Главная страница «Первого сентября» • Главная страница журнала «Математика» • Содержание №28/2003

ЕГЭ–2002

М. Урукова,
школа № 59, г. Чебоксары,
Чувашская Республика

Задачи и решения

Окончание. См. № 22, 23, 25–26/2003.

Геометрические задачи

1. Окружность с центром O, вписанная в равнобедренный треугольник ABC с основанием AC, касается стороны BC в точке K, причем CK : BK = 5 : 8. Найдите длину отрезка BO, если площадь треугольника ABC равна 540.

Решение. Пусть CK = 5x и BK = 8x. Тогда CK = DC = AD = AN = 5x

(как равные отрезки касательных) и BK = BN = 8x, BC = 13x, AC = 10x.

Из треугольника BDC (Р D = 90°)

а по условию S_DABC = 540. Следовательно, 60x² = 540, откуда x = 3. Значит,

отсюда

Ответ: BO = 26.

2. Боковое ребро MC пирамиды MABC перпендикулярно плоскости основания ABC и равно 4. Плоскость, параллельная основанию, проходит через середину высоты пирамиды и пересекает боковые ребра в точках A₁, B₁ и C₁. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды MA₁B₁C₁, если AC = BC = 5, а высота CK треугольника ABC равна 3.

Решение. Так как плоскость A₁B₁C₁ параллельна плоскости ABC, то B₁C₁пзBC, A₁C₁пзAC, A₁B₁пзAB.

MC₁ = CC₁ = 2 и по теореме Фалеса

MB₁=B₁B, MA₁=A₁A, MC₁=C₁C.

Следовательно, B₁C₁, A₁C₁, K₁C₁ и A₁B₁ — средние линии треугольников MBC, MCA, MKC и AMB соответственно и

так как в треугольнике KBC BC = 5, KC = 3, РK = 90°; значит KB = 4 и AB = 8.

Из треугольника MC₁K₁ (РC = 90°)

Ответ:

3. В треугольнике ABC РB = 90°, медиана Окружность, вписанная в треугольник ABM, касается гипотенузы AC в точке T. Найдите катет BC, если AT : TC = 1 : 3.

Решение. Пусть AT = x, тогда TC = 3x, AC = 4x и AM = 2x.

Отсюда имеем AT = TM = PM = BP = BK = KA = x (как отрезки касательных). Но

Значит

Из треугольника ABC (РB = 90°)

Ответ: BC = 30.

4. Окружность с центром O, вписанная в прямоугольный треугольник ABC, касается катета BC в точке M. Луч BO пересекает катет AC в точке K. Найдите AK, если CM = 4, BM = 8.

Решение. На рисунке MC = CN = MO = 4.

В треугольнике BMO MO = 4, BM = 8, Р M = 90°, значит

Из треугольника CKB (РC = 90°, РCBK = РMBO) имеем

В треугольнике CBA РB = 2РCBK,

то есть

AK = AC – CK = 9,6 – 6 = 3,6.

Ответ: AK = 3,6.

5. В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 10, 8 и 6. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45°. Через середину высоты проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объем полученной усеченной пирамиды.

Решение. В треугольнике ABC РC = 90°, так как AB²=AC²+BC², где AB=10, AC=6, BC=8 и 10²=8²+6².

По условию

В треугольнике ADB РA = РB = 45° и AD = DB, AN = NB = 5 и DN = AN = 5,

Ответ:

6. Основание и боковая грань пирамиды DABC — правильные треугольники ABC и DAC, плоскости которых взаимно перпендикулярны. Найдите AC, если объем пирамиды равен 1.

Решение. Пусть AC = a, тогда

то есть

Ответ: 2.

7. В треугольник ABC вписана окружность с центром O. Луч AO пересекает сторону BC в точке K. Найдите площадь треугольника BOC, если AB = 26, AC = 30 и BK = 13.

Решение. AK — биссектриса треугольника ABC, так как центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис треугольника. Так как биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам, то

Значит,

BC = BK + KC = 13 + 15 = 28.

По формуле Герона

С другой стороны,

Следовательно

Ответ: 112.

8. В основании пирамиды SABCD лежит квадрат ABCD со стороной, равной 5. Точка M делит ребро SB в отношении 2 : 3, считая от точки S. Через точку M проходит сечение, параллельное основанию пирамиды. Найдите его площадь.

Решение. с коэффициентом подобия то есть

Ответ: 4.

9. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 3, апофема образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение. В треугольнике SOM

РSMO = 60°, РMSO = 30°,

РSOM = 90°, SM² = SO² + OM²,

Следовательно,

откуда

Ответ: 24.

10. В конус с радиусом основания 4 и высотой вписана треугольная призма, у которой все ребра равны. Найдите объем призмы.

Решение. Пусть ребра призмы равны a, тогда площадь основания равна и медиана основания , тогда радиус описанной около основания призмы окружности равен ; OO₁=a.

11. Две стороны треугольника равны 3 см и 4 см. Медианы, проведенные к этим сторонам, взаимно перпендикулярны. Найдите третью сторону треугольника.

Решение. BC = 3 см, AC = 4 см.

AN и BM — медианы треугольника ABC, то есть BN = NC и AM = MC. Следовательно, MN — средняя линия треугольника ABC.

Пусть ON = x см, OM = y см, тогда OB = 2OM = 2y (см), AO = 2ON = 2x (см).

Из треугольника BON BN = 1,5 см и x2 + (2y)² = 1,5².

Из треугольника AOM AM = 2 см, y² + (2x)² = 2²,

то есть откуда Тогда

12. В шар вписан конус, высота и радиус основания которого соответственно равны . Найдите радиус шара.

Решение. Пусть OO₁=x, тогда OB = OC = x + 1.

По теореме Пифагора OB² = OO₁²+ O₁B²,

то есть откуда x = 1; тогда R = OB = 2.

Ответ: 2.

13. Найдите биссектрису прямого угла треугольника, у которого катеты равны

Решение.

РACM = РMCB = 45°.

Применим теорему косинусов к треугольникам ACM и MCB.

Вычитая из первого уравнения второе, получим

Подставляя в первое уравнение, имеем:

откуда

Ответ:

14. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде боковое ребро равно 2, сторона большего основания равна 3, а высота равна . Найдите площадь диагонального сечения пирамиды.