Геометрия

Т. Ходеева,
школа N№ 1151, Москва

Окончание. Начало в N 17

Изучение свойств многогранников

7-9 классы

Задачный материал

Задачный материал, связанный с многогранниками, для 7–9-х классов распределен по темам планиметрии.

7 класс

1. Основные свойства простейших геометрических фигур. Треугольник. Параллельные прямые

1.1. На верхней грани куба изображена (заштрихована) фигура f, содержащая точки A, B, C, D и M. Является ли эта фигура плоской? Является ли плоской фигура, составленная из двух треугольников DD₁P и DD₁Q (рис. 17), лежащих в передней и боковой гранях куба?

1.2. На рисунке 18 a — плоскость нижней грани параллелепипеда, прямая l лежит в плоскости a. Постройте точки, в которых прямая l пересекается с прямыми AB, BC, DC и AD.

1.3. По рисунку 18 укажите, какие прямые, проходящие через две вершины параллелепипеда, содержатся в плоскости a.

1.4. Изобразите куб, обозначьте его буквами. Обозначьте через a плоскость его передней грани. Какие вершины куба принадлежат плоскости a, какие не принадлежат? Запишите знаками.

1.5. Сделайте чертеж прямоугольного параллелепипеда, обозначьте его буквами. Укажите, какие вершины принадлежат плоскости a, содержащей нижнюю грань параллелепипеда.

1.6. Куб имеет длину ребра a. Каждая грань куба представляет собой квадрат с периметром 4a. Всего у куба шесть таких граней. Следует ли отсюда, что сумма длин ребер равна 24a?

1.7. У куба шесть граней и на каждой грани четыре прямых угла. Таким образом, на поверхности куба имеется 24 прямых угла, образованных ребрами. Как еще можно подсчитать число прямых углов на поверхности куба?

1.8. Назовите треугольники, образующие поверхность треугольной пирамиды (рис. 19).

1.9. Можно ли с помощью шести спичек составить фигуру, состоящую из четырех одинаковых треугольников?

1.10. Запишите, какие ребра куба параллельны (см. рис. 18).

1.11. Сделайте чертеж параллелепипеда и обозначьте вершины буквами. Приведите примеры пересекающихся прямых, а также примеры непересекающихся прямых.

1.12. Точки P и Q расположены внутри грани A₁B₁C₁D₁ куба. Сделайте чертеж и постройте на нем точки пересечения прямой PQ с ребрами куба или с их продолжениями.

1.13. Пересекаются ли в пространстве прямые DD₁ и A₁B₁ (см. рис. 18)? Ответьте на тот же вопрос относительно прямых BB₁ и DC.

2. Смежные и вертикальные углы.
Перпендикулярные прямые. Биссектриса угла

2.1. Запишите, какие ребра куба перпендикулярны (рис. 20).

2.2. Боковой гранью треугольной пирамиды SABC является треугольник ASB с углом SAB, равным 80°. В боковой грани проведена биссектриса AM. Чему равен угол между биссектрисой и стороной AB основания пирамиды?

Примечание. Задача 2.1 рассматривается при изучении перпендикулярных прямых, задача 2.2 — при изучении биссектрисы угла.

3. Признаки равенства треугольников.
Равнобедренный треугольник. Равносторонний треугольник. Высота, биссектриса и медиана треугольника

3.1. Точки M и N — середины ребер куба (рис. 21). Докажите, что треугольник ADM равен треугольнику CDN. Укажите равные стороны и равные углы в этих треугольниках.

3.2. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 5 см, а сумма периметров боковых граней 48 см. Найдите длину бокового ребра пирамиды.

3.3. Найдите площадь поверхности правильной треугольной пирамиды, длина каждого ребра которой равна a, и вычислите ее значение при a=3,8 см.

3.4. Сторона основания правильной треугольной пирамиды больше бокового ребра на 3 см, а периметр боковой грани равен 27 см. Найдите сторону основания и боковое ребро пирамиды.

3.5. Боковой гранью правильной треугольной пирамиды служит равнобедренный треугольник с углом при вершине, содержащим 52°. Найдите величину угла x между высотой боковой грани и боковым ребром пирамиды (рис. 22).

4. Сумма углов треугольника. Прямоугольный треугольник

4.1. Боковой гранью правильной треугольной пирамиды служит равнобедренный треугольник с углом при вершине, содержащим 64°. Найдите углы при основании в этой грани.

4.2. Боковой гранью правильной треугольной пирамиды служит равнобедренный треугольник. Угол между высотой боковой грани, проведенной к основанию, и боковым ребром пирамиды равен 34°. Найдите углы боковой грани.

4.3. Боковой гранью правильной четырехугольной пирамиды служит равнобедренный треугольник с углом при основании, содержащим 35°. Найдите величину угла между медианой боковой грани, проведенной к основанию, и боковым ребром пирамиды.

4.4. Дана треугольная пирамида SABC (рис. 23). Боковая грань SAB является прямоугольным треугольником с прямым углом SAB. Угол ASB в два раза меньше угла ABS. Найдите острые углы грани SAB.

4.5. На рисунке 24 изображен куб, в верхней грани которого проведена диагональ A₁C₁. Является ли треугольник A₁C₁B₁, расположенный в верхней грани, равнобедренным? Является ли он на чертеже равнобедренным? Какие стороны этого треугольника, расположенного на поверхности куба, равны? Какие углы равны?

4.6. Дан куб (рис. 25). На поверхности куба изображен (заштрихован) треугольник BCC₁. Назовите в этом треугольнике гипотенузу и катеты и найдите углы C₁BC и BC₁C.

5. Геометрические построения

5.1. Дана четырехугольная пирамида SABCD (рис. 26). Разделите AB и BC на две равные части.

5.2. Разделите ребро SA четырехугольной пирамиды SABCD на четыре равные части.

5.3. В грани ASB треугольной пирамиды SABC постройте медианы.

5.4. Точка K — середина бокового ребра SC треугольной пирамиды SABC (рис. 27). Треугольник AKB является сечением пирамиды. Постройте медианы треугольника AKB.

5.5. В правильной треугольной пирамиде SABC постройте медиану AM треугольника ABC к стороне BC и медиану SM треугольника BSC к стороне BC. Сколько перпендикулярных прямых проходит через точку M к стороне BC?

 

8 класс

 6. Четырехугольники. Теорема Фалеса.
Средняя линия треугольника

6.1. Нарисуйте развертку прямой призмы, в основании которой лежит параллелограмм.

6.2. Нарисуйте развертку прямой призмы, в основании которой лежит: а) ромб; б) прямоугольник; в) квадрат.

6.3. Нарисуйте развертку куба. Если это возможно, то нарисуйте различные варианты развертки куба.

6.4. Через середины боковых ребер правильной четырехугольной пирамиды проведено сечение, параллельное основанию. Найдите длины сторон сечения, если в основании пирамиды лежит квадрат, длина стороны которого 6 см (рис. 28).

6.5. Через середины боковых ребер правильной треугольной пирамиды проведено сечение, параллельное основанию. Найдите периметр сечения, если длина стороны основания равна 10 см.

6.6. Нарисуйте развертку прямой призмы, в основании которой лежит трапеция.

6.7. Нарисуйте развертку наклонной призмы, в основании которой лежит: а) параллелограмм; б) ромб; в) прямоугольник; г) квадрат; д) трапеция.

7. Теорема Пифагора. Косинус угла.
Перпендикуляр и наклонная.
Соотношения между углами и сторонами
в прямоугольном треугольнике.
Значения синуса, косинуса и тангенса некоторых углов

7.1. Вычислите периметр диагонального сечения куба, ребро которого равно 5 см (рис. 29).

7.2. Вычислите площадь диагонального сечения куба, ребро которого равно 6 см.

7.3. Вычислите диагональ куба, ребро которого равно 4 см (рис. 30).

7.4. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 10 см, а боковое ребро 13 см. Найдите биссектрису боковой грани, проведенную из вершины пирамиды.

7.5. Вычислите длины граней прямоугольного параллелепипеда (бруска) с размерами 3x5x8 (см).

7.6. На рисунке 31 изображен куб, в верхней грани которого проведены отрезки B₁M и B₁N. Какой из отрезков B₁N, B₁M или B₁A₁ имеет наименьшую и какой имеет наибольшую длину: а) на кубе; б) на чертеже.

7.7. Может ли высота пирамиды быть больше длины бокового ребра SB (рис. 32)?

7.8. Длина стороны основания правильной четырехугольной пирамиды 12 см, а высота пирамиды 26 см. Вычислите длину бокового ребра пирамиды.

7.9. В основании прямой призмы лежит равнобокая трапеция с основаниями 5 м и 17 м (рис. 33). Диагональ боковой грани AA₁D₁D равна 10 см. Найдите расстояние между ребрами D₁C₁ и AB призмы.

7.10. Длина стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см, а высота пирамиды 13 см (рис. 34). Вычислите величину угла наклона бокового ребра пирамиды к диагонали основания.

7.11. В основании треугольной пирамиды SABC лежит равносторонний треугольник со стороной 9 см. Боковой гранью SAB является прямоугольный треугольник с прямым углом A. Ребро SA равно 40 см. Найдите неизвестную сторону и острые углы этой грани.

7.12. Основанием четырехугольной пирамиды SABCD служит квадрат со стороной 8 см. Боковая грань SBC является прямоугольным треугольником с прямым углом BSC. Угол наклона ребра SB к ребру BC основания равен 70°30'. Найдите неизвестные стороны и острый угол SBC.

8. Декартовы координаты на плоскости

9. Движение

9.1. Приведите примеры изображений предметов реального мира, являющихся симметричными фигурами. Укажите для каждого примера ось симметрии или центр симметрии.

9.2. Приведите примеры многогранников, являющихся симметричными фигурами. Изобразите их. Укажите для каждого примера ось симметрии или центр симметрии.

10. Векторы

10.1. На рисунке 35 изображен куб и показан вектор , изображаемый направленным отрезком, идущим от одной вершины куба к противоположной вершине. Сколькими способами можно представить вектор в виде суммы трех векторов, идущих по ребрам куба?

10.2. Вычислите длину диагонали AC₁ параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, если его ребра имеют длины 5 см, 4 см, 5 см.

10.3. Докажите, что в треугольной пирамиде (рис. 36) длина отрезка, соединяющего середины двух противоположных ребер, меньше полусуммы длин двух других противоположных ребер.

10.4. Докажите, что в прямоугольном параллелепипеде (рис. 37) боковое ребро AA₁ перпендикулярно каждой диагонали основания.

10.5. В прямоугольном параллелепипеде (рис. 37) с длинами ребер  AB=3 см, AD=5 см, AA₁=7 см вычислите угол между диагональю AC₁ и диагональю AC нижнего основания.

10.6. В пирамиде ABCD точки M и N — середины ребер AB и CD. Докажите, что если AC = AD = BC = BD, то прямые AB, CD и MN попарно перпендикулярны.

10.7. Ребра AB и CD пирамиды ABCD перпендикулярны. Докажите, что AC² —AD² = BC² –BD².

10.8. Диагонали трех граней прямоугольного параллелепипеда, сходящиеся в одной вершине, имеют длины a, b и c. Найдите длины ребер параллелепипеда.

10.9. В треугольной пирамиде SABC SD — медиана боковой грани SBC (рис. 38). Выразите через векторы , и указанные на рисунке, следующие векторы:

10.10. В прямоугольном параллелепипеде (рис. 39) точки M, K, T — середины ребер. Выразите через векторы 

следующие векторы:

10.11. В треугольной призме (рис. 40) точки M, N и P — середины ребер A₁A, C₁C и B₁C₁ соответственно. Выразите через следующие векторы:

9 класс

11. Подобие фигур

11.1. На рисунке 41 изображен прямоугольный параллелепипед с квадратным основанием и подобный ему параллелепипед. Длины каких отрезков можно узнать, если известно, что AB=MN₁=5 см, NP = 3 см?

11.2. Через середины боковых ребер правильной пирамиды проведено сечение (рис. 42). Найдите длины сторон сечения, если в основании пирамиды лежит квадрат, длины сторон которого 6 см.

11.3. В правильной треугольной пирамиде со стороной основания 18 см и боковым ребром 27 см проведено сечение (рис. 43) так, что оно отсекает от каждого бокового ребра пирамиды отрезок 9 см, считая от вершины пирамиды. Найдите длину основания сечения.

 

11.4. Правильная четырехугольная пирамида со стороной основания 8,5 см и боковым ребром 13,6 см (рис. 44) пересечена плоскостью. Найдите длину стороны получившегося сечения, если каждый из отрезков AA₁, BB₁, CC₁ и DD₁ имеет длину 8,8 см.

 12. Решение треугольников

12.1. Основанием параллелепипеда служит параллелограмм со сторонами a и b и острым углом a. Найдите диагонали основания.

12.2. Основанием наклонного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ служит ромб. Сторона ромба равна 5 см, боковое ребро равно 6 см, а синус угла A₁AB равен 0,6. Найдите диагонали боковой грани A₁ABB₁.

13. Многоугольники. Выпуклые многоугольники.
Правильные многоугольники

13.1. Углы выпуклого четырехугольника, лежащего в основании призмы, пропорциональны числам 2, 3, 3, 4. Найдите углы основания призмы.

13.2. Сколько сторон имеет основание правильной пирамиды, если каждый из внутренних углов основания равен 150°?

13.3. Основанием правильной пирамиды служит многоугольник, у которого каждый из внешних углов основания равен 36°. Какая это пирамида?

13.4. Из заготовки цилиндрической формы следует выточить правильную треугольную призму (рис. 45) с возможно большей стороной основания. Найдите длину стороны основания призмы, если диаметр заготовки равен 50 мм.

 14. Площади фигур

14.1. Чему равна площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, у которого длины ребер, исходящих из одной вершины, равны a, b, c?

14.2. Вычислите площадь диагонального сечения куба (рис. 46), ребро которого равно 4 см.

14.3. Сколько краски потребуется, чтобы окрасить куб с ребром 2,5 см, если на покраску одного квадратного метра требуется 200 г краски?

14.4. Вычислите площадь полной поверхности правильной четырехугольной призмы, сторона основания которой равна 3 см, а высота 7 см.

14.5. На рисунке 47 изображена развертка четырехугольной призмы. Выполните необходимые измерения и вычислите площадь полной поверхности призмы.

14.6. Вычислите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 12 см, а боковое ребро 20 см (основанием правильной пирамиды является квадрат, а все боковые ребра имеют одинаковую длину).

14.7. Найдите площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, длина каждого ребра которой равна a, и вычислите ее значение при a = 3,8 см.

14.8. Вычислите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 8,3 см, а боковое ребро 12 см.

14.9. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, длина стороны основания которой равна a, а боковое ребро 2a, и вычислите ее значение при a=7,5 см. Вычислите также площадь полной поверхности этой пирамиды.

 Литература

1. Александров А.Д. и др. Геометрия для 8–9 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. — М., Просвещение, 1991.
2. Атанасян Л.С. и др. Геометрия: Учебник для 7–9 классов общеобразовательных учреждений. — 8-е изд. — М., Просвещение, АО «Московские учебники», 1998.
3. Болтянский В.Г., Глейзер Г.Д. Геометрия, 7–9: Учебник для 7–9 классов общеобразовательных учебных учреждений. — М., Институт учебника «Пайдейля», 1998.
4. Глейзер Г.Д. Каким быть школьному курсу геометрии. — Журнал «Математика в школе», № 4/1991.
5. Погорелов А.В. Геометрия: Учебник для 7–9 классов общеобразовательных учреждений. — М., Просвещение, 2000.
6. Ходеева Т.В. Изучение свойств многогранников в курсе математики 5–6 классов. — Газета «Математика», № 11, 13/2002.

.