В. Дроздов,
г. Рязань

О знакопостоянстве квадратичной функции

9 класс

Решая как-то дробно-рациональное неравенство с модулем, автор объяснял учащимся, почему 3x²–2x+1>0 при любом x. И уже собирался идти стандартным путем, выделяя квадрат линейного двучлена, как заметил другой, более естественный вариант:

3x²–2x+1=(x²–2x+1)+2x²=(x–1)² + 2x².

Теперь очевидно, что 3x² – 2x + 1 > 0 на всей числовой прямой.

Но приведенная квадратичная функция просто очень удобна для проведенной с ней операции. А сохранится ли такая возможность в общем виде, то есть с любой квадратичной функцией y = ax²+bx+c при условии a>0, c>0, D=b²–4ac<0? Интересно и замечательно, что ответ на поставленный вопрос утвердительный. Действительно,

Следовательно y > 0 при любом x.

Вопрос об отрицательном знакопостоянстве квадратичной функции при a<0, c<0, D<0 решается данным путем аналогично.

.