Еще раз о «золотом сечении»

В прямоугольном треугольнике основание высоты H, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу c (см. рис.), делит последнюю на отрезки a' и b', составляющие с высотой непрерывную пропорцию:

Если положить b' = a' + H (именно так на рис.), то есть придать большему крайнему члену пропорции свойство аддитивности, то пропорция приобретет вид:

Смысл этот пропорции заключается в том, что меньшая часть некоторой совокупности так относится к большей, как большая — ко всей совокупности, и это отношение равняется Как известно, такая непрерывная пропорция, найденная еще в древности, носит название пропорции «золотого деления» или «золотого сечения».

Покажем, что в прямоугольном треугольнике, отрезки гипотенузы и опущенная на нее высота которого соотносятся между собой в соответствии с пропорцией a' : H = H : (a' + H), та же пропорция «золотого сечения» соблюдается и применительно к катетам треугольника, то есть

Действительно, из подобия некоторых прямоугольных треугольников (см. рис.) следует:

Подставив эти значения a' и H в пропорцию получим:

Условимся называть в дальнейшем изложении прямоугольный треугольник, в котором соблюдается пропорция a' : H = H : (a' + H) или, что то же самое, a : b = b : (a + b), прямоугольным треугольником «золотого сечения».

Вообще же прямоугольные треугольники обладают той интересной особенностью, что формулы для определения их парных планиметрических и тригонометрических характеристик (катеты a и b, отрезки гипотенузы a' и b', площади S₁ и S₂, тригонометрические функции углов a и b), выраженные через их гипотенузы c и опущенные на них высоты H, имеют для каждой пары упомянутых характеристик совершенно одинаковый вид, отличающийся только знаками внутри выражений. Например, длина каждого из катетов любого прямоугольного треугольника определяется квадратным корнем в котором знак «+» относится к большему катету, а знак «–»?— к меньшему. В случае прямоугольного треугольника «золотого сечения» названные формулы существенно упрощаются, при этом расстановка знаков «+» и «–» в них сохраняется:

Заметим, что

α ≈31°43'04'', β ≈ 58°16'56''.

Для сравнения: в «египетском треугольнике»

α ≈ 36°52'12'',  β ≈ 53°07'48''.

Кроме того, в прямоугольном треугольнике «золотого сечения» имеют место следующие любопытные соотношения между S₁ и S₂:

Наконец, диаметр вписанной в прямоугольный треугольник «золотого сечения» окружности равен:

Построить прямоугольный треугольник «золотого сечения» с помощью циркуля и линейки не составляет особого труда. Читателям предоставляется сделать это самостоятельно.

Трапеция «золотого сечения»

Как известно, около трапеции можно описать окружность только в том случае, если она равнобочная. Для равнобочной трапеции теорема Птолемея о выпуклом четырехугольнике, вписанном в круг, запишется в следующем виде:

L² = l² + ab,

где a, b — соответственно верхнее и нижнее основания трапеции; l — ее боковая сторона; L — диагональ трапеции.

Известно также, что в четырехугольник можно вписать окружность лишь тогда, когда суммы его противоположных сторон одинаковы; для равнобочной трапеции условие вписывания в нее окружности при тех же обозначениях выглядит следующим образом:

2l = a + b.

Таким образом, вокруг равнобочной трапеции можно описать одну окружность и в нее же можно вписать другую, если для этой трапеции одновременно выдерживаются два условия:

L² = l² + ab,
2l = a + b.

Если принять, что нижнее основание трапеции равно диаметру описанной вокруг нее окружности (см. рис.), то есть b = 2R, то условие одновременного описывания и вписывания значительно упрощается. Действительно, из рисунка следует, что L² = b² – l². Поэтому на основании первого условия имеем:

а из второго условия —

Из этих двух выражений выводится квадратное уравнение, связывающее величины a и b:

a² + 4ab – b² = 0.

Положительный корень этого уравнения равен Но, как было принято, b = 2R, поэтому

Выразим длины боковой стороны l, диагонали L, высоты h и радиуса вписанной окружности r трапеции через радиус описанного круга R:

Некоторые линейные элементы данной равнобочной трапеции находятся в характерных отношениях между собой. Отметим наиболее интересные из них, предоставив читателю выполнить промежуточные выкладки самостоятельно.

1.Основания высот h, опущенных из вершин тупых углов трапеции на ее нижнее основание b, делят его в пропорции «золотого сечения»:

2.В этом же отношении находятся длины нижнего основания b и боковой стороны l трапеции:

3.Секанс угла наклона боковой стороны l к нижнему основанию b трапеции a также равен этому отношению:

4.Соотношения между длинами частей нижнего основания b трапеции, на которые оно делится основанием высоты h, и длиной самой h выражаются квадратным корнем из r:

5.В таком же отношении находятся длины нижнего основания b трапеции и ее диагонали L:

6.Это же отношение имеет место между длинами диагонали L и боковой стороны l трапеции:

7.На основании двух последних выражений можно получить еще одно замечательное отношение. Если на сторонах прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна b, а катеты — L и l, построить квадраты, то площади этих квадратов, равные соответственно b², L² и l²,
соотносятся между собой согласно пропорции «золотого сечения»:

Приведенные здесь отношения позволяют назвать рассмотренную равнобочную трапецию трапецией «золотого сечения».

Задача. Пользуясь только циркулем и линейкой без делений, вписать в данную полуокружность прямоугольный «золотой треугольник».

Решение. Поясним, что прямоугольный «золотой треугольник» — это прямоугольный треугольник, катеты a, b (b > a) которого связаны между собой соотношением «золотого сечения»:

Этим же соотношением в прямоугольном «золотом треугольнике» связаны и проекции катетов на гипотенузу a' и b' с высотой h, опущенной из вершины прямого угла треугольника:

Пусть радиус данной полуокружности равен 1,
а ее диаметр AB служит большим из катетов построенного здесь же прямоугольного треугольника ABC с соотношением длин катетов 2 : 1 (см. рис.). Гипотенуза AC этого треугольника пересекает дугу полуокружности в точке D. Из точки M,
взятой от центра O на расстоянии, равном длине отрезка CD, восставим перпендикуляр до пересечения с дугой полуокружности в точке N. Соединив точку N с точками A и B, получим вписанный в данную полуокружность единичного радиуса прямоугольный «золотой треугольник», у которого

Сарбаш Р.