Алгебра: Сборник заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации в 9 классе

Некоторые особенности первой части экзамена и рекомендации по подготовке к ее выполнению

Часть 1 экзаменационной работы направлена на проверку достижения уровня базовой алгебраической подготовки, то есть на проверку усвоения элементов содержания, составляющих основу курса алгебры, без знания которых невозможно изучение математики и смежных предметов на старшей ступени школы. Базовая подготовка предполагает знание и понимание основных алгебраических определений, терминов и символов, фактов, формул, владение на элементарном уровне важнейшими алгоритмами, умение переходить с одного математического языка на другой и, что особенно важно, умение применять свои знания к решению несложных задач как математического, так и практического характера. Эта часть экзамена играет свою специфическую роль в оценке уровня подготовки школьников: нельзя получить за экзамен положительную оценку, не выполнив некоторое, вполне определенное и заранее известное количество заданий из первой части работы за отведенное на эту часть работы время.

Первая часть экзамена представлена в форме теста, содержащего 16 заданий. Задания расположены группами, относящимися к одному и тому же содержательному блоку курса: «Числа», «Буквенные выражения», «Преобразования алгебраических выражений», «Уравнения», «Неравенства», «Последовательности и прогрессии», «Функции и графики». В сборнике помещены 12 таких тестов, причем каждый дан в двух вариантах. Они позволяют получить достаточно полное представление о характере и уровне сложности этой части работы, потренироваться в ее выполнении.

Принципиальной особенностью первой части экзаменационной работы является то, что для каждого из 16 заданий нужно указать только ответ, выбрав его из четырех предложенных или вписав в отведенное для этого место. Однако хотя в экзаменационные бланки заносятся только ответы, включенные в работу задания необходимо выполнять в основном письменно, используя для этого черновик. Решение должно быть записано аккуратно и с достаточной степенью подробности. Это важно не потому, что черновик тоже сдается (он просматриваться не будет), а для того, чтобы ученик не допускал досадных ошибок технического характера.

Например, если требуется преобразовать разность то целесообразно, чтобы ученик последовательно выполнил на черновике такие действия:

Или если требуется найти значение выражения , то это выражение нужно преобразовать, опираясь на известные факты. Например, можно воспользоваться определением степени с целым показателем:

Можно использовать еще и свойства степени:

Можно также воспользоваться формулой

где n — натуральное число:

В любом случае это задание следует выполнять письменно, последовательно и осознанно, соотнося свои действия с известными теоретическими фактами. В противном случае возникают ошибки типа

Большая часть заданий в первой части экзаменационной работы — это задания с выбором ответа, где из четырех предложенных ответов только один верный. Но наличие ответов вовсе не означает, что верный ответ нужно угадывать, подбирать и т.д. Очень часто требуется непосредственное решение, выполняемое к тому же письменно, как уже говорилось выше.

Приведем некоторые примеры. Пусть в задании предлагается установить, на каком из приведенных рисунков (рис. 1) показано множество решений системы неравенств

Рис. 1

Чтобы ответить на этот вопрос, указанную систему нужно решить, изобразить множество ее решений на координатной прямой, а затем соотнести свой рисунок с приведенными в задании.

Часто в экзамен включается текстовая задача и предлагается из четырех указанных уравнений выбрать то, которое соответствует ее условию. В этом случае вряд ли есть смысл устно анализировать уравнения и искать среди них нужное. Проще самостоятельно составить уравнение и соотнести его с предложенными. При этом, однако, верное уравнение может быть записано не в том виде, к которому пришел ученик, и важно уметь распознать равносильные уравнения, например такие, как:

Естественно, распознавать верные ответы, представленные в разном виде, нужно уметь не только при решении текстовых задач, но и в других ситуациях.

Еще один пример. Формулой n-го члена задана последовательность, и спрашивается, какое из следующих чисел не является ее членом:

Хотя здесь можно было бы немного порассуждать и получить ответ на вопрос задачи устно, все же проще, наверное, непосредственно вычислять один за другим члены последовательности, — долго работать не придется. Получим:

Мы видим, что первые три указанных числа являются членами последовательности, а это означает, что верный ответ дан под номером 4. Можно «для убедительности» найти еще и с₆:

то есть число действительно не является членом последовательности.

В то же время тактика выполнения заданий с выбором ответов может быть разной. Бывает так, что целесообразно «идти от ответа». Пусть, например, требуется разложить на множители квадратный трехчлен 3х² + 9х – 30, и даны такие варианты ответа:

1) 3(х + 2)(х – 5);
2) 3(х – 2)(х – 5);
3) 3(х – 2)(х + 5);
4) 3(х + 2)(х + 5).

Конечно, можно решить эту задачу «в лоб», воспользовавшись соответствующей формулой. Однако кто-то, возможно, посчитает, что в техническом отношении проще не раскладывать на множители трехчлен, а перемножать двучлены, особенно если сразу увидеть, что ответы 2) и 4) отпадают, так как в этих случаях не получается свободный член, равный –30. Тогда нужно всего лишь выбрать верный ответ из двух оставшихся.

Но бывают и такие задания, когда нет другого пути, кроме как просматривать предложенные ответы — этого требует формулировка задания. Пусть, например, о числах a и b известно, что a — четное число, а b — нечетное число. Спрашивается, какое из следующих чисел при этом условии является нечетным: 1) ab; 2) 2(a + b); 3) a + b; 4) a + b + 1. Вспоминая свойства делимости, последовательно устанавливаем, что ab — число четное, произведение 2(a + b) — также четное, а сумма a + b, где одно слагаемое делится на 2, а другое — нет, является нечетным числом. Таким образом, выбираем ответ под номером 3.

Заметим, что такого рода задания, сюжет которых связан со свойствами чисел, допускают простое и эффективное решение – моделирование на числовом примере. (В данном случае можно взять, например, a = 6 и b = 7 и вычислить каждое из указанных выражений.)

Иногда анализ предложенных вариантов ответа помогает сразу увидеть верный, и этим есть смысл пользоваться.

Пусть, например, даны числа: 1) 60; 2) 64; 3) 66; 4) 68. Требуется выяснить, какое из этих чисел не является членом арифметической прогрессии 4; 8; 12; 16; ... Очевидно, что члены прогрессии — это последовательные натуральные числа, кратные 4. Из предложенных для выбора чисел только одно не делится на 4 — это число 66. Понятно, что именно оно и не является членом прогрессии.

Конечно, ответ на поставленный вопрос можно получить, решая эту задачу формально. А именно, можно задать прогрессию формулой n-го члена a_n = 4n и последовательно решать уравнения 4n = 60, 4n = 64 и т.д., отыскивая то, которое не имеет натурального корня. Но очевидно, что первый способ предпочтительнее: он более осмысленный, да и время экономит, но им могут воспользоваться те учащиеся, которые умеют думать, подмечать закономерности.

Вообще, некоторые виды заданий рассчитаны на то, что ученик найдет короткий способ решения, опираясь на известные факты. Вот пример такого задания. На рисунке 2 изображена парабола, и предлагается указать формулу, которой она задается. Варианты ответа: 1) у = х² – 2; 2) у = –х² + 2; 3) у = х² + 4; 4) у = –х² + 4. Здесь, конечно же, не предполагается, что ученик будет строить графики перечисленных функций, пока не наткнется на нужный (хотя и такой длинный и неэффективный путь возможен). Достаточно увидеть, что все эти формулы имеют вид y = ax² + b, вспомнить зависимость направления ветвей параболы от знака коэффициента a, а также то, что коэффициент b — это ордината пересечения параболы с осью у. Тогда станет очевидным, что верным является ответ под номером 4.

Рис. 2

Важнейшим условием успешности выполнения заданий является осмысленность, осознанность действий ученика и просто здравый смысл. В противном случае, даже имея необходимые знания, можно прийти к неверному ответу.

Показателен такой пример. В одной из экзаменационных работ в заданиях с выбором ответа была предложена задача:

Плата за коммунальные услуги составляет 800 р. Сколько придется платить за коммунальные услуги после их подорожания на 6%?

Некоторые ученики выбрали ответ 48 р., то есть сумму, которая составляет 6% от 800 р. Эта ошибка довольно типична: выполнив первое действие, учащиеся нередко забывают о втором. Однако тут налицо еще и отсутствие здравого смысла, элементарного самоконтроля, непонимание того, что полученный ответ необходимо соотнести с условиями задачи. Ведь ученики, допустившие эту ошибку, получили парадоксальный результат: после подорожания услуг сумма платежа стала меньше!

Вообще, привычка к самоконтролю, к самопроверке для учащихся не менее важна, чем знание правил и формул. Ведь человеку свойственно ошибаться. И всегда полезно проверить себя, используя тот или иной подходящий в данной ситуации прием.

Так, пусть требуется, используя готовый рисунок (рис. 3), решить систему уравнений

Рис. 3

Найдя на рисунке нужную точку и «прочитав» ее координаты, естественно проверить себя, подставив найденные числа в уравнения системы.

Часто ученик может проверить себя, выполнив для самоконтроля обратные преобразования. Если, например, нужно представить в стандартном виде число 0,000019, то, получив соответствующее произведение (а им должно быть 1,910^–5), полезно решить обратную задачу — представить его в виде десятичной дроби.

В заключение заметим, что полезно дать учащимся некоторые советы по использованию тренировочных тестов сборника в процессе самостоятельной подготовки к экзамену.

Прежде всего, выполняя тест, нужно сверять свои ответы с ответами в конце сборника. Если в каком-то задании ответ неверен и ошибку найти не удается или же путь решения вообще не ясен, то следует обратиться за консультацией к учителю. Возможно, придется повторить соответствующий раздел курса по учебнику.

Необязательно выполнять каждый тест от начала до конца. Просматривая какой-либо тест в целом, можно останавливаться лишь на тех заданиях, которые могут вызвать затруднение.

Наконец, полезно 2–3 раза поработать в ситуации, близкой к реальной: постараться выполнить тест целиком (пропуская, быть может, те задания, путь решения которых в принципе не ясен) и зафиксировать затраченное на работу время, а также количество верных ответов. Результат удовлетворительный, если потрачено не более 60 минут и верно выполнены 8 или 9 заданий. Если же за указанное время удалось выполнить верно 15 или 16 заданий, то имеются хорошие шансы получить на экзамене отметку «4» или «5».

Подготовка к выполнению заданий второй части экзаменационной работы

Эта часть работы направлена на проверку овладения выпускниками курсом алгебры основной школы на повышенном уровне. Набор заданий, представленный в сборнике, дает достаточное представление о возможном содержании и уровне сложности заданий второй части.

Важно подчеркнуть, что задачи этого раздела (так же как и задачи в экзаменационной работе) не выходят за рамки содержания математического образования, обозначенного стандартом. Преимущественно это задачи комплексного характера. Направлены они на проверку таких качеств математической подготовки выпускников, как способность к интеграции знаний из различных тем курса алгебры, уверенное владение формально-оперативным алгебраическим аппаратом, а также широким набором приемов и способов рассуждений, умение математически грамотно и ясно записать решение, приводя при этом необходимые пояснения и обоснования.

Проверка на повышенном уровне является разноуровневой, и одна из ее целей состоит в том, чтобы дифференцировать хорошо успевающих школьников по уровням подготовки, выявить наиболее подготовленную часть выпускников, в частности, составляющих потенциал профильных классов.

В соответствии с этим часть 2 работы фактически включает задания трех уровней сложности. Первое задание — наиболее простое. Как правило, это стандартное задание алгоритмического характера, направленное на проверку владения формально-оперативными или графическими умениями. В техническом отношении оно лишь немного опережает задания базового уровня. С ним могут справиться школьники, имеющие «четверку», а иногда и твердую «тройку». Второе и третье задания требуют более высокого уровня подготовки. Те, кто справляется с такими заданиями, могут рассчитывать на отличную оценку за экзамен. Последние два — это наиболее трудные задания. Они рассчитаны на учащихся, которые в той или иной форме получили усиленную подготовку по алгебре — изучали этот предмет в объеме пяти или шести уроков в неделю, занимались факультативно, посещали элективные курсы в рамках предпрофильной подготовки и др.

При подготовке учащихся к выполнению второй части экзаменационной работы необходимо постоянно помнить о ее дифференцированном характере. Подбирая задания для тренировки (например, в ходе итогового повторения), их следует соотносить с возможностями и потребностями каждого учащегося, а также с уровнем класса в целом. При этом не надо забывать, что хорошую отметку, и даже «пятерку», можно получить, не выполняя два последних задания работы. Важно, чтобы и учащиеся были об этом информированы.

Как уже говорилось, задания второй части экзаменационной работы выполняются с записью решения. Единственное общее требование к оформлению решений заключается в следующем: приведенные записи должны быть математически грамотными, из них должен быть ясен ход рассуждений учащегося. При этом не следует требовать от сдающего экзамен слишком подробных письменных комментариев. Во всяком случае, не надо требовать описания алгоритмов, например, построения графика, решения неравенства. Лаконичное решение (без пропуска важных шагов), не содержащее неверных утверждений, все выкладки которого правильны, должно рассматриваться как решение без недочетов.

Надо учитывать, что возможны разные формы ответа. Можно употреблять любую принятую запись, главное, чтобы она была грамотной. Так, при решении квадратного уравнения можно просто перечислить его корни: 2; –3; или записать: х₁ = 2, х₂ = –3. При решении неравенства ответ может быть дан как в виде промежутка (например, [–3;+∞)), так и в виде простейшего неравенства: х≥3. При записи области определения функции можно использовать теоретико-множественную символику, например, (–∞; 0) c (0; 1) c (1; +∞), или писать короче: x≠0 и x≠1.

Многие задачи, предлагаемые на экзамене и содержащиеся в разделе 2 сборника, допускают разные способы решения. Ученик вправе решать задачу любым из них. Соображения типа «можно решить более рационально, более красиво и пр.» при оценивании не играют роли. Однако в ходе подготовки целесообразно показывать учащимся такие решения, познакомить их с некоторыми общими приемами решения тех или иных видов задач, что будет служить пополнению их «математического багажа» и в конечном итоге их математическому развитию.

Приведем примеры решения некоторых задач из различных блоков раздела 2, дополнив их методическими комментариями.

Пример 1 (№ 1.47). Представьте выражение x(x + 1)(x + 2)(x + 3) – 15 в виде произведения двух многочленов.

Преобразование «в лоб» ни к чему не приведет. Поэтому воспользуемся следующим приемом: перемножим попарно крайние и средние множители — при этом полученные произведения будут содержать одинаковые члены:

x(x + 1)(x + 2)(x + 3) – 15 = (x² + 3x)(x² + 3x + 2) –15.

Введем новую переменную: t = x² + 3x. В результате получим квадратный трехчлен

t(t + 2) – 15,

для которого способ разложения на множители известен:

t(t + 2) – 15 = t² + 2t – 15 = (t – 3)(t + 5).

Вернувшись к переменной х, получим:

(x² + 3x – 3)(x² + 3x + 5).

Вот как может выглядеть рассмотренное решение в работе учащегося.

x(x + 1)(x + 2)(x + 3) – 15 =
= x(x + 3)(x + 1)(x + 2) – 15 =
= (x² + 3x)(x² + 3x + 2) – 15.

Введем замену x² + 3x = t:

(x² + 3x)(x² + 3x + 2) – 15 =
= t(t + 2) – 15 = t² + 2t – 15.

Найдем корни уравнения

t² + 2t – 15 = 0: t₁ = 5, t₂ = –3.
t² + 2t – 15 = (t – 3)(t + 5).

Так как t = x² + 3x, то

(t – 3)(t + 5) = (x² + 3x – 3)(x² + 3x + 5).
x(x + 1)(x + 2)(x + 3) – 15 =
= (x² + 3x – 3)(x² + 3x + 5).

Заметим, что прием введения новой переменной для приведения выражения к более простому виду используется довольно часто: при преобразовании выражений, решении уравнений, неравенств, систем. Так, при решении системы уравнений

замена позволяет «избавиться» от дробей (№ 2.24). При решении уравнения замена позволяет избавиться от корня и свести уравнение к квадратному (№ 2.27). При решении неравенства

(x² + 2x)² + 3(x + 1)² > 3

замена x² + 2x = t позволяет получить стандартное квадратное неравенство t² + 3(t + 1) > 3, алгоритм решения которого известен (№ 3.39). При упрощении выражения замена позволяет «разглядеть» в числителе разность кубов и сократить дробь.

Пример 2 (№ 1.53). Имеет ли произведение ab, где b = 5 – a, наибольшее значение, и если имеет, то при каких а и b оно достигается?

Подставив в произведение ab вместо b разность 5 – a, получим:

ab = a(5 – a) = 5a – a².

Теперь надо исследовать квадратный трехчлен 5a – a².

Воспользуемся свойствами квадратичной функции. Ее график — парабола. Коэффициент при а² отрицателен, поэтому ветви параболы направлены вниз, и функция имеет наибольшее значение.

Так как корни трехчлена — числа 0 и 5, то абсцисса вершины параболы равна 2,5. Таким образом, наибольшее значение трехчлен 5a – a², а значит, и произведение ab принимает при а = 2,5.
Найдем соответствующее значение b:

b = 5 – a = 2,5.

Ответ: имеет; при а = b = 2,5.

При ответе на вопрос задачи мы опирались на свойства квадратичной функции. Вообще, решение многих задач основано на применении функциональных свойств выражений. Так, для того чтобы доказать, что выражение

x⁴ + 3x² – x + 3

при любых х принимает положительные значения, надо показать, что квадратный трехчлен 3x² – x + 3 всегда положителен (№ 1.49).

Чтобы найти наибольшее значение выражения

нужно представить эту дробь в виде

и воспользоваться тем, что выражение вида а² принимает наименьшее значение при а = 0 (№ 1.51). Похожим образом обстоит дело с заданием, в котором нужно найти наименьшее значение суммы

Так как выражение вида принимает наименьшее значение при а = 0, то необходимо, чтобы одновременно равнялись нулю подкоренные выражения (№ 1.60).

2x – 2y + 10 и x + 3y – 3

Факт существования наименьшего значения у функции y = ax² + bx + c, где a > 0, используется и при доказательстве того, что уравнение (x² + 2x + 2)(x² – 4x + 5) = 1 не имеет корней. В самом деле, наименьшее значение каждого из этих двух квадратных трехчленов равно 1, но достигается оно при разных значениях х (№ 2.62).

Пример 3 (№ 7.51). Имеются два раствора одной и той же соли разной концентрации — 35% и 60%. В каком отношении надо взять первый и второй растворы, чтобы получить раствор, концентрация которого 40%?

Пусть х — масса первого раствора, у — масса второго раствора (выраженные в одних единицах). Тогда количество соли в первом растворе составляет 0,35х, а во втором — 0,6у. Масса нового раствора равна х + у, а количество соли в нем 0,4(х + у).
Получаем уравнение

0,35x + 0,6y = 0,4(x + y);
35x + 60y = 40x + 40y;
х = 4у;

Ответ: первый и второй растворы надо взять в отношении 4 : 1.

Решая задачу, мы получили одно уравнение с двумя переменными, но смогли ответить на вопрос, так как надо было найти не конкретные значения х и у, а их отношение. Вообще, при решении многих текстовых задач возникают аналогичные ситуации — уравнений получается меньше, чем переменных. Но в подобных задачах, как правило, вопрос ставится таким образом, что находить значения всех величин, обозначенных буквами, не требуется. Стандартная постановка вопроса в таких задачах обычно следующая: найти отношение величин, их сумму, натуральные решения и др.

Например, задача № 7.48 сводится к системе уравнений

где x, y, z, t — производительности бригад. Чтобы ответить на вопрос задачи, достаточно найти их общую производительность, то есть сумму x + y + z + t.

Задача № 7.35 на арифметическую и геометрическую прогрессии сводится к решению уравнения 2a₁ + 9d = 40 в натуральных числах. Выразив а₁ через d и выполнив перебор, получим два решения: a₁ = 11, d = 2 и a₁ = 2, d = 4.

Пример 4. Найдите все значения k, при которых прямая у = kx пересекает в трех различных точках ломаную, заданную условиями

Построим заданную ломаную и проведем «граничные» прямые, которые задаются уравнениями у = kx (рис. 4).

Рис. 4

Одна из этих прямых проходит через точку (2; 1), а вторая параллельна прямым у = 2х + 5 и у = 2х – 3. Уравнение первой прямой второй — у = 2х. Из рисунка видно, что все прямые, проходящие через начало координат и находящиеся «между» этими двумя прямыми, пересекают ломаную в трех точках.

Ответ:

В задачах, где уравнения, формулы содержат буквенные коэффициенты, часто можно использовать графические соображения, как это было сделано в рассмотренном примере. Например, в задаче № 3.43 требуется найти все значения а, при которых неравенство x² + (2a + 4)x + 8a + 1 ≤0 не имеет решений. График трехчлена в левой части неравенства — это парабола, ветви которой направлены вверх. Переформулировав поставленный вопрос, получаем, что нужно найти все значения а, при которых парабола расположена выше оси х. Теперь понятно, что нужно решить неравенство D < 0. Точно так же, опираясь на наглядные представления, можно рассуждать иначе: вершина параболы должна находиться в верхней полуплоскости, то есть задача сводится к решению неравенства у₀ > 0, где у₀ — ордината вершины параболы.

Вообще, многие задания допускают разные способы решения. Даже текстовые задачи, для которых основным способом решения является алгебраический, в ряде случаев могут быть решены арифметически.

Пример 5 (№ 7.36). Решим задачу:

Автобус отправился из пункта А в пункт В. Одновременно навстречу ему из В в А выехал велосипедист. Через 40 мин они встретились, и каждый продолжил движение в своем направлении. Автобус прибыл в пункт В через 10 мин после встречи. Через какое время после встречи прибыл в А велосипедист?

Будем рассуждать так. На путь после встречи автобус затратил в 4 раза меньше времени, чем на путь до встречи. Если точку встречи обозначить буквой С, то из сказанного следует, что АС в 4 раза больше, чем ВС. Значит, велосипедист после встречи проехал расстояние в 4 раза большее, чем до встречи, а значит, он затратил на него 404=160 мин.

Ответ: через 2 ч 40 мин.

Бунимович Е., Колесникова Т., Кузнецова Л., Рослова Л., Суворова С.