Простые задачи

10-11 классы

I. Несложная задача

В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45°. Найдите плоский угол при вершине.

Пусть боковое ребро равно a. Оно наклонено к основанию под углом 45°, поэтому проекция этого ребра равна половине диагонали основания, то есть Вторая половина диагонали образует с ней прямой угол и дает прямоугольный равнобедренный треугольник, гипотенуза которого равна a, следовательно, боковая грань – равносторонний треугольник с углом при вершине 60°.

Скажут, разве это трудная задача? Нет, она простая, но я требовал решать ее устно, без использования чертежа. Более того, задавал вопрос: «Как можно решить ее иначе и быстрее?» Я имел ввиду применение теоремы трех косинусов.

Теорема. Если некоторая прямая образует с прямой на плоскости угол a, с проекцией на эту плоскость b,
а проекция с прямой на плоскости угол g, то

cos a = cos b cos g.

Применительно к данной задаче это выглядит так.

Обозначим через a угол между боковым ребром и ребром основания, между боковым ребром и проекцией – через b (b = 45°), между проекцией и ребром основания – через g (g = 45°). Тогда по теореме трех косинусов имеем следовательно, a = 60°.

Так как боковая грань – равнобедренный треугольник, то в данном случае он и равносторонний. Плоский угол при вершине равен 60°.

Иначе задачу можно сформулировать так: плоский угол при вершине равен 60°. Найдите угол наклона бокового ребра к основанию.

Решив много простых задач (тем более устно) – сможешь решать и более сложные. Не так ли?

II. Не очень сложная задача

В правильной четырехугольной пирамиде площадь боковой поверхности в n раз больше площади основания. Определите угол наклона бокового ребра к основанию.

Решение. Обозначим угол KCO через – b, линейный угол двугранного угла CD – угол KMO – через a.

Учащиеся знают, что если некая фигура образует с плоскостью угол a, а проекция этой фигуры на плоскость имеет площадь S_о, то площадь фигуры Следствием из этой теоремы является зависимость между площадями основания правильной пирамиды и боковой поверхности. В рассматриваемом случае имеем

Так как площадь боковой поверхности в n раз больше площади основания, то имеем откуда

Решение задачи сводится к определению угла b, если известен угол a.

Углы a и b принадлежат двум прямоугольным треугольникам, «связанным» общим катетом KO. Вторые катеты OC и OM легко вычисляются один через другой (гипотенуза и катет прямоугольного равнобедренного треугольника). Поэтому используем функцию тангенс. Имеем

Используем следующую «изюминку»: умножим эту дробь на дробь имеем Перепишем иначе это выражение: имеем где

Задача свелась к определению tg a, если известен его косинус. Как же это сделать?

Учащиеся знают формулу

Но ученик может «случайно» забыть формулу или ошибиться в преобразованиях. Я же в свое время заставлял учеников ни в коем случае не решать по формулам, а находить значение любой тригонометрической функции через известную формулу только устно.

Представим в уме прямоугольный треугольник. Обозначим один из острых углов через a, гипотенузу – через n, прилежащий к углу a катет положим равным 1. Второй катет по теореме Пифагора равен тогда