Алгебра: Сборник заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации в 9 классе

Экзамен по алгебре — итог работы и ученика, и учителя на протяжении пяти лет обучения в школе, и подготовка к нему является важной составляющей учебного процесса. Чтобы познакомить учителя с экзаменом по алгебре в новой форме, с новыми экзаменационными материалами, авторы-разработчики подготовили пособие «Алгебра: Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе», которое было издано в издательстве «Просвещение» в 2006 г. В начале 2009 г. выйдет его переработанная версия, которая включает экзаменационные материалы 2006–2008 годов. Как и в первом издании сборника, учитель найдет здесь тренировочные варианты первой части экзаменационной работы и задания для второй части. Помимо этого переработанный вариант содержит методические рекомендации по подготовке к выполнению экзаменационной работы, разработанные на основе анализа результатов выполнения заданий по разным регионам страны, а также материалы по вероятностно-статистической линии курса математики основной школы, которые предполагается включить в экзаменационные материалы в ближайшие годы. С этими новыми разделами сборника мы и хотим познакомить читателей газеты.

Предисловие

Пособие предназначено для подготовки к государственной итоговой аттестации по алгебре в 9-м классе в новой форме (ГИА 9). Это переработанное и дополненное издание, в котором учтен опыт проведения экзамена, начавшегося в 2004 г. с эксперимента в девяти субъектах РФ и получившего к настоящему времени достаточно широкое распространение.

Основное назначение новой системы итоговой аттестации — введение открытой, объективной, независимой процедуры оценивания учебных достижений учащихся. Экзаменационные работы, используемые в ГИА, рассчитаны на выпускников 9-х классов общеобразовательных учреждений (школ, гимназий, лицеев), включая классы с углубленным изучением математики. Результаты экзамена могут учитываться при формировании профильных 10-х классов.

Структура и содержание экзаменационной работы отвечают цели построения системы дифференцированного обучения в современной школе, которая включает две задачи. Одна из них — это формирование у всех учащихся базовой математической подготовки, составляющей функциональную основу общего образования. Другая — создание для части школьников условий, способствующих получению повышенного уровня подготовки, достаточной для активного использования математики в дальнейшем обучении, прежде всего при изучении ее в старших классах на профильном уровне. В соответствии с этим экзаменационная работа состоит из двух частей. Первая часть направлена на проверку базовой подготовки выпускников, вторая — на дифференцированную проверку владения материалом на повышенных уровнях. Содержание и той и другой части находится в рамках содержания основного общего образования по математике, предусмотренного стандартом¹.

Первая часть работы содержит 16 заданий, среди которых задания с выбором ответа, с кратким ответом и задания на соотнесение. Задания располагаются группами в соответствии с разделами содержания, к которым они относятся. По сравнению с традиционной практикой в работе усилены понятийный и практический аспекты. Проверке подвергается не только усвоение основных алгоритмов и правил, но и понимание смысла важнейших понятий и их свойств, содержания применяемых приемов, а также умение применять знания в простейших практических ситуациях. При выполнении заданий первой части учащиеся должны продемонстрировать определенную системность знаний, умение пользоваться разными математическими языками, распознавать стандартные задачи в разнообразных формулировках.

Вторая часть содержит 5 заданий, предусматривающих развернутый ответ с записью хода решения. Все пять задач представляют разные разделы содержания. Задания расположены по нарастанию сложности — от относительно простой задачи до задач достаточно сложных, требующих свободного владения материалом и высокого уровня математического развития. Последние две задачи наиболее сложные, они рассчитаны на учащихся, изучавших математику более основательно, чем в рамках пятичасового курса. Задания второй части экзаменационной работы носят комплексный характер. Их выполнение требует уверенного владения формально-оперативным алгебраическим аппаратом, способности к интеграции знаний из различных тем курса, владения широким набором приемов и способов рассуждений. Кроме того, учащиеся должны продемонстрировать умение математически грамотно записать решение, приводя при этом необходимые пояснения.

Структура пособия продиктована структурой и особенностями экзамена. Сборник состоит из трех основных разделов и двух приложений.

Раздел I содержит образцы первой части работы (двенадцать наборов по два параллельных варианта). Во всех вариантах представлены следующие блоки содержания: числа (три задания), буквенные выражения (два задания), преобразования выражений (три задания), уравнения и текстовые задачи (три задания), неравенства (два задания), функции и графики (два задания), последовательности и прогрессии (одно задание). Во всех вариантах в одном и том же соотношении содержатся задания на проверку умения применять известные алгоритмы, решать несложные задачи, не сводящиеся к простому применению алгоритма, применять знания в простейших практических ситуациях, задания на проверку знания опорных фактов, понимания смысла фундаментальных понятий. В своей совокупности предложенные варианты позволяют получить достаточно полное представление о характере и уровне сложности первой части экзаменационной работы, потренироваться в ее выполнении. В конце раздела даны ответы ко всем заданиям.

Раздел II содержит задания для подготовки к выполнению второй части экзамена. Подобные задания используются в реальных экзаменационных работах. Задания этого раздела распределены по восьми содержательным блокам: 1) выражения и их преобразования;
2) уравнения; 3) системы уравнений; 4) неравенства; 5) функции; 6) координаты и графики;
7) арифметическая и геометрическая прогрессии; 8) текстовые задачи. В каждом блоке задания представлены на трех уровнях — в соответствии с тем, как они включаются в экзаменационную работу. Их относительная сложность условно обозначена числом баллов: 2 балла (первое задание во второй части работы), 4 балла (два следующих задания в работе) и наконец 6 баллов (два последних, наиболее сложных задания). Пять задач, включаемых в экзаменационную работу, выбираются по одной из разных блоков. В конце раздела ко всем заданиям даны ответы и указания.

Раздел III включает две полные тренировочные экзаменационные работы с инструкцией для учащихся и планами, конкретизирующими результаты обучения, подвергаемые проверке. Эти работы сопровождаются ответами, комментариями по выполнению отдельных заданий, образцами решения заданий с развернутым ответом.

П р и л о ж е н и е  1 содержит методические рекомендации по подготовке к экзамену по алгебре, проводимому в новой форме, с примерами возможных подходов к решению заданий первой и второй частей.

П р и л о ж е н и е  2 содержит примеры задач по вероятностно-статистической линии курса основной школы, которые характеризуют требования к усвоению соответствующего материала на выходе из 9-го класса. Все задания сопровождаются решениями и ответами. В настоящее время проверка усвоения этих вопросов в ходе государственной (итоговой) аттестации осуществляется в режиме эксперимента. В ближайшее время вероятностно-статистический материал будет включаться в общую экзаменационную работу.

Тренировочные варианты экзаменационной работы

Инструкция по выполнению работы 1. Работа состоит из двух частей. В первой части 16 заданий, во второй — 5 заданий. На выполнение всей работы отводится 4 ч. Время на выполнение первой части ограничено: на нее отводится 60 мин. 2. При выполнении заданий первой части нужно указывать только ответы. При этом: • если к заданию приводятся варианты ответов (четыре ответа, из которых верный только один), то надо обвести кружком букву, соответствующую верному ответу; • если ответы к заданию не приводятся, то полученный ответ надо вписать в отведенное для этого место; • если требуется соотнести некоторые объекты (например, графики, обозначенные цифрами 1), 2), 3), и формулы, обозначенные буквами а), б), в), г)), то впишите в приведенную таблицу под каждой цифрой соответствующую букву. 3. Если вы ошиблись в выборе ответа, то зачеркните отмеченную букву и обведите нужную. В случае записи неверного ответа зачеркните его и запишите новый. Ответ: 4. Все необходимые вычисления, преобразования и пр. выполняйте в черновике. Если задание содержит рисунок, то на нем можно проводить нужные линии, отмечать точки. 5. Задания второй части выполняются на отдельных листах с записью хода решения. Текст задания можно не переписывать, необходимо лишь указать его номер. Желаем успеха!

Работа № 1

Часть 1

1

  

Результаты районной контрольной работы по алгебре в 9-м классе представили в виде диаграммы. Сколько учащихся получили отметку «2», если всего работу писали 320 десятиклассников?

А. 5 учащихся.    Б. 16 учащихся.
В. 64 учащихся.  Г. 160 учащихся.

2

  

Найдите сумму, значение которой больше 1.

3

  

На координатной прямой точками изображены числа a и b. Из чисел 2a, 2b, a + b, b – a выберите наибольшее.

А. a + b.   Б. 2a.    В. 2b.    Г. b – a.

4

  

Найдите значение выражения при

Ответ: _____

5

  

Принтер печатает одну страницу за 6 с. Сколько страниц можно распечатать на этом принтере за t мин?

6

 

Упростите выражение

Ответ: _____

7

 

Найдите значение выражения (273^–4)².

8

  

Упростите выражение

Ответ: _____

9

  

Решите уравнение

Ответ: _____

10

  

Из прямоугольного листа картона, размеры которого 56 см и 32 см, надо сделать коробку без крышки. Для этого по углам листа вырезают одинаковые квадраты и загибают края вверх. Чему должна быть равна сторона вырезаемого квадрата, чтобы дно коробки имело площадь 640 см²?

Пусть сторона вырезаемого квадрата равна x см. Какое уравнение соответствует условию задачи?

А. (56 – x)(32 – x) = 640.
Б. (56 – 2x)(32 – 2x) = 640.
В. 56(32 – 2x) = 640.
Г. 56⋅32 – 4x² = 640.

11

  

Для каждой системы уравнений укажите число ее решений. (Для ответа используйте графики; график уравнения x²+ y² = 4 изображен на рисунке.)

а) нет решений;     б) одно решение;
в) два решения;     г) три решения.

Ответ:

1	2	3

 

12

 

Решите неравенство 9x – 3 > 10x – 2.

Ответ: _____

13

 

Сравните, если возможно, числа a и c при условии, что a > b и b ≤ c.

А. a > c.     Б. a < c.
В. a ≤ c.     Г. Сравнить невозможно.

14

 

Арифметическая прогрессия задана условиями a₁ = 4 и a_n + 1 = a_n + 4. Какое из данных чисел не является членом этой прогрессии?

А. 64.   Б. 44.   В. 34.   Г. 24.

15

  

На каком рисунке изображен график функции y = f(x), обладающей свойствами: f(0) = 2 и функция возрастает на промежутке (–∞; 1]?

16

 

График показывает, как менялась цена бензина в течение месяца. Определите, на сколько процентов выросла его цена за месяц.

А. На 100%.        Б. На 60%.
В. На 20%.          Г. На 2%.

Часть 2

17

 

(2) Сократите дробь

18

 

(4) Какое из чисел больше:

19

 

(4) Постройте график функции

На каком промежутке функция возрастает?

20

 

(6) При каких отрицательных значениях a система уравнений имеет два решения?

21

 

(6) Сумма первого и пятого членов геометрической прогрессии равна 51, а сумма второго и шестого членов равна 102. Сколько членов этой прогрессии, начиная с первого, нужно взять, чтобы их сумма была равна 3069?

Работа № 2

Часть 1

1

 

Какому из данных промежутков принадлежит число ?

А. [0,1; 0,2].    Б. [0,2; 0,3].
В. [0,3; 0,4].    Г. [0,4; 0,5].

2

 

На банке с краской имеется надпись m = 5 ± 0,05 кг, где m — масса краски. В каких границах заключено точное значение m?

А. 4,5 ≤ m ≤ 5,5.     Б. 4,95 ≤ m ≤ 5,05.
В. 5 ≤ m ≤ 5,05.      Г. 4,95 ≤ m ≤ 5.

3

 

В таблице приведена стоимость работ по установке натяжных потолков.

Вид потолка		Цена в руб. за 1 м2 (в зависимости от площади)
		до 10 м2	от 11 до 30 м2	от 31 до 60 м2	свыше 60 м2
Матовый	белый	1050	850	700	600
	цветной	1100	900	800	700
Глянцевый	белый	1200	1000	900	850
	цветной	1450	1100	950	900

Пользуясь данными, представленными в таблице, определите, какова будет стоимость работ, если площадь потолка 50 м², потолок матовый голубой и действует скидка в 10%.

А. 4000 р.   Б. 400 р.   В. 4050 р.   Г. 3600 р.

4

 

Зная длину своего шага, человек может приближенно подсчитать пройденное им расстояние s по формуле s = nl, где n — число шагов, l — длина шага. Какое расстояние прошел человек, если l = 60 см, n = 2500? Ответ выразите в километрах.

Ответ: _____

5

 

Соотнесите каждое выражение с множеством значений переменной, при которых оно имеет смысл.

а) a ≠ 1;                б) a ≠ 2;
в) a ≠1 и a ≠ 2;     г) а — любое число.

Ответ:

1	2	3

 

6

 

Представьте значение выражения (310^–3)²(210³) в виде десятичной дроби.

Ответ:_____

7

  

Выполните деление:

Ответ: _____

8

 

Найдите площадь прямоугольного треугольника, катеты которого равны

А. 44 см².    Б. 12 см².    В. 1 см².    Г. 22 см².

9

 

Решите уравнение

Ответ: _____

10

 

В какой координатной четверти находится точка пересечения прямых
x + 5y = –7 и 3x + 2y = 5?

А. В I четверти.
Б. Во II четверти.
В. В III четверти.
Г. В IV четверти.

11

 

От турбазы до автостанции турист доехал на велосипеде за 2 ч. Чтобы пройти это расстояние пешком, ему понадобилось бы 6 ч. Известно, что идет он со скоростью на 4 км/ч меньшей, чем едет на велосипеде. С какой скоростью идет турист? Выберите уравнение, соответствующее условию задачи, если буквой х обозначена скорость (в км/ч),  с которой идет турист.

А. 6x = 2(x – 4).     Б. 6x = 2(x + 4).
В. 2x = 6(x – 4).     Г.

12

 

Решите систему неравенств

А. x > –0,5.        Б. x > 2.
В. –2 < x < 2.     Г. Система не имеет решений.

13

 

Укажите неравенство, решением которого является любое число.

А. x² + 9 ≤ 0.    Б. x² – 9 ≤ 0.
В. x²+ 9 ≥ 0.     Г. x² – 9 ≥ 0.

14

 

Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии: Найдите член прогрессии, обозначенный буквой х.

Ответ: _____

15

 

На каком рисунке изображен график функции

А. Б.

В. Г.

 

16

 

На графиках показано, как во время телевизионных дебатов между кандидатами А и Б телезрители голосовали за каждого из них. По горизонтальной оси откладывается время, прошедшее с начала голосования, а по вертикальной — число голосов, поданных за кандидата к данной минуте. За кого из кандидатов было подано больше голосов в период с 45-й до 60-й минуты дебатов, и на сколько больше?

Ответ: _____

Часть 2

17

 

(2) Разложите на множители многочлен a³ – ab – a²b + a².

18

 

(4) Известно, что парабола проходит через точку и ее вершина находится в начале координат. Запишите уравнение параболы и определите, в каких точках она пересекает прямую y = 9.

19

 

(4) В прошлом году на два самых популярных факультета университета было подано 1100 заявлений. В этом году число заявлений на первый из этих факультетов уменьшилось на 20%, а на другой увеличилось на 30%; общее число заявлений стало равным 1130. Сколько заявлений подано на каждый из этих факультетов в этом году?

20

 

(6) Решите уравнение (x² – 7x + 13)² – (x – 3)(x – 4) = 1.

21

 

(6) Найдите все значения а, при которых неравенство х² + (2а + 4)х + 8а + 1 ≤ 0 не имеет решений.

Ответы, комментарии, решения

Работа № 1

Ч-1

1. Б.  2. Б. Ответ легко получить прикидкой, не выполняя вычислений. В самом деле, в случае А каждое слагаемое меньше , значит, сумма меньше 1. В случае Б каждое слагаемое больше , значит, сумма больше 1. Случаи В и Г уже можно не рассматривать. Но если рассмотреть их для самоконтроля, то и в случае В, и в случае Г каждое из трех слагаемых меньше , а значит, сумма меньше 1.  3. Г. Числа 2a и a + b — отрицательные, остается сравнить числа 2b и b – a, то есть суммы положительных чисел b + b и b + (–a). Так как на координатной прямой точка aрасположена дальше от 0, чем точка b, то | a | > | b |. Значит, сумма b + (–a) больше. Полезно проверить себя, взяв конкретные числа, например, a= –5, b = 2. Можно при решении поступить иначе: в бланке с заданиями отметить на координатной прямой примерное положение требуемых чисел; такой рисунок также даст нужный ответ.  
4. 2.  5. Б.  6.  7. А. 8.  9. 5,4.10. Б.11. 1→в, 2→б, 3→а. 12. x < –1.  13. Г. Сначала отметим на координатной прямой точки a и b (неравенство a > b означает, что точка a находится правее точки b). А как расположена по отношению к точке a точка c? Неравенство b ≤ c говорит лишь о том, что возможны разные варианты: точка c совпадает с точкой b; точка c расположена между b и a; точка c расположена правее a. Поэтому верным является ответ Г.  14. В. 15. А.  16. В. В начале месяца цена составляла 10 р., а в конце — 12 р., то есть за месяц цена выросла на 2 р. Найдем, какую часть составляют 2 р. от первоначальной цены — то и выразим ее в процентах — это 20%.

Ч-2

17. 

Найдем корни квадратного трехчлена

Заметим, что область определения сокращаемой дроби указывать не требуется.

18.

Найдем квадраты чисел

Так как то

Учитывая, что — положительные числа, получаем неравенство

19. График изображен на рисунке; функция возрастает на промежутке [4; +∞).

20. При Другая возможная форма ответа: при

Подставим y = 1 – 2x в уравнение x² + y² = a², получим уравнение (относительно x)

5x² – 4x + (1 – a²) = 0.

Найдем значения a, при которых это уравнение имеет два корня:

D₁ = 4 – 5(1 – a²) = 5a² – 1, 5a² – 1 > 0,

Таким образом, система имеет два решения при и при Учитывая условие a < 0, получаем

21. 10.

Составим по условию систему уравнений

то есть

Разделим второе уравнение почленно на первое (b ₁ ≠ 0), получим уравнение

Отсюда q = 2. Подставив q = 2 в первое уравнение системы, найдем, что b₁ = 3. С помощью формулы суммы первых n членов геометрической прогрессии составим равенство из которого следует, что

3(2ⁿ – 1) = 3069, 2ⁿ – 1 = 1023,

2ⁿ = 1024, 2ⁿ = 2¹⁰, n = 10.

 

Работа № 2

Ч-1

1. Б. Для ответа на вопрос достаточно найти один знак после запятой в десятичном представлении числа Получим Уже понятно, что верным является ответ Б.  2. Б.  3. Г. Сначала по таблице определяем нужную стоимость 1 м² потолка — это 800 р. Тогда стоимость 50 м²составляет 80050 = 40 000 р. С учетом скидки получаем: 40 0000,9 = 36 000  р.  4. 1,5 км.  5. 1 → г, 2 → в, 3 → б.  6. 0,018.  7.  8. Г.  9. –6; 3.  10. Г. Предполагается, что ответ будет получен аналитическим способом, то есть решением системы  11. Б.  12. Б.  13. В. 14. Полезно рассмотреть два случая: 1) найти знаменатель прогрессии q и умножить на этот знаменатель второй член прогрессии 2) найти x как среднее геометрическое предыдущего и последующего членов (x > 0).  15. Б.  16. За кандидата А; на 5 тыс.

Ч-2

17. a(a + 1)(a – b).
a³ – ab – a²b + a² = (a³ – a²b) + (a² – ab) = a²(a – b) + a(a – b) = (a – b)(a² + a) = a(a + 1)(a – b).

Заметим, что слагаемые можно сгруппировать иначе:

a³ – ab – a²b + a² = (a³ + a²) – (a²b + ab) = и т.д.

Можно также сначала вынести за скобки общий множитель a, а затем воспользоваться методом группировки.

18.  (6; 9) и (–6; 9) — точки пересечения параболы с прямой y = 9. Парабола задается уравнением вида y = ax². Подставив в это уравнение координаты точки B, найдем, что то есть уравнение параболы Решим уравнение получим: x₁ = 6, x₂ = –6. Значит, парабола пересекает прямую y = 9 в точках (6; 9) и (–6; 9).

19. На первый факультет подано 480 заявлений, на второй — 650.

Способ I. Пусть в прошлом году на первый факультет было подано x заявлений, а на второй — y заявлений; имеем уравнение x + y = 1100. В этом году на первый факультет подано 0,8x заявлений, а на второй — 1,3y заявлений; имеем уравнение 0,8x + 1,3y = 1130. Таким образом, получаем систему:

Умножим обе части второго уравнения на 10, получим

откуда x = 600, y = 500.

Далее, 0,8x = 480, 1,3y = 650.

Способ II. Обозначим через x и y число заявлений, поданных соответственно на первый и второй факультеты в этом году. Получим систему уравнений

Второе уравнение можно преобразовать, умножив обе его части на 13 и разделив на 1,25.

Получим: 131,25x + 10y = 131100, то есть 13x + 8y = 13880. Далее решим систему

20. 3; 4.

Представим уравнение в виде (x² – 7x + 13)² – (x² – 7x + 12) = 1.

Введем замену x² – 7x + 13 = y; получим уравнение y² – (y – 1) – 1 = 0,

то есть y² – y = 0. Его корни y₁ = 0, y₂ = 1.

Уравнение x² – 7x + 13 = 0 корней не имеет; уравнение x² – 7x + 13 = 1 имеет корни 3 и 4. Заметим, что возможны и другие замены, например, x² – 7x + 12 = y; тогда получается уравнение (y + 1)² – y – 1 = 0.

21. 1 < a < 3. Другая возможная форма ответа: a (1; 3).

График функции y = x² + (2a + 4)x + 8a + 1 — парабола, ветви которой направлены вверх. Значит, данное неравенство не имеет решений в том и только том случае, если эта парабола целиком расположена в верхней полуплоскости. Отсюда следует, что дискриминант квадратного трехчлена x² + (2a + 4)x + 8a + 1 должен быть отрицателен. Имеем:

D₁ = (a + 2)² – (8a + 1) = a² – 4a + 3 < 0; получаем 1 < a < 3.

 

---

¹ Федеральный компонент государственного стандарта общего образования. Математика. Основное общее образование (Приказ Минобразования России от 05.03.2004 № 1089 «Об утверждении федерального компонента государственных образовательных стандартов общего, основного общего и среднего (полного) общего образования»).

Бунимович Е., Колесникова Т., Кузнецова Л., Рослова Л., Суворова С.