Гиперболические логарифмы

Феликс Клейн в своем знаменитом произведении «Элементарная математика с точки зрения высшей» подробно обосновал целесообразность «гиперболического» (то есть через площади гиперболических трапеций) введения логарифмов в школе. Сторонником «гиперболического» метода введения логарифмов был и А.Н. Колмогоров. И Ф. Клейн и А.Н. Колмогоров увязывали введение логарифмов с введением интеграла, то есть вначале вводили общее понятие интеграла, а потом — логарифмы как интеграл от В настоящей статье предлагается апробированная (в СУНЦ МГУ им. М.В. Ломоносова) методика введения гиперболических логарифмов, не увязанная с понятием интеграла.
В основе предполагаемого подхода лежит понятие гиперболического поворота.
И все свойства логарифмов выводятся из элементарных свойств площади. Гиперболическое введение логарифмов можно осуществить в самом начале курса математического анализа общеобразовательной школы, что важно для смежных дисциплин (например, информатики), использующих логарифмы, и оно является хорошей пропедевтикой для последующего введения интеграла, если таковое планируется.

Основное свойство логарифма

Фигуру, ограниченную сверху графиком гиперболы снизу — отрезком [a; b] оси абсцисс (0 < a < b), а с боков вертикальными прямыми, проходящими через концы этого отрезка, мы будем называть гиперболической трапецией с основанием [a; b].

Для числа x > 1 его натуральным логарифмом называется площадь гиперболической трапеции с основанием [1; x], и обозначается ln x (рис. 1).

Рис. 1

Теорема о логарифме произведения. При любых x > 1 и y > 1 выполнено равенство

ln xy = ln x + ln y.

Доказательство этой теоремы основано на лемме о сохранении площади гиперболическим поворотом плоскости.

Гиперболическим поворотом называется преобразование плоскости, переводящее точку с координатами (x; y) в точку с координатами где k — некоторая положительная константа, называемая коэффициентом поворота.

Лемма о гиперболическом повороте. Гиперболический поворот сохраняет площади фигур.

Очевидно, что прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат, переводится гиперболическим поворотом в прямоугольник той же площади, потому что одна из его сторон растягивается в k раз, а другая — уменьшается в k раз, в результате чего их произведение остается неизменным. Поэтому и всякая фигура, составленная из таких прямоугольников, также сохраняет площадь. Отсюда можно получить, что и любая фигура не меняет площади. Однако для того, чтобы привести строгое доказательство леммы необходимо ввести строгое понятие площади фигуры. Мы ограничим рассмотрение случаем криволинейной трапеции. Мы будем исходить из того, что всякая фигура имеет площадь, которая удовлетворяет аксиомам неотрицательности, монотонности и аддитивности. И нам известно, как находить площадь прямоугольника.

Площадь гиперболической трапеции

Рассмотрим гиперболу которая является неотрицательной монотонно убывающей функцией, определенной на отрезке [a; b] (0 < a < b). Гиперболической трапецией с основанием [a; b] будет являться фигура Возрастающая последовательность x₀, x₁, x₂, ..., x_n точек отрезка [a; b], начинающаяся с x₀ = a и кончающаяся x_n = b, называется разбиением отрезка [a; b].

Поскольку наша функция является монотонно убывающей для любого отрезка [c; d], лежащего в [a; b], прямоугольник высоты с основанием [c; d] содержит трапецию T([c; d]), а прямоугольник высоты с тем же основанием полностью содержится в ней. Первый прямоугольник называется описанным, а второй — вписанным в эту трапецию.

Объединение вписанных прямоугольников с основаниями [x_i; x_i + 1], соответствующими некоторому разбиению отрезка, называется вписанным мультипрямоугольником, соответствующим разбиению
Аналогично определяется описанный мультипрямоугольник.

Площади вписанного и описанного мультипрямоугольников выражаются формулами

Лемма об аппроксимации. Пусть гиперболическая трапеция, ограничена снизу отрезком [a; b], а сверху — графиком функции Тогда для любого положительного e найдется такое натуральное число N, что площадь вписанного s_N и описанного S_N в нее мультипрямоугольников, соответствующих равномерному разбиению отрезка [a; b] на N равных частей, отличаются друг от друга меньше чем на e.

Доказательство. Площади описанного и вписанного мультипрямоугольников в случае равномерного разбиения отрезка выражаются формулами

Тогда их разность S_N – s_N выражается формулой

Откуда при получаем, что эта разность меньше e. Что и требовалось доказать.

Площадь гиперболической трапеции, очевидно, заключена между площадью любого вписанного и любого описанного мультипрямоугольников.

Доказательство леммы о гиперболическом повороте. Пусть гиперболическая трапеция площади S перешла в результате применения гиперболического поворота в трапецию площади S'. Если мы предположим, что S ≠ S', то положительным будет число ε = | S – S' |. Пусть N такое натуральное число, что площади вписанного s_N и описанного S_N около первой трапеции мультипрямоугольников, соответствующих равномерному разбиению на N частей, отличаются меньше чем на e. Тогда образы этих мультипрямоугольников при гиперболическом повороте являются соответственно вписанным и описанным мультипрямоугольниками для второй трапеции и имеют при этом те же площади s_N и S_N, поскольку гиперболический поворот сохраняет площади мультипрямоугольников. Поэтому справедливы одновременно следующие неравенства s_N ≤S ≤S_N и s_N ≤ S≤S_N. Откуда следует, что | S – S' | ≤S_N – s_N < ε вопреки выбору ε. Полученное противоречие завершает доказательство.

Доказательство теоремы о логарифме произведения. Гиперболический поворот с коэффициентом x переводит гиперболическую трапецию с основанием [1; y], T([1; y], в гиперболическую трапецию с основанием [x; xy], T([x; xy]). Но если первая трапеция имеет площадь ln y, то вторая ln xy – ln x (как разность площадей трапеций T [1; xy] и T[1; x]).
А раз гиперболический поворот сохраняет площади, то отсюда вытекает равенство ln xy – ln x = ln y, равносильное основному свойству логарифма.

Логарифмы чисел, меньших единицы

Продолжим определение натурального логарифма на весь интервал (0; +¥). Для 0 < x < 1 его натуральный логарифм определяется из соотношения

Натуральный логарифм единицы считается нулевым.

Полная теорема о логарифме произведения. При любых x > 0 и y > 0 выполнено равенство

ln xy = ln x + ln y.

Доказательство. При x > 1, y > 1 доказательство приведено выше. Рассмотрим другие случаи.

Пусть x < 1 и y < 1. Тогда xy также меньше единицы и

ибо больше единицы и для них основное свойство уже доказано. Но правая часть последнего выражения как раз равна ln x + ln y.

Рассмотрим случай когда x > 1, а y < 1. Этот случай распадается на два подслучая xy < 1 и xy > 1. Рассмотрим первый подслучай.

Приведенная выкладка использует основное свойство для чисел больше единицы, и из нее вытекает это свойство для рассмотренного случая. Во втором подслучае (x > 1, y < 1, xy > 1) достаточно сделать замену которая приводит в ситуацию первого подслучая (x' > 1, y' < 1, x'y'< 1), для которого уже все доказано (аналогично доказательствам в паре случаев (x > 1, y > 1) и (x < 1, y < 1)). Таким образом, рассмотрены все случаи, и утверждение теоремы полностью доказано.

Основание натурального логарифма

Основанием логарифма называется число, которое необходимо возвести в степень значения логарифма, чтобы получить число, от которого берется логарифм. То есть

Это означает, что для того, чтобы определить основание натурального логарифма, нужно найти число, натуральный логарифм которого равен 1. Это число называется e. Попробуем его найти.

Отметим, что из «гиперболического» определения следует, что натуральный логарифм строго возрастающая функция. Для x > 0 оценим значение ln (1 + x), исходя из рисунка 2. Стороны вписанного прямоугольника равны x и а стороны описанного прямоугольника равны x и 1. Откуда:

Рис. 2

После замены переменной получаем следующее свойство для натуральных n:

Рассмотрим правое неравенство

:

Аналогичным образом рассмотрим левое неравенство:

Таким образом мы получили двойную оценку:

которая верна для любого натурального n. Таким образом, из нашего определения мы пришли к определению числа e — основанию натурального логарифма.

Расходимость гармонического ряда

Из последнего неравенства (при n = 1) следует, что e < 4. Поэтому ln 4 > 1 и ln 4ⁿ = nln 4 > n, то есть логарифм — неограниченно возрастающая функция (так как для любого натурального n существует значение логарифма, большее этого n).

Гармоническим рядом называется бесконечная сумма:

Нетрудно увидеть из рисунка 3, что каждый из системы закрашенных прямоугольников имеет площадь, равную соответственно члену гармонического ряда.

Рис. 3

Поскольку эта система является одним из описанных мультипрямоугольников для гиперболической трапеции, соответствующей ln n, то получаем следующую оценку гармонического ряда:

Поскольку ln n неограниченно возрастает, то гармонический ряд расходится.

Гиперболический поворот и касательные к гиперболе

Касательную к кривой мы, следуя древним грекам, определяем как прямую, пересекающую эту кривую в одной единственной точке (точке касания) и не являющуюся секущей, то есть такую, что вся кривая расположена от нее по одну сторону. Это геометрическое определение касательной вполне удовлетворительно для всех выпуклых кривых, к которым относятся все кривые второго порядка (конические сечения), изученные древними греками.

Теорема. При преобразовании плоскости с помощью гиперболического поворота прямые переходят в прямые, а гиперболы вида переходят сами в себя и касательные к гиперболам переходят в касательные.

Доказательство. Рассмотрим какую-либо прямую на плоскости xOy. Она будем иметь уравнение

ax + by + c = 0.

Применим к ней гиперболический поворот с коэффициентом h > 0. Все точки с координатами (x; y) перейдут в точки с координатами и уравнение прямой перейдет в уравнение

которое тоже является уравнением некоторой прямой на плоскости, отличной от первой при h ≠ 1.

Рассмотрим гиперболу на плоскости xOy — график функции. Применим к ней гиперболический поворот с коэффициентом h > 0. Все точки с координатами (x; y) перейдут в точки с координатами и функция гиперболы перейдет в функцию:

которая является той же самой функцией той же гиперболы. Если же прямая пересекает рассматриваемую гиперболу в одной точке, то и образ этой прямой делает то же самое.
И если прямая не является секущей для гиперболы, то таковым, очевидно, будет и ее образ. Поэтому гиперболический поворот переводит касательные к гиперболе в касательные.

Приближенное вычисление значений логарифма

График введенного таким образом логарифма построить не так легко (и это самостоятельная содержательная задача), зато этот подход позволяет производить приближенные вычисления значений натурального логарифма, что с успехом используется в задачах на семинарах по теме «Логарифм».

Задача 1. Доказать неравенства

Решение. Для решения этой задачи будем действовать из данного определения натурального логарифма и оценим площадь соответствующей гиперболической трапеции согласно рисункам 4 и 5.

Рис. 4

Из рисунка 4 видно, что ln 2 строго больше суммы площадей двух закрашенных прямоугольников со сторонами: больший — (значение гиперболы в точке 1,5), меньший — (значение гиперболы в точке 2), то есть

Рис.5

Из рисунка 5 следует, что ln 2 строго меньше суммы площадей двух закрашенных прямоугольников со сторонами: больший — 0,5 и 1, меньший — то есть

Таким образом, задача решена.

Задача 2. Найти целую часть ln 36.

Решение. Из доказанной теореме о логарифме произведения следует, что

ln 36 = ln 6² = 2ln 6 = 2(ln 2 + ln 3).

Воспользуемся оценками для ln 2 из задачи 1, то есть

Аналогично решению задачи 1 оценим ln 3 исходя из рисунков 6 и 7:

Рис. 6

Рис. 7

По определению, ln 3 есть площадь соответствующей гиперболической трапеции, которую, исходя из рисунка 6 можно оценить снизу суммой площадей четырех прямоугольников: стороны первого прямоугольника равны (значение гиперболы в точке 2), стороны второго прямоугольника равны (значение гиперболы в точке 3), стороны третьего прямоугольника равны (разность значений гиперболы в точках 1,5 и 2) и стороны четвертого прямоугольника равны (разность значений гиперболы в точках 2,5 и 3). Таким образом, получаем:

Рис. 8

Из рисунка 7 следует, что ln 3 строго меньше суммы площадей двух трапеций с высотами, равными 1 и основаниями: у первой — 1 (значение гиперболы в точке 1) и (значение гиперболы в точке 2), у второй — (значение гиперболы в точке 2) и (значение гиперболы в точке 3), то есть

Следовательно

Откуда имеем 3 < ln 36 < 4, то есть целая часть числа ln 36 равна 3.

Проиллюстрируем применение касательной в подобных задачах.

Задача 3. Доказать неравенство ln 3 > 1.

Решение. Рассмотрим гиперболическую трапецию, соответствующую ln 3. Проведем касательную в точке 2. Нетрудно получить формулу этой касательной:

Откуда видно (рисунок 8), что закрашенная трапеция будет вписанной в гиперболическую трапецию для ln 3, основания трапеции равны и соответственно, и высота равна 2. Поэтому

Задача решена.

Отметим, что из результата задачи следует более тонкая оценка числа e:

1 < ln 3 ln e < ln 3 e < 3.

Задачи для самостоятельного решения

1. Докажите неравенство ln 10 > 2.

2. Найдите целую часть числа ln 25.

3. Найдите целую часть числа ln 81.

4. Найдите целую часть числа ln 100.

5. Найдите целую часть числа ln 225.

6. Найдите целую часть числа ln 1000.

7. Докажите, что
Указание. По определению, число ln 2 есть площадь гиперболической трапеции. Рассмотрим следующую убывающую последовательность прямоугольников, исчерпывающую эту площадь (рис. 9).

Рис. 9

Заметим, что площади прямоугольников в точности равны членам последовательности в левой части равенства.

Николаев Ю., Щепин Е.