Ю. Култыгина,
школа № 5, г. Улан-Удэ

Задача на перемене

В параллелограмме ABCD (рис. 1) биссектрисы AN и DN пересекаются на стороне BC.

Доказать, что точка пересечения биссектрис делит эту сторону пополам.

Дано: ABCD — параллелограмм; AN и DN — биссектрисы.

Доказать: BN=NC.

Доказательство. Так как РNAD=РNAB (AN — биссектриса), то РBNA=РNAD (как накрест лежащие углы при BCЅЅAD и AN — секущей).

Рассмотрим D ABN. Так как РBAN=РBNAЮD ABN — равнобедренный Ю AB=BN.

РADN=РDNC (как накрест лежащие углы при BCЅЅAD и DN — секущей).

Рассмотрим D DNC. Так как

РCND=РCDNЮD DNC — равнобедренный Ю CN=CD.

По свойству параллелограмма AB=CD Ю BN=AB = CD=NC Ю BN=NC, что и требовалось доказать.