Алгебра и начала анализа

О. Павлова,
гимназия № 5, г. Мурманск

Учебная программа

10-11 классы

Учебная программа предназначена для учащихся 10-х и 11-х профильных физико-математических классов. Основной учебник: Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа, 10–11. — М.: Мнемозина. В 10-м классе на изучение отводится 153 часа, в 11-м классе — 170 часов.

Программа позволяет учащимся на базе знания основных способов решения уравнений, неравенств и систем глубже познакомиться с нестандартными приемами решения сложных задач; развивает умение находить среди множества способов более рациональный; значительно сократить разрыв между требованиями, которые предъявляют вузы к абитуриентам; а также — успешное решение ЕГЭ.

10 класс

I полугодие — 5 часов, II полугодие — 4 часа в неделю

1. Тригонометрические функции (28 ч, расширенный курс 38 ч)

Длина дуги окружности, числовая окружность. Числовая окружность на координатной плоскости. Синус и косинус. Тангенс и котангенс. Тригонометрические функции числового аргумента. Тригонометрические функции углового аргумента. Формулы приведения. Функции y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x, их свойства и графики. Периодичность функций. Построение графиков функций y = mf(x), y = f(kx), если известен график функции y = f(x). График гармонического колебания.

Расширение курса (10 ч). Преобразование графиков функций; построение графиков сложных функций.

2. Тригонометрические уравнения (10 ч, расширенный курс 22 ч)

Первые представления о решении простейших тригонометрических уравнений. Решение уравнений cos x=a, sin x=a, tg x=a, ctg x=a. Арккосинус, арксинус, арктангенс, арккотангенс. Решение тригонометрических уравнений.

Расширение курса (12 ч). Преобразование выражений с arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x; построение графиков; использование свойств функций при решении уравнений; решение тригонометрических уравнений с модулем, параметром, методом оценки.

3. Преобразование тригонометрических выражений (16 ч, расширенный курс 30 ч)

Синус и косинус суммы. Синус и косинус разности. Тангенс суммы и разности. Формулы двойного аргумента; формулы понижения степени. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение; преобразование произведений тригонометрических функций в сумму. Приведение выражения Asin x + Bcos x к виду Csin (x + t).

Расширение курса (14 ч). Преобразование тригонометрических выражений; решение тригонометрических уравнений путем различных преобразований; решение тригонометрических неравенств (линейных и квадратных).

4. Производная (36 ч, расширенный курс 45 ч)

Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Предел функции. Определение производной. Вычисление производных. Уравнение касательной к графику функции. Применение производной для исследования функции. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции.

Расширение курса (9 ч). Нахождение угла между касательными; нахождение площадей фигур, образованных касательными; нахождение точек, в которых касательная параллельна (перпендикулярна) прямой; нахождение уравнения общей касательной к графикам функций; кратчайшее расстояние между графиком функции и прямой; исследование функций с параметрами на монотонность.

Изучение дополнительных тем

1. Решение уравнений высших степеней (6 ч).

2. Метод математической индукции (3 ч).

Повторение (9 ч)

(170 часов, 5 часов в неделю)

1. Первообразная и интеграл (9 ч, расширенный курс 23 ч)

Первообразная и неопределенный интеграл. Определенный интеграл: 1) задачи, приводящие к понятию определенного интеграла; 2) определенный интеграл, его вычисление и свойства; 3) вычисление площадей плоских фигур.

Расширение курса (14 ч). Решение дифференциальных уравнений вида y' = f(x); вычисление интегралов, используя его геометрический смысл, методом замены; вычисление площадей плоских фигур.

2. Степени и корни. Степенные функции (20 ч, расширенный курс 35 ч)

Понятие корня n-й степени из действительного числа. Функции их свойства и графики. Свойства корня n-й степени. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Обобщение понятия о показателе степени. Степенные функции, их свойства и графики (включая дифференцирование и интегрирование степенной функции с рациональным показателем).

Расширение курса (15 ч). Преобразование выражений, содержащих корни n-й степени; решение иррациональных уравнений и неравенств с модулем, параметром; нестандартные способы решения иррациональных уравнений и неравенств.

3. Показательная и логарифмическая функция (29 ч, расширенный курс 49 ч)

Показательная функция, ее свойства и график. Показательные уравнения, неравенства. Понятие логарифма. Функции y = log_a x, ее свойства и графики. Свойства логарифмов, логарифмические уравнения, неравенства. Переход к новому основанию логарифма. Дифференцирование показательной и логарифмической функций.

Расширение курса (20 ч). Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств с модулем, параметром; решение логарифмических неравенств с переменной в основании; решение уравнений методом оценивания левой и правой частей уравнения; решение уравнений и систем уравнений графически.

4. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств (20 ч, расширенный курс 40 ч)

Равносильность уравнений. Общие методы решения уравнений. Решение неравенств с одной переменной. Системы уравнений. Уравнения и неравенства с параметрами.

Расширение курса (20 ч). Обобщенный метод интервалов для решения неравенств; решение уравнений, систем уравнений, неравенств смешанных видов; метод Гаусса; системы уравнений с модулем; решение уравнений и неравенств, имеющих нестандартную формулировку задания.

Изучение дополнительных тем.

Решение текстовых задач (13 ч)

Повторение (10 ч)

Система упражнений при изучении темы «Интеграл»

Математический диктант I

Вариант 1

Найдите первообразную для функции (1–6).

Вариант 2

Найдите первообразную для функции (1–6).

Математический диктант II

Вариант 1

1. Найдите первообразную для функции:

2. Найдите первообразную F, принимающую заданное значение в указанной точке:

3. Найдите неопределенный интеграл:

Вариант 2

1. Найдите первообразную для функции:

2. Найдите первообразную F, принимающую заданное значение в указанной точке:

3. Найдите неопределенный интеграл:

Математический диктант III

Вариант 1

Найдите неопределенный интеграл (1–5).

Вариант 2

Найдите неопределенный интеграл (1–5).

Математический диктант IV

Вариант 1

Вычислите (1–9).

Вариант 2

Вычислите (1–9).

Математический диктант V

Вариант 1

1. Найдите неопределенный интеграл:

2. Вычислите:

Вариант 2

1. Найдите неопределенный интеграл:

2. Вычислите:

Самостоятельная работа

Вариант 1

1. Вычислите используя его геометрический смысл.

2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

Вариант 2

1. Вычислите используя его геометрический смысл.

2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

Проверочная работа

Вариант 1

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

2. Вычислите используя его геометрический смысл.

Вариант 2

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

2. Вычислите используя его геометрический смысл.

Дополнительное задание (для всех вариантов). Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями

Контрольная работа

Вариант 1

1. Вычислите:

2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

3. Дана функция Известно, что график некоторой ее первообразной проходит через точку A(0; –1). Чему равно значение этой первообразной в точке

4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции и касательными к этому графику в точках с абсциссами x₀ = –2, x₀ = 2.

Вариант 2

1. Вычислите:

2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

  а) y = 2 – x2, y = 0, x = –1, x = 0;

3. Дана функция . Известно, что график некоторой ее первообразной проходит через точку Чему равно значение этой первообразной в точке

4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 3 + x³ и касательными к этому графику в точках с абсциссами x₀=1, x₀=–1 и прямой x=0.