Проект
ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ СТАНДАРТ
ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
ПО МАТЕМАТИКЕ
Изучение математики в основной школе направлено на достижение следующих целей:
овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения образования;
развитие таких качеств личности, как ясность и точность мысли, логическое мышление, пространственное воображение, алгоритмическая культура, интуиция, критичность и самокритичность;
формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средстве моделирования процессов и явлений;
воспитание средствами математики культуры личности, знакомство с жизнью и деятельностью видных отечественных и зарубежных ученых-математиков, понимание значимости математики для общественного прогресса.
Реализация указанных целей достигается в результате освоения следующего содержания образования
ОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ МИНИМУМ
СОДЕРЖАНИЯ ОСНОВНЫХ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ПРОГРАММ
АРИФМЕТИКА
Натуральные числа. Десятичная система счисления. Арифметические действия над натуральными числами. Степень с натуральным показателем.
Делимость натуральных чисел. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10. Простые и составные числа. Разложение натурального числа на простые множители. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Деление с остатком.
Целые числа: положительные, отрицательные и нуль.
Обыкновенная дробь. Свойства дробей. Сравнение дробей. Арифметические действия с обыкновенными дробями, приведение к общему знаменателю. Нахождение части от целого и целого по его части.
Десятичная дробь. Сравнение десятичных дробей. Арифметические действия с десятичными дробями. Представление десятичной дроби в виде обыкновенной дроби и обыкновенной в виде десятичной.
Рациональные числа. Модуль (абсолютная величина) числа. Сравнение рациональных чисел. Арифметические действия над рациональными числами. Степень с целым показателем.
Числовые выражения, порядок действий в них, использование скобок. Законы арифметических действий: переместительный, сочетательный, распределительный.
Числовые равенства и их свойства. Числовые неравенства и их свойства.
Пропорция и её свойства.
Проценты. Нахождение процента от величины, величины по ее проценту.
Текстовые задачи (на движение, работу, стоимость, смеси и др.). Решение текстовых задач арифметическим способом.
Квадратный корень из числа и его свойства. Корень третьей степени. Корень n-ой степени из числа, степень с дробным показателем.
Округление чисел. Прикидка и оценка результатов вычислений. Запись чисел в стандартном виде.
Понятие об иррациональном числе. Иррациональность числа . Десятичные приближения иррациональных чисел. Рациональные и иррациональные числа как периодические и непериодические бесконечные десятичные дроби. Измерение длины отрезка. Действительные числа.
Метрические системы единиц: длины, площади, объема, массы, времени.
Исторические замечания. Римская нумерация.
АЛГЕБРА
Алгебраические выражения. Буквенные выражения (выражения с переменными). Допустимые значения переменных, входящих в алгебраические выражения. Числовое значение буквенного выражения. Подстановка одного выражения в другое.
Свойства степеней с целым показателем и их применение в преобразовании выражений.
Многочлены. Сложение, вычитание, умножение многочленов. Формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности, куб суммы и куб разности. Формула разности квадратов, формула суммы кубов и разности кубов. Разложение многочлена на множители. Вычисления значений арифметических и алгебраических выражений.
Квадратный трехчлен. Выделение полного квадрата в квадратном трехчлене. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители. Многочлены с одной переменной. Степень многочлена. Корень многочлена.
Алгебраические дроби. Действия с алгебраическими дробями.
Преобразования алгебраических выражений.
Уравнения и неравенства. Уравнение с одним неизвестным. Корень уравнения. Линейное уравнение. Квадратное уравнение: формула корней квадратного уравнения, соотношения между коэффициентами и корнями. Решение рациональных уравнений. Примеры решения уравнений высших степеней; методы замены переменной, разложения на множители.
Уравнение с несколькими неизвестными. Система уравнений. Решение системы. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Методы подстановки и алгебраического сложения. Примеры решения нелинейных систем. Решение уравнений в целых числах.
Неравенство с одним неизвестным. Решение неравенства. Линейные неравенства с одним неизвестным и их системы. Квадратные неравенства. Простейшие дробно-линейные неравенства.
Пример доказательства алгебраического неравенства. Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел.
Составление уравнений, неравенств и их систем по условиям задач. Решение текстовых задач алгебраическим методом. Интерпретация результата, отбор решений.
Координаты. Изображение чисел точками координатной прямой. Геометрический смысл модуля числа. Числовые промежутки: интервал, отрезок, полуинтервал, луч. Формула расстояния между точками координатной прямой.
Декартова система координат на плоскости. Координаты точки на плоскости.
Графическая интерпретация уравнений и неравенств с двумя неизвестными и их систем.
Тригонометрия. Градусная мера угла. Синус, косинус и их графики. Тангенс и котангенс. Формулы, связывающие синус, косинус, тангенс, котангенс одного и того же угла. Формулы приведения.
Числовые функции. Понятие функции. Область определения функции. Способы задания функции. График функции. Возрастание и убывание функции, наибольшее и наименьшее значения функции.
Прямая пропорциональность, линейная функция и ее график. Геометрический смысл коэффициентов. Обратная пропорциональность и ее график (гипербола). Квадратичная функция и ее график (парабола). Координаты вершины параболы, ось симметрии. Степенная функция с натуральным показателем и ее график. Графики функций: корень квадратный, корень кубический, модуль.
Использование графиков и свойств функций для решения уравнений и систем.
Преобразования графиков: параллельный перенос вдоль осей координат и симметрия относительно осей.
Числовые последовательности и способы их задания. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Индуктивный вывод формул: общего члена арифметической, геометрической прогрессий, суммы первых нескольких членов арифметической и геометрической прогрессий. Характеристическое свойство прогрессий. Примеры экспоненциального роста, сложные проценты.
Исторические замечания.
ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ, КОМБИНАТОРИКИ,
СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Множество. Элемент множества, подмножество. Объединение и пересечение множеств. Диаграммы Эйлера.
Понятие об аксиомах и теоремах. Обратная теорема. Следствие. Необходимые условия, достаточные условия. Доказательство от противного. Контрпример.
Примеры решение комбинаторных задач: перебор вариантов, правило умножения, перестановки, размещения.
Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Средние результатов измерения.
Понятие и примеры случайных событий.
Частота события, вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятности.
Исторические замечания.
ГЕОМЕТРИЯ
Геометрические формы, фигуры и тела.
Точка, прямая и плоскость. Части прямой (отрезок, луч), угол, ломаная.
Отрезок прямой как кратчайший путь между двумя точками. Расстояние. Длина отрезка.
Угол. Прямой угол. Острые и тупые углы. Вертикальные и смежные углы. Биссектриса угла. Градусная мера угла.
Параллельность и перпендикулярность прямых. Признаки и свойства.
Фигуры на плоскости. Многоугольники. Виды многоугольников. Выпуклые многоугольники. Окружность и круг. Длина ломаной, периметр многоугольника.
Осевая и центральная симметрия фигур.
Понятие о равенстве в геометрии. Понятие о геометрическом месте точек.
Наглядные представления о пространственных телах: кубе, параллелепипеде, призме, пирамиде, шаре, сфере, конусе, цилиндре. Изображение многогранников и круглых тел, сечения. Развертки.
Треугольник. Внутренние и внешние углы треугольника. Стороны треугольника, его медианы, биссектрисы, высоты. Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. Равнобедренный треугольник, его свойства и признаки. Равносторонний треугольник. Признаки равенства треугольников. Неравенство треугольника. Перпендикуляр и наклонная. Сумма углов треугольника. Сумма углов выпуклого многоугольника.
Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника. Подобие треугольников. Коэффициент подобия. Признаки подобия треугольников.
Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора. Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла прямоугольного треугольника. Вычисление элементов прямоугольных треугольников.
Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°. Основное тригонометрическое тождество. Теорема синусов и теорема косинусов. Вычисление элементов треугольника.
Замечательные точки треугольника: точки пересечения серединных перпендикуляров (центр окружности, описанной около треугольника), биссектрис (центр окружности, вписанной в треугольник), медиан, высот.
Четырехугольник. Параллелограмм. Ромб, прямоугольник, квадрат. Свойства и признаки. Трапеция. Средняя линия трапеции. Вписанные четырехугольники. Описанные четырехугольники.
Окружность и круг. Центр, радиус, диаметр окружности и круга. Дуга, хорда. Сектор. Взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей. Касательная и секущая. Величина углов: центрального, вписанного, с вершиной внутри и вне окружности. Окружность, вписанная в треугольник, и окружность, описанная около треугольника.
Правильные многоугольники. Вписанные и описанные многоугольники.
Длина окружности и длина дуги. Число p.
Площади плоских фигур. Понятие о площади плоских фигур. Равновеликость и равносоставленность.
Площадь прямоугольника. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции (основные формулы). Формула площади треугольника через две стороны и угол между ними. Использование при решении задач других формул площади (формула Герона, формулы, связывающие площадь треугольника с радиусом вписанной и радиусом описанной окружностей.)
Связь между площадями подобных треугольников. Отношение площадей подобных фигур.
Площадь четырехугольника. Площадь описанного многоугольника.
Площадь круга и площадь сектора.
Координаты и векторы. Декартовы координаты на плоскости. Формула расстояния между двумя точками.
Уравнение окружности данного радиуса с центром в начале координат. Уравнение прямой, проходящей через данную точку и образующей данный угол с горизонтальной осью.
Вектор. Длина (модуль) вектора. Координаты вектора. Равенство векторов. Операции над векторами: умножение на число, сложение, разложение, скалярное произведение.
Преобразования плоскости. Примеры движений: осевая симметрия, параллельный перенос, поворот, центральная симметрия.
Понятие о гомотетии. Подобие фигур.
Исторические замечания. Понятие об аксиоматическом методе построения планиметрии.
ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ПОДГОТОВКИ
ВЫПУСКНИКОВ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ
Арифметика
Уметь:
выполнять устный счет с целыми числами, обыкновенными и десятичными дробями;
переходить от одной формы записи чисел к другой, выбирая наиболее подходящую, в зависимости от конкретной ситуации; представлять десятичную дробь в виде обыкновенной и в простейших случаях обыкновенную в виде десятичной, проценты — в виде дроби и дробь — в виде процентов;
изображать числа точками на координатной прямой;
сравнивать рациональные числа;
выполнять арифметические действия с рациональными числами; находить значения степеней с целыми показателями и корней; находить значения числовых выражений;
округлять целые числа и десятичные дроби, находить приближенное значение числового выражения;
применять стандартный вид числа для записи больших и малых чисел, выполнять умножение и деление чисел, записанных в стандартном виде;
пользоваться основными единицами длины, массы, времени, скорости, площади, объема; выражать более крупные единицы через более мелкие и наоборот;
пользоваться справочными материалами;
решать текстовые задачи, включая задачи на движение и работу, задачи связанные с отношением и с пропорциональностью величин, основные задачи на дроби и на проценты, задачи с целочисленными неизвестными.
Применять полученные знания:
для решения несложных практических расчетных задач, в том числе c использованием простейших вычислительных устройств;
для устной прикидки и оценки результата вычислений; проверки результата вычисления на правдоподобие, используя различные приемы; интерпретации результатов решения задач с учетом ограничений, связанных с реальными свойствами рассматриваемых процессов и явлений.
Алгебра
Уметь:
составлять буквенные выражения и формулы по условиям задач; осуществлять в выражениях и формулах числовые подстановки и выполнять соответствующие вычисления; выражать из формул одну переменную через другие;
выполнять основные действия со степенями с целыми показателями, с многочленами и с алгебраическими дробями; выполнять разложение многочленов на множители; выполнять тождественные преобразования рациональных выражений,
применять свойства арифметических квадратных корней для вычисления значений и преобразований числовых выражений, содержащих квадратные корни;
решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы уравнений (линейные и системы, в которых одно уравнение второй, а другое первой степени);
решать линейные неравенства с одной переменной и их системы; квадратные неравенства;
решать текстовые задачи алгебраическим методом, учитывать ограничения целочисленности, диапазона изменения величин;
определять значения тригонометрических выражений по заданным значениям углов;
находить значения тригонометрических функций по значению одной из них;
определять координаты точки в координатной плоскости, строить точки с заданными координатами; решать задачи на координатной плоскости: изображать различные соотношения между двумя переменными, находить координаты точек пересечения графиков;
применять графические представления при решении уравнений, систем, неравенств;
находить значения функций, заданных формулой, таблицей, графиком, решать обратную задачу;
строить графики изученных функций, описывать их свойства, определять свойства функции по ее графику;
распознавать арифметические и геометрические прогрессии; использовать их свойства; формулы общего члена и суммы нескольких первых членов.
Применять полученные знания:
для выполнения расчетов по формулам, понимая формулу как алгоритм вычисления; для составления формул, выражающих зависимости между реальными величинами; для нахождения нужной формулы в справочных материалах;
при моделировании практических ситуаций и исследовании построенных моделей (используя аппарат алгебры);
при интерпретации графиков зависимостей между величинами; переводя на язык функций и исследуя реальные зависимости;
для расчетов, включающих простейшие тригонометрические формулы;
при решении планиметрических задач с использованием аппарата тригонометрии.
Элементы логики, комбинаторики,
статистики и теории вероятностей
Уметь:
решать комбинаторные задачи путем систематического перебора возможных вариантов и с использованием правила умножения;
проводить доказательства утверждений или опровергать их с помощью контрпримеров;
извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, на графиках; составлять таблицы, строить диаграммы и графики;
вычислять средние значения результатов измерений;
находить частоту события;
в простейших случаях находить вероятности случайных событий, в том числе с использованием комбинаторики.
Применять полученные знания:
при решении учебных и практических задач осуществляя систематический перебор вариантов;
в анализе реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков;
при сравнении шансов наступления случайных событий;
для оценки вероятности случайного события в практических ситуациях, сопоставления модели с реальной ситуацией.
Геометрия
Уметь:
распознавать плоские геометрические фигуры, различать их взаимное расположение, аргументировать суждения, используя определения, свойсива и признаки;
изображать планиметрические фигуры; выполнять чертежи по условию задач; осуществлять преобразования фигур (параллельное перемещение, …);
распознавать на чертежах, и моделях и в окружающей обстановке основные пространственные тела, изображать их; иметь представления об их сечениях и развертках;
вычислять значения геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);
решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства фигур и отношений между ними; применяя дополнительные построения, алгебраический и тригонометрический аппарат; соображения симметрии;
проводить доказательные рассуждения при решении задач, используя известные теоремы, обнаруживая возможности для их использования;
решать основные задачи на построение с помощью циркуля и линейки: угла, равного данному; биссектрисы данного угла; серединного перпендикуляра к отрезку; прямой, параллельной данной прямой; треугольника по трем сторонам;
решать простейшие планиметрические задачи в пространстве.
Применять полученные знания:
при построениях геометрическими инструментами (линейка, угольник, циркуль, транспортир);
- для вычисления длин, площадей и объемов основных геометрических фигур с помощью формул (используя, при необходимости, справочники и технические средства).
ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ СТАНДАРТ
СРЕДНЕГО (ПОЛНОГО)
ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ
БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ
Изучение математики в старшей школе на базовом уровне направлено на достижение следующих целей:
овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения образования;
развитие таких качеств личности, как ясность и точность мысли, логическое мышление, пространственное воображение, алгоритмическая культура, интуиция, критичность и самокритичность;
формирование представлений об идеях и методах математики как универсальном языке науки и техники, средстве моделирования процессов и явлений;
воспитание средствами математики культуры личности, знакомство с жизнью и деятельностью видных отечественных и зарубежных ученых-математиков, понимание значимости математики для общественного прогресса.
Реализация указанных целей достигается в результате освоения следующего содержания образования
Обязательный минимум
содержания основных
образовательных программ
ЧИСЛОВЫЕ И БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Корень n-ой степени и его свойства. Степень с рациональным показателем и ее свойства. Понятие о степени с действительным показателем.
Логарифм числа. Логарифм произведения, частного, степени; переход к новому основанию. Десятичный логарифм. Число е. Натуральный логарифм.
Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа. Формулы сложения, формулы двойного угла. Арксинус, арккосинус и арктангенс числа.
Преобразования рациональных, иррациональных, степенных, показательных, логарифмических и тригонометрических выражений.
ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ
Общее понятие функции, ее область определения и график. Способы задания функции. Сложная функция.
Дробно-линейная функция и ее график. Степенная функция с натуральным показателем, её свойства и график.
Показательная функция, её свойства и график. Логарифмическая функция, её свойства и график.
Тригонометрические функции, их свойства и графики.
Монотонность функции, промежутки возрастания и убывания. Наибольшее и наименьшее значения, множество значений, ограниченность функции. Точки (локального) максимума и минимума. Четность и нечетность, периодичность функции. Графическая интерпретация свойств функции.
Преобразования графиков функции: сдвиги и растяжения (сжатия) вдоль координатных осей, симметрия относительно осей.
НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Действительные числа. Изображение действительных чисел точками числовой прямой. Бесконечные десятичные дроби. Приближение чисел конечными десятичными дробями. Знак и модуль действительного числа, целая и дробная часть числа.
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Представление о пределе и о непрерывности функции.
Понятие о производной функции. Физический смысл производной функции, как скорости изменения этой функции. Понятие о касательной к графику функции. Геометрический смысл производной, как углового коэффициента касательной. Уравнение касательной. Таблица производных. Правила нахождения производных. Применение производной к исследованию функции и построению графиков.
Понятие об определенном интеграле как площади криволинейной трапеции. Первообразная. Первообразные элементарных функций. Формула Ньютона–Лейбница.
Использование свойств функций при решении текстовых, физических и геометрических задач. Решение задач на наибольшее и наименьшее значения.
Исторические замечания. Аксиомы действительных чисел.
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Уравнения и неравенства с одной неизвестной. Уравнения и неравенства с несколькими неизвестными. Системы и совокупности уравнений и неравенств.
Решение рациональных, показательных и логарифмических уравнений и неравенств, иррациональных и тригонометрических уравнений. Решение систем уравнений и неравенств.
Понятие о равносильных уравнениях и равносильных неравенствах. Использование равносильных преобразований. Переход к следствию с последующей проверкой. Замена переменной.
Использование при решении уравнений и неравенств свойств и графиков функций. Метод интервалов. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств, их систем и совокупностей. Графическое решение систем линейных неравенств с двумя переменными.
Составление уравнений и неравенств по текстовому описанию задачи. Задачи на движение и работу. Задачи на проценты, доли, смеси. Интерпретация результата, учет ограничений, связанных с реальными свойствами рассматриваемых процессов и явлений (целочисленность, положительность, пределы изменения). Примеры уравнений и неравенств с параметрами.
ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Табличное и графическое представление информации. Гистограммы выборок больших объемов. Понятие о нормальном распределении. Числовые характеристики рядов данных.
Поочередный и одновременный выбор нескольких элементов из конечного множества. Решение комбинаторных задач.
Классический способ нахождения вероятности случайного события. Геометрические вероятности. Рассмотрение случаев и вероятность суммы несовместных событий, вероятность противоположного события. Вероятность и статистическая частота наступления события.
ГЕОМЕТРИЯ
Прямые и плоскости в пространстве. Основные понятия стереометрии (точка, прямая, плоскость, пространство). Способы задания прямых и плоскостей.
Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые. Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярность прямых. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
Параллельность и перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства. Ортогональная проекция. Перпендикуляр и наклонная. Угол между прямой и плоскостью. Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трех перпендикулярах.
Параллельность плоскостей, перпендикулярность плоскостей, признаки и свойства. Двугранный угол, линейный угол двугранного угла.
Параллельное проектирование. Площадь ортогональной проекции многоугольника. Изображение пространственных фигур.
Многогранники. Вершины, ребра, грани многогранника. Поверхность многогранника. Многогранные углы. Выпуклые и невыпуклые многогранники.
Призма, ее элементы: основания, боковые ребра, высота, боковая поверхность. Прямая и наклонная призма. Правильная призма. Параллелепипед. Куб.
Пирамида, ее элементы: основание, боковые ребра, высота, боковая поверхность. Сечения пирамиды, параллельные ее основанию. Правильная пирамида. Треугольная пирамида.
Симметрии в кубе, в параллелепипеде, в правильных призмах и пирамидах. Понятие о симметрии в пространстве (центральная, осевая, зеркальная).
Сечения многогранников.
Общее представление о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр).
Круглые тела и поверхности. Цилиндр, конус и их элементы: основание, образующая, высота, боковая поверхность. Развертка боковой поверхности.
Шар, сфера. Сечения сферы (шара) плоскостями. Касательная плоскость к сфере.
Понятия о телах вращения и о поверхностях вращения. Ось вращения.
Объемы тел и площади их поверхностей. Понятие об объеме тела. Равновеликость тел. Отношения объемов подобных тел.
Формулы объема прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра. Формулы объема пирамиды и конуса. Формулы площади поверхностей цилиндра и конуса. Формулы объема шара и площади сферы.
Координаты. Векторы. Декартовы координаты в пространстве. Формула расстояния между двумя точками. Уравнения сферы и плоскости. Способы задания прямой.
Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов и умножение вектора на число. Угол между векторами. Компланарность векторов. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов.
Методы и задачи геометрии. Сведение к планиметрическим задачам с помошью сечений и проектирования. Развертка.
Построение сечений многогранников.
Координатный и векторный методы.
Задачи на вычисление, на доказательство, на геометрические места точек. Примеры задач на максимум и минимум.
Исторические замечания.
Требования к уровню подготовки
выпускников средней школы
В результате изучения математики в старшей школе на базовом уровне предполагается, что выпускник будет
Числовые и буквенные выражения
Уметь:
выполнять устный счет с целыми числами, обыкновенными и десятичными дробями;
находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма; находить приближенные значения корня, степени, логарифма с помощью калькулятора;
выражать градусную меру угла в радианах и радианную меру — в градусах;
доказывать основные алгебраические и тригонометрические формулы;
проводить по известным формулам и правилам преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции.
Применять полученные знания:
для практических расчетов по формулам, включая формулы, содержащие степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции, используя при необходимости, справочные материалы, а также простейшие вычислительные устройства.
Функции и графики
Уметь:
определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции;
строить графики изученных функций, описывать их свойства.
Применять полученные знания:
для описания с помощью функций различных процессов, представления их графически, интерпретации графиков и выводов о характере протекания описываемых процессов;
для решения уравнений, простейших систем уравнений, неравенств с применением свойств функций и графических представлений.
Начала математического анализа
Уметь:
вычислять производные элементарных функций с помощью таблицы производных (показательной, логарифмической, тригонометрических, степенной функций) и правил нахождения производных (производная суммы, произведения, частного);
исследовать функции на монотонность и экстремумы, находить наибольшие и наименьшие значения функций.
Применять полученные знания:
при решении геометрических, физических и других прикладных задач на наибольшие и наименьшие значения;
при построении графиков функций.
Уравнения и неравенства
Уметь:
составлять уравнения и неравенства, связывающие неизвестные величины в содержательных (текстовых) задачах и решать возникающие при этом показательные, логарифмические, иррациональные уравнения и неравенства, тригонометрические уравнения, системы уравнений с двумя переменными, рациональные и сводящиеся к ним неравенства; в том числе, применяя метод интервалов, графический метод, используя вычислительные устройства;
использовать графики при решении уравнений и неравенств;
изображать на координатной плоскости множества решений простейших уравнений, неравенств с двумя неизвестными и их систем.
Применять полученные знания:
для построения и исследования математических моделей практических задач и задач из смежных дисциплин, используя уравнения и неравенства.
Элементы статистики и теории вероятностей
Уметь:
решать комбинаторные задачи методом перебора, с использованием правила умножения;
вычислять вероятности событий на основе подсчета числа исходов;
использовать статистические инструменты для анализа данных.
Применять полученные знания:
при анализе информации статистического характера.
Геометрия
Уметь:
распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, чертежами, изображениями; описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении, используя определения, свойства и признаки;
изображать основные многогранники и круглые тела, выполнять чертежи по условиям задач;
строить простейшие сечения многогранников.
Применять полученные знания:
для решения планиметрических и стереометрических задач на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов), сопровождая решение необходимыми доказательствами;
- для вычисления объемов и площадей поверхностей пространственных тел при решении практических задач, используя при необходимости, справочники и вычислительные устройства.
ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ СТАНДАРТ
СРЕДНЕГО (ПОЛНОГО)
ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ
ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ
Изучение математики в старшей школе на профильном уровне направлено на достижение следующих целей:
овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения образования;
развитие таких качеств личности, как ясность и точность мысли, логическое мышление, пространственное воображение, алгоритмическая культура, интуиция, критичность и самокритичность;
формирование представлений об идеях и методах математики как универсальном языке науки и техники, средстве моделирования процессов и явлений;
воспитание средствами математики культуры личности, знакомство с жизнью и деятельностью видных отечественных и зарубежных ученых-математиков, понимание значимости математики для общественного прогресса.
Реализация указанных целей достигается в результате освоения следующего содержания образования
Обязательный минимум
содержания основных
образовательных программ
ЧИСЛОВЫЕ И БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Корень n-ой степени и его свойства. Степень с рациональным показателем и ее свойства. Понятие о степени с иррациональным показателем. Свойства степеней с действительными показателями.
Логарифм числа. Логарифм произведения, частного и степени, формула перехода к логарифму по новому основанию. Десятичные и натуральные логарифмы. Число е.
Радианная мера угла. Формулы сложения, двойного угла. Выражение синуса, косинуса и тангенса угла через тангенс половинного угла. Формулы перехода от сумм к произведениям и обратно. Арксинус, арккосинус и арктангенс числа и их свойства.
Многочлены от одной переменной. Делимость многочленов. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами.
Многочлены от двух переменных, однородные многочлены. Формулы сокращенного умножения для высших степеней. Бином Ньютона. Многочлены от нескольких переменных, симметрические и однородные многочлены.
Исторические замечания.
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Комплексные числа и их геометрическая интерпретация. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел. Действительная и мнимая части, модуль и аргумент комплексного числа. Комплексно сопряженные числа. Комплексные корни квадратного трехчлена. Основная теорема алгебры. Теорема Виета для многочленов произвольной степени.
Арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи. Возведение в натуральную степень (формула Муавра) и извлечение корня натуральной степени из комплексного числа.
Исторические замечания.
ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ
Понятие функции, область определения, множество значений функции и её график. Способы задания функции.
Монотонность функции, промежутки возрастания и убывания. Точки (локального) максимума и минимума, наибольшее и наименьшее значения, ограниченность функции. Выпуклость функции. Четность и нечетность, периодичность функции. Связь между свойствами функции и ее графиком.
Элементарные функции: многочлены, дробно-линейная и рациональные функции; степенные, показательные и логарифмические функции; тригонометрические функции; обратные тригонометрические функции. Свойства и графики элементарных функций.
Композиция функций (сложная функция) и обратная функция.
Преобразования графиков функций: сдвиги и растяжения (сжатия) вдоль координатных осей, симметрия относительно осей и биссектрисы первого и третьего координатных углов.
Исторические замечания.
НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Действительные числа. Изображение действительных чисел на числовой прямой. Несоизмеримые отрезки. Бесконечные десятичные дроби. Приближение чисел конечными десятичными дробями. Знак и модуль действительного числа, целая и дробная часть числа. Алгоритм Евклида. Аксиомы действительных чисел.
Числовые последовательности, способы их задания. Арифметическая и геометрическая прогрессии, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Понятие о пределе последовательности. Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности. Числа p и е.
Понятие о пределе функции в точке. Понятие о непрерывности функции. Промежутки знакопостоянства непрерывной функции. Поведение функций на бесконечности. Асимптоты.
Понятие о производной функции в точке. Физический смысл производной функции как скорости изменения этой функции. Понятие о касательной к графику функции, уравнение касательной. Геометрический смысл производной как углового коэффициента касательной. Вторая производная как ускорение. Производные элементарных функций. Правила нахождения производных. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Использование производной при исследовании функций и построении их графиков.
Использование свойств функций при решении текстовых, физических и геометрических задач. Решение задач на наибольшее и наименьшее значения.
Понятие об определенном интеграле как площади криволинейной трапеции. Первообразная. Первообразные элементарных функций. Формула Ньютона–Лейбница. Приложения определенного интеграла: вычисление площадей криволинейных фигур, вычисление площадей поверхности и объемов фигур вращения, нахождение массы по плотности ее распределения.
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Уравнения и неравенства с одной неизвестной (переменной). Уравнения и неравенства с несколькими переменными. Системы и совокупности уравнений и неравенств. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля.
Решение рациональных, показательных и логарифмических уравнений и неравенств, иррациональных и тригонометрических уравнений. Решение систем уравнений и неравенств.
Исследование уравнений, неравенств с параметрами и систем. Равносильные преобразования. Переход к следствию с последующей проверкой. Перебор возможностей, отбор корней. Замена переменной. Универсальная тригонометрическая подстановка. Введение вспомогательного угла.
Использование при решении уравнений и неравенств свойств функций: монотонности, непрерывности, периодичности, четности и ограниченности множества значений. Метод интервалов.
Использование графиков функций. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств, их систем и совокупностей. Графическое решение систем линейных неравенств с двумя переменными.
Составление уравнений и неравенств по текстовому описанию задачи. Задачи на движение и работу, задачи на проценты, доли, смеси. Интерпретация результата, учет ограничений, связанных с реальными свойствами рассматриваемых процессов и явлений (целочисленность, положительность, пределы изменения).
Исторические замечания.
ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ
Логические операции с высказываниями. Следствие и равносильность. Прямая и обратная теоремы. Необходимые условия, достаточные условия. Противоречие. Доказательство от противного. Метод математической индукции. Аксиоматический подход к построению отдельных разделов математики.
ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИКИ И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Табличное и графическое представление результатов измерений: выборка, варианта, (вариационный) ряд данных, многоугольники распределения. Гистограммы выборок. Нормальное распределение и гауссова кривая.
Числовые характеристики рядов данных: среднее квадратичное отклонение, дисперсия. Понятие о функциональных и корреляционных зависимостях.
Поочередный и одновременный выбор нескольких элементов из конечного множества. Формулы для числа перестановок, размещений, сочетаний. Решение комбинаторных задач. Биномиальные коэффициенты, треугольник Паскаля и его свойства.
Классический способ нахождения вероятности случайных событий. Геометрические вероятности. Сумма и произведение случайных событий. Независимость случайных событий. Независимые повторения испытаний с двумя исходами. Схема и формула Бернулли. Использование таблицы значений гауссовой функции. Вероятность и статистическая частота наступления события, представление о законе больших чисел.
Исторические замечания.
ГЕОМЕТРИЯ
Дополнительные главы планиметрии. Решение задач повышенного уровня сложности по курсу планиметрии. Доказательства теорем и формул планиметрии (формула Герона, выражение площади треугольника через радиус вписанной и описанной окружностей).
Прямые и плоскости в пространстве. Основные понятия стереометрии (точка, прямая, плоскость, пространство). Способы задания прямых и плоскостей.
Взаимное расположение прямых в пространстве. Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые. Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярность прямых. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
Взаимное расположение прямой и плоскости. Параллельность и перпендикулярность. Угол между прямой и плоскостью. Перпендикуляр и наклонная. Расстояние от точки до плоскости. Ортогональная проекция. Теорема о трех перпендикулярах.
Взаимное расположение плоскостей. Параллельность. Перпендикулярность. Признаки и свойства. Двугранный угол, линейный угол двугранного угла.
Параллельное проектирование. Площадь ортогональной проекции многоугольника. Изображение пространственных фигур. Центральное проектирование.
Многогранники. Вершины, ребра, грани многогранника. Поверхность многогранника. Выпуклые и невыпуклые многогранники. Многогранные углы. Неравенство для плоских углов трехгранного угла.
Призма, ее элементы: основания, боковые ребра, высота, боковая поверхность. Прямая и наклонная призма. Правильная призма. Параллелепипед. Куб.
Пирамида, ее элементы: основание, боковые ребра, высота, боковая поверхность. Сечения пирамиды, параллельные ее основанию. Правильная пирамида. Треугольная пирамида. Сфера, вписанная в треугольную пирамиду; сфера, описанная около треугольной пирамиды.
Сечения многогранников. Развертки многогранников.
Симметрии в кубе, в параллелепипеде, в правильных призмах и пирамидах. Понятие о симметрии в пространстве (центральная, осевая, зеркальная).
Общее представление о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр).
Круглые тела и поверхности. Цилиндр, конус и их элементы: основание, образующая, высота, боковая поверхность. Развертка боковой поверхности.
Шар, сфера. Сечения сферы (шара) плоскостями. Касательная плоскость к сфере.
Касание круглых тел с прямыми и плоскостями.
Вписанные и описанные многогранники.
Понятие о телах вращения и об их поверхностях вращения. Ось вращения.
Объемы тел и площади их поверхностей. Понятие об объеме тела. Равновеликость тел. Отношение объемов подобных тел.
Объем прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра. Объем пирамиды и конуса. Площадь поверхности цилиндра и конуса. Объем шара и площадь сферы. Площадь сферического пояса и сферического сегмента.
Координаты. Векторы. Декартовы координаты в пространстве. Формула расстояния между двумя точками. Уравнения сферы и плоскости. Способы задания прямой.
Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов и умножение вектора на число. Угол между векторами. Компланарность векторов. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов.
Преобразования пространства. Представление о движении в пространстве. Параллельный перенос. Центральная симметрия. Зеркальная симметрия. Симметрия многогранников.
Методы и задачи геометрии. Сведение к планиметрическим задачам: метод сечений; метод проектирования. Развертка.
Построение сечений многогранников.
Координатный и векторный методы.
Метод центра масс.
Задачи на вычисление, на доказательство, на геометрические места точек. Задачи на максимум и минимум. Геометрические неравенства.
Решение планиметрических задач стереометрическими методами.
Исторические замечания.
Требования к уровню подготовки
выпускников средней школы
В результате изучения математики в старшей школе на профильном уровне предполагается, что выпускник будет
Числовые и буквенные выражения
Уметь:
выполнять устный счет с целыми числами, обыкновенными и десятичными дробями;
находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма; находить приближенные значения корня, степени, логарифма с помощью калькулятора;
выполнять действия с многочленами, включая разложение многочленов на множители, нахождение целых корней многочлена с целыми коэффициентами, кратных корней многочлена, применять теорему Виета и теорему Безу;
доказывать алгебраические и тригонометрические формулы;
выражать градусную меру угла в радианах и радианную меру — в градусах;
проводить по известным формулам и правилам преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции;
доказывать тождества и неравенства, применяя, в том числе, бином Ньютона и формулы сокращенного умножения для высших степеней.
Применять полученные знания:
для практических расчетов по формулам, включая формулы, содержащие степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции;
используя при необходимости, справочные материалы, а также простейшие вычислительные устройства.
Комплексные числа
Уметь:
выполнять арифметические действия над комплексными числами;
изображать комплексные числа точками комплексной плоскости;
находить комплексные корни квадратных уравнений с действительными коэффициентами.
Применять полученные знания:
при решении задач из других разделов математики с использованием комплексных чисел.
Уравнения и неравенства
Уметь:
решать показательные, логарифмические, иррациональные уравнения и неравенства, тригонометрические уравнения;
использовать графики при решении уравнений и неравенств;
решать рациональные и сводящиеся к ним неравенства методом интервалов;
решать системы уравнений с двумя переменными;
изображать на координатной плоскости множества решений простейших уравнений, неравенств с двумя переменными и их систем;
составлять и решать уравнения, связывающие неизвестные величины в текстовых задачах;
исследовать уравнения и неравенства в зависимости от входящих параметров, используя аналитический и графический методы;
применять алгебраические методы и свойства функций для решения уравнений и неравенств и для доказательства неравенств.
Применять полученные знания:
для построения и исследования математических моделей практических задач и задач из смежных дисциплин, используя уравнения и неравенства;
при исследовании и решении задач с параметрами.
Функции и графики
Уметь:
определять значение функции по значению аргумента, находить область определения функции (при различных способах задания функции), с учетом реальных ограничений на переменные;
строить графики изученных функций и выполнять преобразование графиков на координатной плоскости, описывать свойства изученных функций;
проводить исследование функций (без производной);
использовать свойства функций и графические представления для решения задач.
Применять полученные знания:
для описания с помощью функций различных процессов, представления их графически, интерпретации графиков и выводов о характере протекания описываемых процессов;
для решения уравнений, простейших систем уравнений, неравенств с применением свойств функций и графических представлений.
Начала математического анализа
Уметь:
работать с последовательностями, выясняя их монотонность, ограниченность;
использовать алгоритм Евклида для чисел и многочленов;
находить производные изученных функций и их комбинаций;
исследовать функции и их комбинации с помощью производной, строить их графики;
решать задачи на наибольшее и наименьшее значения с использованием аппарата математического анализа;
вычислять первообразные основных элементарных функций и их комбинаций;
вычислять площади криволинейных трапеций.
Применять полученные знания:
для решения геометрических, физических и других прикладных задач на наибольшие и наименьшие значения;
для исследования вопросов о количестве корней уравнения, для доказательства неравенств, для получения приближенных формул и оценок;
для исследования функций на монотонность и экстремумы, для нахождения наибольших и наименьших значений функций и для построения их графиков.
Элементы логики
Уметь:
проводить логические операции с несложными высказываниями;
сравнивать множества истинности высказываний, устанавливая равносильность высказываний или логическое следование одного высказывания из другого;
формулировать высказывания, обратные и противоположные данным;
различать необходимость и достаточность того или иного условия;
применять метод математической индукции для доказательства математических утверждений.
Применять полученные знания:
при установлении логических связей между различными реальными процессами и явлениями;
для отличия аргументированных от неаргументированных суждений;
для выводов и заключений, обоснования, опровержения, иллюстрации утверждений примером, поиска контрпримеров при ведении дискуссии, при создании и анализе устных и письменных текстов.
Элементы статистики и теории вероятностей
Уметь:
решать комбинаторные задачи изученных типов;
вычислять вероятности события, пользуясь комбинаторными приемами, простейшими свойствами вероятности, схемой повторных испытаний;
использовать статистические инструменты для анализа данных;
находить числовые характеристики рядов данных измерений.
Применять полученные знания:
при анализе информации статистического характера.
Геометрия
Уметь:
распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, чертежами, изображениями; описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении, используя определения, свойства и признаки;
выполнять чертеж, соответствующий данной задаче;
изображать основные многогранники (параллелепипед, призма, пирамида) и круглые тела (цилиндр, конус), выполнять чертежи по условиям задач;
строить сечения многогранников и тел вращения;
применять векторный и координатный методы для решения геометрических задач.
Применять полученные знания:
для решения планиметрических и стереометрических задач на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов) с необходимыми теоретическими обоснованиями, опирающимися на изученные свойства пространственных фигур и планиметрические сведения;
для вычисления объемов и площадей поверхностей пространственных фигур при решении практических задач, используя при необходимости, справочники и вычислительные устройства;
для решения планиметрических и стереометрических задач на доказательство.
Публикация статьи произведена при поддержке компании «Анатомия Сна». Перейдя по ссылке http://www.anatomiyasna.ru/products_filter.php?sort=products_name&f1=detskie, Вы в считанные минуты можете выбрать и купить отличный матрас для своего ребенка. «Анатомия Сна» - является одним из крупнейших компаний, занимающихся продажей детских матрасов в Челябинске, а также кроватей и другой мебели для спальни. Порадуйте себя и своих близких отличными матрасами от «Анатомии Сна»!
.