развитии пространственных представлений и пространственного мышления играет изучение свойств многогранников. В то же время, в сложившейся практике изучения геометрии, материал, связанный с многогранниками, рассматривается в конце изучения геометрии, что связано со строгим следованием аксиоматическому методу изложения этого курса. Изучая планиметрию, ученики не только не должны забывать о пространственных фигурах, а наоборот, должны расширить знакомство с ними. Ведь нас окружают реальные предметы — пространственные фигуры. Многие учащиеся, закончив девять классов, продолжают обучение в училищах, средних специальных заведениях, лицеях, колледжах или начинают заниматься практической деятельностью, и им необходимы элементарные знания трехмерной геометрии. Поэтому курс планиметрии целесообразно строить на фузионистских принципах, то есть в органичной связи с планиметрическим материалом должны быть введены свойства многогранников и, возможно, предусмотрено рассмотрение других стереометрических объектов. Общеобразовательная школа должна при первой возможности знакомить учащихся с простейшими видами многогранников, их изображениями, изготовлением, развертками, измерениями площади поверхности и объема, что подготовит учащихся, ориентированных на дальнейшее обучение в 10-м классе, к лучшему восприятию систематического курса стереометрии, а учащихся, заканчивающих обучение в 9-м классе, более полно познакомит с окружающим миром.

Распределение учебного и задачного материала, связанного с многогранниками, по темам планиметрии

Учебный материал и методические рекомендации к урокам

В курсе геометрии 7–9-х классов можно рассмотреть такие многогранники, как параллелепипед, призма, пирамида, а также правильные многогранники. Учащиеся этих классов учатся рассуждать, доказывать различные утверждения при изучении систематического курса планиметрии, а также хорошо представлять себе пространственные формы, видеть в них красоту.

Многогранник «определяется» в 5–6-х классах. Определение многогранника дается на описательном уровне следующим образом. Поверхность многогранника состоит из многоугольников. Каждый из этих многоугольников называют гранью многогранника. Вершины этих многоугольников являются также и вершинами многогранника, а стороны многоугольника — ребрами многогранника. Здесь очень важно показать учащимся различные модели многогранников. Прежде чем изучать каждый вид многогранников в отдельности, определим общий подход к рассмотрению основных видов многогранников в 7–9-х классах. При рассмотрении многогранников в курсе планиметрии 7–9-х классов применим именно индуктивный путь ознакомления с основными видами многогранников. Рассмотрение призмы целесообразно начать с частных видов призм. А именно, рассмотреть уже знакомые виды призм, которые встречались в курсе математики 5–6-х классов (см.: Ходеева Т.В. Изучение свойств многогранников в курсе математики 5–6 классов. — Математика (еженедельная газета ИД «Первое сентября»), № 11, 13/2002), затем рассмотреть и другие. После этого можно дать общее описание произвольной призмы. Аналогичный подход и при рассмотрении пирамиды. При изучении основных видов многогранников в 7–9-х классах, так же как и в 5–6-х классах, нельзя дать точных определений, поэтому приводится описание многогранников каждого вида. При рассмотрении каждого вида многогранников целесообразно придерживаться некоторой схемы: описание данного вида многогранников; нахождение данного вида многогранников на рисунках, чертежах, среди окружающих предметов; изображение; развертка; некоторые свойства; сечение (имеется в виду сечения: параллельно плоскости основания или некоторой грани, проходящие через два не соседних ребра и другие), симметрия. Рассматривая различные виды многогранников, с которыми уже учащиеся встречались, целесообразно напомнить установленные свойства.

Из курса математики 5–6-х классов учащиеся уже знакомы с кубом, прямоугольным параллелепипедом, прямой призмой. Рассмотрение прямого и наклонного параллелепипеда, наклонной призмы возможно только после изучения понятия параллелограмм. Итак, параллелепипед — многогранник, поверхность которого состоит из шести параллелограммов. Здесь очень важно показать учащимся модели различных видов параллелепипедов: прямоугольного параллелепипеда, прямого параллелепипеда и наклонного параллелепипеда. На моделях с учащимися полезно обсудить, какими четырехугольниками являются грани параллелепипедов различных видов.

Свойства параллелепипеда

1^о. У параллелепипеда 8 вершин, 12 ребер и 6 граней.
2^о. Каждая грань параллелепипеда — параллелограмм.
3^о. Противолежащие грани параллелепипеда равны.
4^о. Параллельные ребра параллелепипеда равны.

Сечение параллелограмма

1. Сечение параллелепипеда плоскостью, параллельной грани. В сечении образуется параллелограмм.
2. Сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через противолежащие ребра. В сечении образуется параллелограмм. В некоторых случаях в сечении может образоваться ромб, прямоугольник или квадрат.

При рассмотрении каждого вида многогранников (параллелепипеда, призмы, пирамиды) можно рассмотреть с учащимися 7–9-х классов стандартные сечения, такие как сечение многогранника плоскостью, параллельной плоскости одной из граней, и сечение многогранника плоскостью, проходящей через два не соседних параллельных ребра многогранника. При рассмотрении сечений многогранника вид сечения учащиеся 7–9-х классов, так же как и 5–6-х классов, определяют с помощью каркасных моделей многогранников или моделей, сделанных из пластилина. При этом от учащихся не требуется доказывать, что в сечении образуется та или иная фигура, главное — просто увидеть ее на моделях рассматриваемых многогранников.

Призма — это многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников, называемых основаниями призмы, и параллелограммов, называемых боковыми гранями (причем у каждого параллелограмма две противолежащие стороны лежат на основаниях призмы).

Свойства призмы

1^о. Основания призмы являются равными многоугольниками.
2^о. Боковые грани призмы являются параллелограммами.
3^о. Боковые ребра призмы равны.

Сечение призмы

1. Сечение призмы плоскостью, параллельной основанию. В сечении образуется многоугольник, равный многоугольнику, лежащему в основании.

2. Сечение призмы плоскостью, проходящей через два не соседних боковых ребра. В сечении образуется параллелограмм. Такое сечение называется диагональным сечением призмы. В некоторых случаях может получаться ромб, прямоугольник или квадрат.

Рассмотрение правильной призмы возможно только после введения понятия правильный многоугольник. Однако с правильной треугольной призмой можно познакомить учащихся гораздо раньше. А с правильной четырехугольной призмой они знакомы еще из курса математики 5–6-х классов, так как она представляет собой прямоугольный параллелепипед с квадратами в основаниях. Правильная призма — прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники.

Свойства правильной призмы

1^о. Основания правильной призмы являются правильными многоугольниками.
2^о. Боковые грани правильной призмы являются равными прямоугольниками.
3^о. Боковые ребра правильной призмы равны.

Сечение правильной призмы

1. Сечение правильной призмы плоскостью, параллельной основанию. В сечении образуется правильный многоугольник, равный многоугольнику, лежащему в основании.

2. Сечение правильной призмы плоскостью, проходящей через два не соседних боковых ребра. В сечении образуется прямоугольник. В некоторых случаях может образоваться квадрат.

Из курса математики 5–6-х классов учащиеся уже знакомы с описанием пирамиды. А именно: пирамида — многогранник, поверхность которого состоит из многоугольника, называемого основанием пирамиды, и треугольников с общей вершиной, называемых боковыми гранями пирамиды. Знакомство с правильной пирамидой возможно только после изучения понятия правильный многоугольник. Однако с правильной треугольной и правильной четырехугольной пирамидой можно познакомить учащихся значительно раньше. Правильная пирамида — пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник и все боковые ребра равны.

Свойства правильной пирамиды

1^о. Основание правильной пирамиды — правильный многоугольник.
2^о. Боковые грани правильной пирамиды — равнобедренные треугольники.
3^о. Боковые ребра правильной пирамиды равны.

Сечение правильной пирамиды

1. Сечение правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. В сечении образуется правильный многоугольник, подобный многоугольнику, лежащему в основании.

2. Сечение правильной пирамиды плоскостью, проходящей через два не соседних боковых ребра. В сечении образуется равнобедренный треугольник. В некоторых случаях может образоваться равносторонний треугольник.

С некоторыми правильными многогранниками учащиеся уже встречались. Это треугольная пирамида и куб. Гранями треугольной пирамиды являются правильные треугольники. Ее называют правильным тетраэдром, что в переводе с греческого означает четырехгранник. Куб имеет шесть граней, поэтому называется правильным гексаэдром (по-гречески «гекса» означает шесть). Рассмотрение правильных многогранников следует начинать с тех из них, гранями которых являются правильные треугольники. Один из таких многогранников учащимся уже знаком — это правильный тетраэдр. Другой многогранник, гранями которого являются правильные треугольники, изображен на рисунке 1.

Его поверхность состоит из восьми правильных треугольников, поэтому его называют правильным октаэдром («окта» — восемь).

И третий многогранник, гранями которого являются правильные треугольники — это правильный икосаэдр («икоса» — двадцать). Его поверхность состоит из двадцати правильных треугольников (рис. 2).

Многогранник, гранями которого являются квадраты — это куб. Учащимся он хорошо знаком. Многогранник, гранями которого являются правильные пятиугольники, изображен на рисунке 3. Его поверхность состоит из двенадцати правильных пятиугольников, поэтому его называют правильным додекаэдром («доде» — двенадцать).

Как уже было отмечено выше, при рассмотрении каждого вида многогранников с учащимися 7–9-х классов целесообразно придерживаться такой же схемы, что и для 5–6-х классов, дополнительно рассмотрев симметрию многогранников. При ее рассмотрении учащиеся 7–9-х классов находят центр симметрии, плоскости симметрии и оси симметрии (если они существуют) с помощью моделей многогранников. При этом полезно предложить учащимся такое творческое и интересное задание, как изготовление моделей рассматриваемых многогранников с указанием на них плоскостей симметрии. Такие задания развивают пространственное мышление учащихся, дают возможность творчески подойти к выполнению задания и, что немаловажно, повышают интерес к предмету геометрия.

Симметрия куба

1. Центр симметрии — центр куба (точка пересечения диагоналей куба) (рис. 4).

2. Плоскости симметрии: три плоскости симметрии, проходящие через середины параллельных ребер; шесть плоскостей симметрии, проходящие через противолежащие ребра (рис. 5).

3. Оси симметрии: три оси симметрии, проходящие через центры противолежащих граней; четыре оси симметрии, проходящие через противолежащие вершины; шесть осей симметрии, проходящие через середины противолежащих ребер (рис. 6).

 Симметрия прямоугольного параллелепипеда

1. Центр симметрии — точка пересечения диагоналей прямоугольного параллелепипеда (рис. 7).

2. Плоскости симметрии: три плоскости симметрии, проходящие через середины параллельных ребер (рис. 8).

3. Оси симметрии: три оси симметрии, проходящие через точки пересечения диагоналей противолежащих граней (рис. 9).

Симметрия параллелепипеда

Центр симметрии — точка пересечения диагоналей параллелепипеда (рис. 10).

Симметрия прямой призмы

Плоскость симметрии, проходящая через середины боковых ребер (рис. 11).

Симметрия правильной призмы

1. Центр симметрии при четном числе сторон основания — точка пересечения диагоналей правильной призмы (рис. 12)

 2. Плоскости симметрии: плоскость, проходящая через середины боковых ребер; при четном числе сторон основания — плоскости, проходящие через противолежащие ребра (рис. 13).

 3. Оси симметрии: при четном числе сторон основания — ось симметрии, проходящая через центры оснований, и оси симметрии, проходящие через точки пересечения диагоналей противолежащих боковых граней (рис. 14).

 Симметрия правильной пирамиды

1. Плоскости симметрии: при четном числе сторон основания — плоскости, проходящие через противолежащие боковые ребра; и плоскости, проходящие через медианы, проведенные к основанию противолежащих боковых граней (рис. 15).

 2. Ось симметрии: при четном числе сторон основания — ось симметрии, проходящая через вершину правильной пирамиды и центр основания (рис. 16).

Окончание в № 18

.