О новой форме государственной итоговой аттестации по геометрии

В 2008 году в список предметов, по которым государственная итоговая аттестация по курсу основной школы проводится в новой форме, была включена и геометрия. Это первый опыт проведения экзамена в новой форме на уровне регионов, но не первый опыт разработки контрольно-измерительных материалов по геометрии, направленных на проверку предметной компетенции выпускников основной школы и призванных обеспечить высокую дифференцируемость оценивания. В 2006 г. широко обсуждались и вызвали одобрение открытые материалы для проведения ГИА по геометрии, разработанные Т.М. Мищенко и А.Д. Блинковым.¹ На основании имеющихся наработок, результатов их обсуждения в печати, а также с учетом опыта составления КИМ единого государственного экзамена по математике в Федеральном институте педагогических измерений разработаны новая структура и содержание экзаменационной работы по геометрии, которые и были положены в основу версии 2008 года.

По данным ФИПИ в проведении итоговой аттестации по геометрии в новой форме в 2008 г. приняли участие около половины всех субъектов Российской Федерации. Ниже для характеристики общих результатов экзамена по геометрии будут использованы данные, полученные в одном из субъектов РФ, где экзамен сдавало около 2400 человек, а аттестационные оценки выставлялись на основании рекомендаций федеральной предметной комиссии.

Особенности экзаменационной работы определялись целью проведения экзамена, а именно — оценить подготовку выпускников 9-х классов общеобразовательных учреждений по курсу геометрии с целью их итоговой аттестации. При этом использовался так называемый нормативный способ оценки итогов обучения, исходя из требований стандарта. Проверка достижения требований стандарта 2004 г. осуществлялась путем включения в содержание работы только тех вопросов, которые входят в обязательный минимум содержания основных образовательных программ (то есть материал предметных тем «Геометрические преобразования» и «Построения с помощью циркуля и линейки» на итоговую проверку не выносился). В меньшей степени осуществлялась прямая проверка овладения теоретической составляющей курса, что так свойственно традиционному экзамену по билетам, а основное внимание было уделено проверке овладения практическими умениями.

В экзаменационную работу было включено 15 заданий, на выполнение которых отводилось 2,5 часа (150 минут).

Число заданий в варианте КИМ по геометрии — спорный вопрос. Как правило, для решения одной задачи (поиска способа решения, выполнения чертежа, записи решения) требуется достаточно много времени, а потому на традиционном устном экзамене задач дается не более двух. Тем самым число элементов содержания, которые выносятся на проверку, реально ограничивается тремя, четырьмя. Возможно, что именно эти темы и не поняты учащимся. Можно предположить, что увеличение числа контролируемых элементов содержания позволит каждому найти в работе задание по той теме, которую он освоил лучше.

Традиционно в билеты включаются задачи повышенного уровня, а потому учащиеся, освоившие предмет лишь на базовом уровне, не могут выполнить практическое задание целиком. В требованиях к вариантам контрольно-измерительных материалов оговаривается обязательное наличие заданий, доступных различным по уровню подготовки группам учащихся. Еще и поэтому заданий в работе должно быть достаточно много. В случае сохранения модели итоговой аттестации по геометрии в 2009 году, число заданий в работе не изменится, а время на их выполнение целесообразно увеличить до 3 часов (180 минут).

Работа состоит из трех частей, различающихся по назначению, сложности и формам включенных в них заданий.

Специфика предмета «Геометрия» такова, что возможно проверить одно и то же предметное умение на материале разного содержания. Так, например, чтобы проверить умение «находить градусную меру углов, опираясь на изученные свойства фигур и отношений между ними», можно предложить учащимся следующие задачи:

1. Диагональ трапеции образует с меньшим основанием угол, равный 42°. Найдите величину угла, который эта диагональ образует с большим основанием.

2. Точки В, D и N лежат на окружности с центром О. Найдите ВОD, если ВND = 68°.

В первой задаче для решения используется свойство внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей, а во второй — свойство угла, вписанного в окружность.

В геометрии не представляется возможным однозначно определить и метод решения задачи. Например, при решении следующей задачи: «В ромбе АВСD из вершины тупого угла проведена высота ВТ, которая пересекает диагональ АС в точке K. Найдите сторону ромба, если известно, что BK = 5, а KT = 3», для нахождения соотношения длин отрезков АВ и АТ возможно сразу использовать свойство биссектрисы угла треугольника, а можно воспользоваться определением ромба и подобием треугольников АKТ и СKВ.

По этой причине распределение заданий в работе проводится не столько по содержанию и проверяемым умениям, сколько по уровню сложности и видам деятельности.

ПЕРВАЯ ЧАСТЬ работы содержит 8 заданий базового уровня. Назначение этой части — обеспечение проверки достижения выпускником уровня обязательной подготовки, наличие которой принято оценивать положительной оценкой «3».

В работу включены пять заданий с выбором ответа. Это простые задачи на распознавание знакомой ситуации и применение, как правило, одного элемента содержания (теоремы, формулы и др.) для их решения. Последние три — задания с кратким ответом в виде некоторого числа. Выполнив задание, в экзаменационной работе необходимо записать лишь искомое число (целое число или десятичная дробь). За верное выполнение каждого задания первой части дается по 1 баллу.

Результаты выполнения работы показывают, что подавляющее большинство учащихся справляется с подобными заданиями.

Пример 1. Используя данные, указанные на рисунке, найдите периметр треугольника АBC.

1) 60   2) 25   3) 40   4) 50

Верно выполнили более 75% учащихся.

Пример 2. Из точки C к окружности с центром О проведена касательная, B — точка касания.  Найдите радиус окружности, если OC = 30,

Верно выполнили около 90% учащихся.

В 2008 году первая часть была представлена лишь простыми заданиями. Но, как известно, не все задачи, входящие в обязательные результаты обучения, столь просты для решения. В будущем целесообразно в первую часть работы включить задачи обязательного минимума, но несколько более высокого (по сравнению с предыдущим годом) уровня сложности.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ содержит 5 заданий повышенного уровня. Цель их включения в работу — более тонкая дифференциация учащихся по уровню подготовки, что позволяет выставить более высокие аттестационные отметки («4» и «5»). Первые три — задания с кратким ответом, четвертое – задание на множественный выбор, последнее — задание с развернутым ответом. За верное выполнение каждого из первых трех заданий дается по 1 баллу. За выполнение последних двух заданий можно получить от 0 до 2 баллов.

Практически все задания различаются по форме.

Задание, в котором чертеж требуется выполнить самостоятельно. В решении первых двух задач, как правило, не более 2–3 шагов, что позволяет подготовленным учащимся решать их очень быстро.

Пример 3. Сторона ромба PKLM равна 10 см, L = 60°. Найдите скалярное произведение векторов   

Результаты выполнения по вариантам различались от 15 до 40%.

Пример 4. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее диагональ равна , а высота равна 4.

Эту задачу решили более 50% учащихся. Заметим, что процент выполнения похожей задачи, где по условию была известна не высота, а средняя линия трапеции, составил всего 15%.

Задача практического содержания. Для ее решения учащимся необходимо сопоставить известную математическую модель с реальной ситуацией, описанной в условии, и сделать выводы на основании ее использования.

Пример 5. Для измерения высоты дерева можно использовать способ, описанный в книге Я.И. Перельмана «Занимательная геометрия». Способ основан на равенстве угла падения и угла отражения света. Для этого на некотором расстоянии от измеряемого дерева, на ровной земле, в точке С кладут горизонтально зеркальце и отходят от него назад в такую точку D, стоя в которой наблюдатель видит в зеркале верхушку А  дерева.

Определите высоту (в метрах) дерева, изображенного на рисунке, если  рост человека составляет 1,6 м, а в результате измерений получено:  ВС = 7 м,  СD = 1,4 м.

Верно выполнили около 80% учащихся.

Задача на множественный выбор. При решении этой задачи необходимо установить, какими свойствами обладает указанная геометрическая фигура. При этом некоторые из перечисленных утверждений дословно повторяют изученные свойства фигуры, а для определения истинности остальных необходимо дополнительно провести вычисления или доказательные рассуждения. Решение этой задачи оценивается 2 баллами, если указаны все 3 верных ответа и при этом не указаны неверные ответы; 1 баллом — если правильно указаны не менее 2 верных ответов и при этом указано не более одного неверного ответа;
0 баллов — во всех остальных случаях.

Пример 6. Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны.

1. Каждый из углов правильного девятиугольника — тупой.

2. Каждый из углов правильного девятиугольника — острый.

3. Центр правильного девятиугольника — точка пересечения его диагоналей.

4. Радиус окружности, вписанной в правильный девятиугольник, меньше радиуса окружности, описанной около этого правильного девятиугольника.

5. Радиус окружности, описанной около правильного девятиугольника, больше его стороны.

Задача для учащихся оказалась сложной. В тех вариантах, где в условии речь шла о правильном шестиугольнике или квадрате, процент выполнения несколько выше, чем в случае приведенного примера. Однако максимальное число баллов за решение этой задачи (независимо от условия) набрали не более 1,5% учащихся, один балл получили, в зависимости от варианта, от 45 до 70% учащихся.

Задача на доказательство. Назначение последней задачи второй части — проверка умения решать задачи на доказательство. В задании необходимо доказать два утверждения, доказательство каждого из которых сводится к обоснованному перечислению условий, позволяющих сделать требуемый вывод на основании использования определений, признаков, свойств фигур и их элементов. При этом требуется знание о свойствах различных геометрических конфигураций и применение в сочетании различных методов решения. Доказательство каждого из утверждений оценивается в 1 балл. Возможно, при решении выбранным способом доказанное первое утверждение облегчает доказательство второго. Но обязательной жесткой зависимости (кроме контекстной) между доказываемыми утверждениями нет.

Пример 7. Биссектриса угла А параллелограмма АВСD пересекает сторону ВС в точке М, а биссектриса угла С пересекает сторону AD в точке K.  Докажите, что треугольник АВМ — равнобедренный, а треугольники АВМ и CDK равны.

Верно выполнили около 35% учащихся.

Таким образом, лучше всего учащиеся справились с задачей практического содержания, что, несомненно, объясняется ее простотой. Если результаты выполнения заданий 9, 10 и 13 соответствуют прогнозируемым, то результаты выполнения задания на множественный выбор, в котором даже учащиеся, успешно решающие задания высокого уровня сложности, не смогли получить высший балл, ставят перед учителем проблему обобщения материала по теме не только на уровне теории, но и на уровне решения задач.

В ТРЕТЬЮ ЧАСТЬ работы включены две самые сложные задачи, при решении которых требуется проанализировать условие, самостоятельно разработать способ решения, привести обоснования, доказательства выполненных действий и математически грамотно записать полученное решение. Анализ содержания подобных заданий показывает, что они, как правило, носят комплексный характер, допускают несколько способов решения, различающихся использованием различных методов, и, соответственно, различной системой ссылок (аргументацией).

Для каждого из заданий третьей части, включенных в вариант экзаменационной работы по геометрии, разработана своя шкала выставления баллов за его выполнение. Выполнение этих заданий оценивается экспертами на основе специально разработанной инструкции.

Первая задача по уровню примерно соответствует средним по сложности задачам в классах, где математика является профилирующим предметом. Хотя для решения подобных задач вполне достаточно одного-двух хорошо известных из школы методов, но применять их приходится уже в ситуации, которая дословно, может быть, и не встречалась в школьных учебниках. Уровень трудности этих задач соответствует тем требованиям, которые предъявляются к задачам по планиметрии в КИМ единого государственного экзамена по математике. При оценке выполнения задания учитывается только правильность хода решения и полученного ответа и не предъявляется требования к его обоснованию.

Пример 8. Найдите площадь остроугольного треугольника АВС, если известно, что BAC = 60°, AB = 4, а  медиана

Верно выполнили не более 10% учащихся.

Последнее задание работы рассчитано на учеников, предполагающих углубленное изучение математики, в частности, геометрии. Эти задачи ориентированы на проверку их творческих возможностей. Они аналогичны заданиям традиционных экзаменационных работ по курсу планиметрии для классов с углубленным изучением математики. Как правило, новая для учащегося ситуация разрешается здесь с помощью самостоятельной разработки алгоритма решения, требующего дополнительного построения, а также использования нескольких закономерностей и свойств из различных разделов курса геометрии.

К решению этого задания предъявляются достаточно строгие требования. Самым высоким баллом (3 балла) оценивается полное и правильное решение, в котором есть ссылки на теоретические факты, необходимые для обоснования ключевых моментов решения. Обоснованию подлежат также способы нахождения элементов геометрических фигур, указанных в условии задачи. Решение ученика может содержать обоснования и других утверждений. При этом в нем не должно быть неверных утверждений.

Решение оценивается в 2 балла, если при правильном ходе решения ученик явно описал (или обозначил на чертеже), но, возможно, не обосновал взаимное расположение и свойства геометрических фигур, играющих важную роль в решении задачи. Допускается, что ученик не обосновал ни одного ключевого момента.

За выполнение задания начисляется 1 балл при частичном конструировании способа решения и демонстрации учащимся достаточно заметных продвижений по ходу решения, выполнении хотя бы половины его шагов.

Пример 9. В треугольнике АВС проведены высоты АN и ВМ и отмечена точка K — середина стороны АВ. Найдите АВ, если известно, что ACB = 105°, а площадь треугольника МNK равна 4.

В зависимости от варианта число верно выполнивших задание колеблется от 0 до 5%. Набрали баллы (1 или 2) за выполнение задания еще около 5% учащихся.

Особенно отметим, что в критериях оценки заданий с развернутым ответом не предъявляются требования к оформлению заданий. Действительно, не оговаривается порядок записи решения: возможно отсутствие записи условия и заключения. Качество приводимых учащимися в решении чертежей не влияет на выставляемый балл: возможно выполнение чертежа ручкой и от руки, хотя карандашом, линейкой, угольником и транспортиром пользоваться на экзамене разрешается.

Обобщив сказанное, представим структуру экзаменационной работы в таблице 1.

Баллы, выставленные за выполнение всех заданий работы, переводятся в отметки по пятибалльной шкале. Соотношения между первичными баллами и отметками, рекомендованные в 2008 году федеральной предметной комиссией, приведены в таблице 2.

Таблица 1

Структура КИМ-2008

Параметры	Часть 1	Часть 2	Часть 3	В целом
Общее число заданий	8	5	2	15
Тип заданий и форма ответа	№ 1–5 — с выбором ответа; № 6–8 — с кратким ответом	№ 9–12 — с кратким ответом; № 13 — с развернутым ответом	№ 14–15 — с развернутым ответом	с выбором ответа — 5; с кратким ответом — 7; с развернутым ответом — 3
Уровень сложности	Базовый	Повышенный	Высокий	—
Баллы	8	7	5	20

Таблица 2

Соотношение первичных баллов и школьных отметок

Отметка	2	3	4	5
Первичный балл	0–5	6–8	9–14	15–20

По итогам экзамена в выбранном для анализа регионе 6,5% учащихся получили отметку «2», 15,7% — отметку «3», 71,3% учащихся были оценены отметкой «4» и 6,5% экзаменуемых получили отметку «5». Средний балл составил 10,7, это 53,5% от максимального балла. Максимальное число баллов (20) не набрал ни один ученик.

Конечно, доля учащихся, получивших в ходе итоговой аттестации отметку «4», велика. Это может быть объяснено как чрезмерной простотой заданий базового уровня, включенных в работу 2008 года, так и высокой степенью осознанности выпускниками выбора экзамена по геометрии. Как правило, его выбирают учащиеся, проявляющие интерес к этой области знаний или имеющие хороший уровень подготовки по предмету. Следовательно, получение ими отметок «4» и «5» закономерно.

Безусловно, по рассмотренным результатам не представляется возможным делать общие выводы о качестве подготовки по геометрии всех учащихся основной школы. Но педагогу в определении нижней границы требований к учащимся, имеющим удовлетворительную подготовку по предмету, и минимального уровня требований к учащимся с отличными знаниями такая информация будет полезна.

---

¹ Блинков А.Д., Мищенко Т.М. Геометрия: сб. заданий для проведения экзамена в 9 кл. — М.: Просвещение, 2006. — 94 с.

Безрукова Г., Мельникова Н.