Преобразования пространства

Тема «Преобразования пространства» занимает важное место в изучении стереометрии 11-го класса и может изучаться на различных уровнях сложности. Это распространяется как на теоретический, так и на задачный материал. Она может быть изучена обзорно, с решением небольшого круга простейших задач, и напротив, может быть изучена достаточно подробно — с решением многих задач различной степени сложности. Учитель сам может выбрать подходящий его классу уровень изучения этой темы.

При углубленном и профильном изучении планиметрии учащиеся, достаточно хорошо овладев геометрическими преобразованиями плоскости, умеют применять их в качестве рабочего аппарата при решении планиметрических задач, поэтому они сравнительно легко смогут перейти к изучению геометрических преобразований пространства в 11-м классе.

Если же изучение планиметрии проходило на общеобразовательном уровне, то учителю в 11-м классе либо потребуется дополнительное время на изучение темы «Геометрические преобразования», либо эту тему придется изучать в уменьшенном объеме, как в части теоретического, так и в части задачного материала. Опыт показывает, что при изложении теоретического материала целесообразно использовать уроки-лекции, применяя метод укрупненных дидактических единиц.

Необходимо объяснить учащимся, что сущность понятия «геометрическое преобразование пространства» в геометрии, по сути, та же, что и сущность понятия «функция числового аргумента» в алгебре: геометрическое преобразование пространства можно рассматривать как своеобразную «геометрическую функцию», областью определения и множеством значений которой являются точечные множества — геометрические фигуры. При этом понятия «прообраз» и «образ» в теории геометрических преобразований являются аналогами понятий «значение аргумента» и «значение функции» в теории числовых функций.

Каждое преобразование пространства (кроме преобразования подобия) следует задавать «алгоритмически-конструктивно»— как отображение пространства на себя («конструировать»), после чего доказывать, что построенное отображение является взаимно-однозначным, то есть преобразованием пространства. Затем вводятся название, определение и символическое обозначение этого преобразования, изучаются его свойства. Существенным является свойство любого геометрического преобразования взаимно-однозначно отображать любую фигуру на ее образ, а пересечение любых двух фигур — на пересечение их образов при этом преобразовании. Этот факт является одним из опорных моментов при решении геометрических задач методом геометрических преобразований.

Важным является и методически верная подборка решаемых задач. Прежде всего учащиеся должны решить все простейшие, опорные задачи курса. Этими задачами ни в коем случае не следует пренебрегать, какими бы простыми они ни казались. Следует учесть, что методика их решения в классах с углубленным и профильным изучением математики, вообще говоря, отличается от методики решения в общеобразовательных классах и классах гуманитарной направленности.

От редакции

В первом полугодии 2008 года в нашей газеты был опубликован цикл статей автора под общим названием «Рекомендации по изучению стереометрии» (см. № 1–7). Методические рекомендации были составлены с опорой на учебно-методический комплект «Геометрия. 10–11 класс» авторов Е.В.Потоскуева и Л.И.Звавича. В них рассматривались вопросы, относящиеся в основном к курсу геометрии 10-го класса. Заканчивают этот цикл статьи, посвященные изложению некоторых вопросов курса геометрии 11-го класса: «Преобразование пространства», «Векторный метод решения стереометрических задач» и «Комбинации тел вращения». Задачи, аналогичные рассмотренным в этих статьях, можно найти в книге «Геометрия. 11 класс: Задачник для общеобразовательных учреждений с углуб. и профильным изучением математики» (авторы Е.В.Потоскуев, Л.И.Звавич, выпущена издательством «Дрофа» в 2003). О методических особенностях изучения темы «Многогранники» на страницах газеты неоднократно рассказывали В.А. Смирнов и И.М. Смирнова.

Отображения пространства.

Преобразования пространства.
Центральная симметрия

• Преобразованием пространства называется взаимно-однозначное отображение пространства на себя.

Из этого определения следует важный вывод: при любом преобразовании пространства образы любых двух различных точек пространства различны и любые две различные точки пространства являются образами двух его различных точек.

Нужно показать учащимся, что ни параллельное, ни центральное проектирования пространства на плоскость не являются преобразованиями пространства, так как при этом проектировании все точки проектирующей прямой отображаются на одну и ту же точку плоскости проекций — точку ее пересечения с проектирующей прямой.

Центральная симметрия в пространстве задается и определяется так же, как и на плоскости, в этой связи стоит начинать изучение преобразований пространства именно с центральной симметрии. После определения центрально-симметричных точек, вводится определение.

• Преобразование пространства, при котором каждая точка пространства отображается на точку, симметричную ей относительно точки O, называется центральной симметрией пространства относительно точки O. При этом точка O отображается на себя и называется центром симметрии.

Симметрию с центром А будем обозначать Z_А; запись Z_А(М) = М'обозначает (читается): точка М при симметрии относительно центра (точки) А отображается на точку М', или точка М' является образом точки М при симметрии с центром А, или точки М и М' центрально-симметричны относительно точки А.

На примере центральной симметрии можно изучить вопросы о наличии преобразования, обратного данному преобразованию, совпадающего с ним, о координатной записи преобразования, о его неподвижных точках, неподвижных прямых и неподвижных плоскостях, о композиции преобразований.

Учащимся следует пояснить, что при изучении геометрических преобразований пространства интерес вызывает наличие неподвижных точек, неподвижных прямых и неподвижных плоскостей каждого из рассматриваемых преобразований.

По определению фигура F является неподвижной при данном преобразовании g, если преобразование g отображает эту фигуру на себя, то есть g(F) = F. В геометрии различают два вида «неподвижности фигуры F» при данном преобразовании g:

1) каждая точка фигуры F неподвижна (отображается на себя) при данном преобразовании g; в этом случае иногда говорят, что фигура F локально неподвижна, локально инвариантна;

2) фигура F преобразованием g отображается на себя, но среди точек этой фигуры существуют как точки, каждая из которых неподвижна при преобразовании g, так и такие точки, которые не являются неподвижными точками этого преобразования g, но отображаются преобразованием g на точки фигуры F; в этом случае иногда говорят, что фигура F глобально неподвижна, глобально инвариантна.

Например, любая прямая, проходящая через точку А, глобально неподвижна (глобально инварианта) при симметрии с центром А; любая прямая (плоскость), перпендикулярная плоскости α, глобально инвариантна (глобально неподвижна) при симметрии относительно плоскости α, но сама плоскость a локально неподвижна при симметрии S_a, так как каждая точка плоскости a при симметрии S_a отображается на себя.

Любая центрально-симметричная фигура F с центром О является глобально инвариантной фигурой при симметрии пространства с центром О, но сама фигура F имеет только одну неподвижную точку при этой симметрии — центр О симметрии.

Следует обратить внимание учащихся на вопрос о равенстве двух преобразований. По определению два преобразования g₁ и g₂ пространства называются равными, если образы любой точки пространства при этих преобразованиях совпадают, то есть для любой точки M пространства имеет место . Важным является не путь, не траектория перемещения («путешествия») данной точки М при каждом из преобразований g₁ и g₂, а тот факт, что в результате каждого из преобразований g₁ и g₂ точка М, образно выражаясь, «перешла» в одну и ту же точку М'.

Необходимо детально рассмотреть также вопрос о композиции двух преобразований.

Для всяких двух преобразований g₁ и g₂ пространства можно построить третье преобразование g₃, которое называют композицией преобразований g₁ и g₂ и обозначают символически при этом имеем:

g₁(M) = M', g₂(M') = M''

g₃(M) = ( g₂g₁(M) = ( g₂(g₁(M)) = g₂(M') = M''.

При таком определении композиции g₂g₁ преобразований g₁ и g₂ сначала применяется преобразование g₁ («правое») и к его результату применяется преобразование g₂.

Введенное обозначение естественно, так как запись ( g₂g₁(M) = ( g₂(g₁(M)) в теории геометрических преобразований аналогична записи в теории функций ( f ₂f₁(x) = ( f ₂(f₁(x)). Иначе говоря, понятие «композиция преобразований» в курсе геометрии аналогично понятию «сложная функция» («суперпозиция функций») в курсе алгебры.

Учащиеся должны знать, что композиция двух преобразований, вообще говоря, не обладает свойством коммутативности (переместительности), то есть не для всяких преобразований g₁ и g₂ выполняется равенство g₂g₁ = g₁g_2. В справедливости этого утверждения они могут убедиться на конкретных примерах.

Прежде чем приступить к решению задач на преобразования пространства, стоит рассмотреть решения задач о взаимно-однозначном отображении одной пространственной фигуры на другую, при этом полезно рассматривать (повторять) аналогичные задачи планиметрии.

Задача 1. Можно ли взаимно-однозначно отобразить: а) поверхность куба на поверхность другого куба; б) поверхность куба на сферу; в) сферу с выколотой точкой на плоскость? Сделайте соответствующие рисунки.

Решение. а) Достаточно кубы расположить так, чтобы совпали их центры, а грани одного были параллельны граням другого. Тогда поверхность одного куба взаимно-однозначно отображается на поверхность другого куба посредством центрального проектирования из их общего центра. (Аналогичная задача планиметрии — о взаимно-однозначном отображении одного квадрата на другой посредством центрального проектирования.)

б) Достаточно центр сферы совместить с центром куба, тогда поверхность куба взаимно-однозначно отображается на сферу посредством центрального проектирования из их общего центра. (Аналогичная задача планиметрии — о взаимно-однозначном отображении квадрата — замкнутой ломаной — на окружность посредством центрального проектирования.)

в) Если в сфере с диаметром АВ «выколота» точка А, то достаточно провести через точку В, плоскость перпендикулярно прямой АВ. Тогда посредством центрального проектирования с центром А осуществляется взаимно-однозначное отображение данной сферы на эту плоскость. (Аналогичная задача планиметрии: окружность с выколотой точкой А и диаметром АВ посредством проектирования из точки А взаимно-однозначно отображается на прямую, проведенную через точку В перпендикулярно АВ).

Задача 2. Даны точка O и фигура F. Рассмотрим все точки пространства, симметричные точке O относительно всех точек фигуры F. Какую фигуру они образуют, если фигура F:
а) отрезок; б) прямая; в) плоскость; г) треугольник; д) куб; е) шар? Ответ поясните на рисунке.

Решение. а) Пусть в качестве фигуры F дан отрезок АВ. Тогда из Z_А(О) = А₁ и Z_В(О) = В₁ следует соответственно ОА₁ = 2ОА и ОВ₁= 2ОВ. Значит, отрезок А₁В₁ C АВ и |А₁В₁| = 2|АВ|. Если М— любая точка отрезка АВ и Z_М(О) = М₁,
то точка М₁ принадлежит отрезку А₁В₁. В силу произвольного выбора точки М на отрезке АВ, приходим к выводу: множеством всех точек, симметричных точке О относительно всех точек отрезка АВ, является такой отрезок А₁В₁, что

А₁В₁ АВ и |А₁В₁| = 2|АВ|.

Аналогично решаются остальные задачи этого номера.

Ответ: б)–е): одноименную фигуру.

Симметрия с центром в начале координат, при которой точка М(x; y; z) отображается на точку М'(x'; y'; z'), задается формулами:

x' = –x, y' = –y, z' = –z.

Пользуясь этими формулами, полезно рассмотреть вопрос о композиции отображений (преобразований).

Задача 3. Даны точки А(3; 2; 1) и В(–1; 2; 6). Найдите координаты образа точки В при композиции центральных симметрий: а) Z_АZ_O
б) Z_OZ_A , где точка О — начало координат.

Решение. Найдем

(Z_АZ_O)(B) и (Z_OZ_А)(B)

а) Пусть

В₁(х₁; y₁; z₁) = Z₀(В),
В₂(х₂; y₂; z₂) = Z_А(В₁).

Тогда, пользуясь координатными формулами симметрии относительно начала координат, получаем:

х₁ = 1; y₁ = –2; z₁ = –6.

По формулам деления отрезка пополам имеем: откуда х₂ = 23 –1= 5.

Аналогично,

y₂ = 22 – (–2) = 6; z₂ = 21 – (–6) = 8.

Таким образом,

(Z_АZ_O)(B) = В₂(5; 6; 8)

б) Пусть

С₁(х₁; y₁; z₁) = Z_А(В),
С₂(х₂; y₂; z₂) = Z_о(С₁).

По формулами деления отрезка пополам, имеем:

х₁ = 23 – (–1) = 7; y₁ = 22 – 2 = 2;
z₁ = 21– 6 = –4.

Тогда: х₂ = –7; y₂ = –2; z₂ = 4. Таким образом,

(Z_OZ_A)(B) = C₂(-7; -2; 4)

Так как точки В₂(5; 6; 8) и С₂(–7; –2; 4) различны, то

(Z_OZ_A)(B) ≠ (Z_AZ_O)(B),

то есть композиция преобразований, вообще говоря, некоммутативна.

Движения пространства и их общие свойства.
Симметрия относительно плоскости

• Преобразование пространства, при котором сохраняются расстояния между любыми двумя точками, называется движением пространства.

Из этого определения следует, что если при движении g пространства две различные точки A и B отображаются на точки A' = g(A) и B' = g(B), то расстояние между точками A'' и B'' равно расстоянию между точками A и B: |A'B'| = |AB|.

В качестве примера движения пространства на данном этапе изучения стереометрии можно привести преобразование центральной симметрии, доказав координатным способом, что при этой симметрии сохраняются расстояния между точками.

Движения пространства обладают многими свойствами, аналогичными свойствам движений плоскости. Поэтому изложению теоретического материала этого раздела целесообразно предпослать повторение аналогичного планиметрического материала и лекционным методом рассмотреть (подробно или обзорно) общие свойства движений пространства.

Движение пространства отображает любой тетраэдр на равный ему тетраэдр. Учащиеся должны знать важное свойство движений: или ориентация любого тетраэдра остается неизменной при данном движении (движении первого рода), или ориентацию любого тетраэдра это движение меняет (движение второго рода ).

Например, тождественное преобразование является движением первого рода, а центральная симметрия пространства — движением второго рода. Далее учащиеся познакомятся с другими движениями первого и второго родов.

Учащимся необходимо объяснить важность определения равенства фигур на основе движений:

• Фигура F₂ пространства называется равной фигуре F₁, если существует движение, отображающее фигуру F₁ на F₂.

На основании этого определения для выяснения, равны ли фигуры F₁ и F₂, достаточно найти хотя бы одно движение пространства, отображающее F₁ на F₂, тогда по определению фигуры F₁ и F₂ считаются равными. Например, если при некотором движении вершины А, В и С треугольника АВС отображаются соответственно на точки А₁, В₁ и С₁, то треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны; если вершины Р, А, В, С тетраэдра отображаются при некотором движении соответственно на точки М, Н, K, Т, то тетраэдры РАВС и МНKТ равны.

Далее, после определения симметричных относительно плоскости точек, вводится определение.

• Преобразование пространства, при котором каждая точка пространства отображается на точку, симметричную ей относительно плоскости α, называется симметрией пространства относительно плоскости α. Плоскость α называется плоскостью симметрии.

Симметрия относительно плоскости a обозначается S_α. Если при этой симметрии точка М (фигура F) отображается на точку М' (фигуру F'), то записывают S_α(М) = М' (S_α(F) = F'). Это преобразование еще называют «отражением в плоскости», «зеркальным отражением» или «зеркальной симметрией», проводя аналогию с «отражением в зеркале».

Перед изучением преобразования симметрии относительно плоскости в пространстве необходимо повторить планиметрический материал о преобразовании симметрии относительно прямой в плоскости. После определения и рассмотрения свойств симметрии относительно плоскости следует выделить аналогичные свойства этих симметрий, подчеркнув, что как симметрия относительно прямой m в плоскости (обозначается S_m), так и симметрия относительно плоскости αв пространстве (обозначается S_α):

а) являются преобразованиями, совпадающими со своими обратными, то есть

б) являются движениями пространства, при чем движениями второго рода. Желательно, чтобы учащиеся построили тетраэдр, симметричный данному тетраэдру относительно данной плоскости, и убедились в противоположной ориентации этих тетраэдров. (По этой причине симметрию относительно плоскости и называют зеркальной симметрией.)

• Если фигура F при симметрии относительно некоторой плоскости α отображается на себя, то говорят, что эта фигура имеет плоскость симметрии (фигура F симметрична относительно плоскости α).

При изучении этой темы полезно решать задачи, в которых рассматриваются фигуры пространства, имеющие плоскости симметрии.

Задача 4. Нарисуйте треугольную пирамиду, имеющую две плоскости симметрии.

Указание. Рассмотрите пирамиду РАВС, в которой лишь АР = ВР = АС = ВС.

Задача 5. В кубе окрашены одним цветом три грани, имеющие общую вершину. Сколько плоскостей симметрии имеет окрашенный таким образом куб?

Решение. Рассмотрим куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Пусть окрашены три его грани AВВ₁A₁, ВСС₁В₁ и A₁B₁C₁D₁, имеющие общую вершину В₁ (рис.1). Найдем такую плоскость, при симметрии относительно которой куб отображается на себя, причем, окрашенная грань отображается на окрашенную (или на себя), а неокрашенная — на неокрашенную (или на себя).

Обозначим: (BDD₁) = α. Плоскость α перпендикулярна плоскостям оснований ABCD и A₁B₁C₁D₁ куба, при этом S_α(А) = С, S_α(А₁) = С₁, S_α(В) = В, S_α(В₁) = В₁, S_α(D) = D, S_α(D₁) = D₁. Это означает, что (BDD₁) = α — плоскость симметрии этого куба. При симметрии относительно этой плоскости окрашенные грани AВВ₁A₁ и ВСС₁В₁ отображаются одна на другую, а окрашенная грань A₁B₁C₁D₁ является инвариантной (отображается на себя). Далее, при этой симметрии неокрашенные грани AA₁D₁D и DD₁C₁C взаимно симметричны, а грань ABCD — инвариантна. Таким образом, плоскость диагонального сечения BB₁D₁D является плоскостью симметрии данного окрашенного куба.

Рис. 1

Аналогично можно доказать, что плоскости диагональных сечений АB₁С₁D и A₁B₁CD являются плоскостями симметрии данного куба.

Полезно использовать зеркальную симметрию при решении конструктивных задач стереометрии.

Задача 6. Точки A и B расположены в одном полупространстве относительно данной плоскости a и не лежат в ней. Постройте в плоскости a такую точку М, сумма расстояний от которой до точек A и B была бы наименьшей.

Решение. Построим точку А₁ = S_α(A) (рис.2). Так как преобразование симметрии — движение и S_α(A) = А₁, S_α(М) = М (М — точка плоскости симметрии), то АМ = А₁М. Значит, АМ + МВ = А₁М + МВ. Но длина ломаной А₁МВ будет наименьшей, если все три точки А₁, М и В будут лежать на одной прямой. Это означает, что точка М, удовлетворяющая условию задачи, должна быть точкой пересечения прямой А₁В и плоскости α, то есть М = А₁В ∩ α. Таким образом, приходим к следующему пути решения задачи.

Рис. 2

Строим точку А₁ = S_α(A) и проводим плоскость b через прямую АА₁ и точку В. Обозначим: с = α ∩ b, М = А₁В ∩ с = А₁В ∩ α. Точка М — искомая.

Для доказательства того, что точка М = А₁В ∩ α является искомой, достаточно в плоскости a выбрать любую точку Р ≠ М и доказать, что АМ + МВ < АР + РВ. Справедливость этого неравенства следует из того, что, во-первых,

АМ + МВ = А₁М + МВ = А₁В

и, во-вторых, в треугольнике А₁РВ справедливо неравенство

А₁Р + РВ > А₁В = А₁М + МВ = АМ + МВ.

Параллельный перенос

• Параллельным переносом на вектор называется такое преобразование пространства, при котором любая точка М отображается на такую точку М', что выполняется векторное равенство

Параллельный перенос пространства также является движением и обладает многими свойствами, аналогичными свойствам параллельного переноса плоскости. Примечательно, что параллельный перенос на ненулевой вектор неподвижных точек не имеет, но любая прямая, параллельная вектору , является неподвижной прямой при переносе на этот вектор, равно как и любая плоскость, параллельная вектору , является неподвижной плоскостью при параллельном переносе на этот вектор; причем на каждой из этих прямых и плоскостей индуцируется параллельный перенос на вектор .

Если плоскость (прямая) не параллельна вектору переноса, то при переносе на этот вектор она отображается на параллельную ей плоскость (прямую).

Запись обозначает (читается): точка K при параллельном переносе на вектор отображается на точку Н или точка Н является образом точки K при параллельном переносе на вектор; причем

Свойство параллельного переноса отображать любую фигуру на равную ей фигуру используется при решении многих стереометрических задач.

Рассмотрим, например, такую задачу.

Задача 7. В основании пирамиды РАВСD лежит квадрат АВСD. Ребро РА пирамиды перпендикулярно ее основанию. Через середину ребра РВ проведено сечение, параллельное плоскости АРD. Какова площадь сечения, если площадь грани АРD равна 48?

Рис. 3

Для вычисления площади трапеции LHMK рассмотрим параллельный перенос на вектор Этот перенос отображает плоскость сечения на плоскость грани АРD, причем

где Е РА, F PD , откуда (четырехугольник LHMK) = четырехугольник ADFE.

Параллельный перенос — движение, поэтому площади четырехугольников LHMK и ADFE равны. Найдем площадь четырехугольника ADFE.

Так как K — середина РВ, М — середина РС и KE AB, MF CD, то точки Е и F  — середины сторон соответственно АР и DP треугольника ADP. Поэтому треугольники РEF и PAD гомотетичны с коэффициентом гомотетии Значит, Откуда

Тогда S_KLHM = S_ADFE = 36.

Ответ: 36.

Поворот вокруг оси.
Осевая симметрия

Прежде чем приступать к определению и изучению еще одного вида движений пространства — повороту пространства вокруг оси на ориентированный угол, необходимо повторить поворот плоскости вокруг точки на ориентированный угол (рис. 4). При этом необходимо учитывать следующее обстоятельство.

Рис. 4

Любая плоскость α разбивает пространство на два полупространства. Из точек одного полупространства угол АОВ, расположенный в плоскости α, наблюдается ориентированным положительно (вращение от ОА к ОВ наблюдается из точек этого полупространства против часовой стрелки, рис.5,а); из точек другого полупространства угол АОВ наблюдается ориентированным отрицательно (рис.5,б).

Рис. 5

Чтобы достичь однозначности в определении ориентации угла поворота в плоскости α, расположенной в пространстве, следует договориться: ось вращения ориентировать так, чтобы на плоскость α, перпендикулярную оси вращения, «смотреть» с «положительного направления» этой оси. В таком случае, если из любой точки положительной полуоси этот поворот наблюдается против часовой стрелки (рис. 6), то мы получаем поворот в плоскости α (и поворот в пространстве) на положительно ориентированный угол, в противном случае — поворот на отрицательно ориентированный угол. В дальнейшем ориентация угла указывается знаком «+» или «–».

Рис. 6

• Поворотом пространства вокруг ориентированной прямой l на угол φ называется такое преобразование пространства, при котором каждая точка прямой l остается неподвижной и в каждой плоскости, перпендикулярной прямой l, индуцируется поворот ее на угол φ вокруг точки пересечения этой плоскости с прямой l.

Ориентированная прямая l называется осью вращения (осью поворота), а угол φ — углом поворота. Поворот вокруг оси l на угол φ обозначается . Если при повороте вокруг оси l на угол φточка М отображается на точку М', то пишут: (M) = M'.

• Поворот вокруг оси l на угол φ = 180° называется осевой симметрией пространства и обозначается S_l. Ось вращения называется осью симметрии. Таким образом, .

Осевая симметрия пространства может быть определена «конструктивно» с использованием понятия «пара симметричных точек относительно прямой». Если при симметрии относительно прямой l фигура F отображается на себя, то прямую l называют осью симметрии этой фигуры.

Задача 8. Точки D и Е — середины ребер АВ и РС правильного тетраэдра РАВС (рис. 7); точка О — центр грани АВС.

Рис. 7

Докажите, что при вращениях на угол 180° вокруг прямой DЕ и на углы 120°, 240° и 360° вокруг прямой ОР данный тетраэдр отображается на себя (самосовмещается). Найдите другие вращения, при которых данный тетраэдр самосовмещается.

Задача 9. Докажите, что при вращениях на углы 120°, 240° и 360° вокруг прямой АС₁ куб ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 8) самосовмещается. Найдите другие вращения, при которых данный куб самосовмещается.

Рис. 8

Осевая симметрия пространства может быть определена «конструктивно» с использованием понятия «пара симметричных точек относительно прямой» или как поворот пространства вокруг прямой на угол 180°. Как и в планиметрии, в стереометрии осевая симметрия относительно прямой m обозначается S_m и является преобразованием, совпадающим со своими обратными, то есть

Указание. Рассмотрите тетраэдр РАВС, в котором лишь АР = ВР = АС = ВС. Осью симметрии этого тетраэдра служит прямая, проходящая через середины отрезков АВ и РС.

Задача 11. Дан правильный тетраэдр РАВС. Постройте ось симметрии фигуры, являющейся объединением скрещивающихся ребер АР и ВС правильного тетраэдра РАВС.

Решение. Пусть точки Н, D, K, М, F, Т — середины ребер соответственно АВ, ВС, СА, РА, РВ, РС (рис. 9). В равнобедренном треугольнике АСF (АF = СF)
медиана FK является высотой, значит, FK АС. Аналогично, в равнобедренном треугольнике ВРK медиана KF — высота, поэтому FK ВР. Таким образом, прямая FK является общим серединным перпендикуляром скрещивающихся ребер АС и ВР данного тетраэдра. При симметрии относительно прямой FK точка А отображается на точку С, а точка Р — на точку В, поэтому ребро АР — на ребро СВ. Это означает, что прямая FK является осью симметрии фигуры, образованной ребрами АР и ВС.

Рис. 9

Аналогично можно доказать, что прямая НТ является общим серединным перпендикуляром отрезков АВ и СР и служит осью симметрии фигуры, образованной ребрами АР и ВС.

При симметрии относительно прямой DM, являющейся общим серединным перпендикуляром ребер АР и ВС, каждое из этих ребер отображается на себя. Поэтому образованная этими ребрами фигура симметрична относительно прямой DM.

Таким образом, фигура, являющаяся объединением скрещивающихся ребер АР и ВС правильного тетраэдра РАВС, имеет три оси симметрии: прямые FK, НТ и DM.

Замечание. Прямые FK, НТ и DM являются осями симметрии тетраэдра РАВС. Действительно, например, при симметрии относительно прямой KF = l имеем:

S_l(A) = С, S_l(P) = В
S_l(AP) = BC S_l(ВС) = АР;
S_l(A) = С, S_l(В) = P
S_l(AВ) = СP S_l(СР) = АВ;
S_l(АC) = CA, S_l(BР) = РB.

Это означает, что симметрия относительно прямой l вершины, ребра и грани тетраэдра PABC отображает на вершины, ребра и грани этого же тетраэдра, то есть этот тетраэдр при симметрии относительно прямой l отображается на себя. Следовательно, прямая l является осью симметрии тетраэдра PABC. Аналогично, прямые НТ и DM — оси симметрии данного тетраэдра РАВС. Таким образом, правильный тетраэдр имеет три оси симметрии.

Следует обратить внимание учащихся на композиции зеркальной симметрии с параллельным переносом и поворотом вокруг оси, а также на композицию поворота вокруг оси и параллельного переноса. Композициями этих движений являются следующие три специальных («сложных») вида движений: а) «скользящая симметрия» — композиция симметрии S_α относительно плоскости α и параллельного переноса на вектор , который параллелен этой плоскости (рис.10); б) зеркальный поворот — композиция поворота на угол φ вокруг оси а и симметрии S_α относительно плоскости α, перпендикулярной этой оси (рис. 11); в) винтовое движение — композиция поворота на угол φ вокруг оси а и переноса на вектор который параллелен этой оси (рис.12).

Рис. 10 Рис. 11

Рис. 12

Полезно проиллюстрировать динамику изменения положения данной фигуры при скользящей симметрии, зеркальном повороте и винтовом движении, используя различные самосовмещения правильных многогранников.

Рассмотрим, например, композицию вращения правильного тетраэдра T = AB₁CD₁ на угол 90° вокруг прямой а, проходящей через середины О и О₁ противоположных его ребер AC и B₁D₁, и симметрии относительно плоскости a, проходящей через центр М тетраэдра Т перпендикулярно прямой а. В целях наглядности правильный тетраэдр T = AB₁CD₁ рассмотрим вместе с кубом K = ABCDA₁B₁C₁D₁, центр которого совпадает с точкой М (рис.13).

Рис.13

При вращении вершина А отображается на вершину В, вершина В₁ — на С₁, вершина С — на D, вершина D₁ — на A₁, значит, тетраэдр T = AB₁CD₁ отображается на тетраэдр Т₁ = BC₁DA₁. При последующей симметрии S_α тетраэдр Т₁ = BC₁DA₁ отображается на тетраэдр B₁CD₁А, совпадающий с данным тетраэдром T = AB₁CD₁. Таким образом, зеркальный поворот, являющийся композицией поворота и зеркальной симметрии S_α, отображает тетраэдр T = AB₁CD₁ на себя, то есть при этом зеркальном повороте происходит самосовмещение тетраэдра T = AB₁CD₁. (Учащимся можно предложить исследовать, является ли самосовмещением тетраэдра Т композиция .)

Гомотетия и подобие пространства

• Гомотетией пространства с центром O и коэффициентом k ≠ 0 называется преобразование пространства, при котором любая точка М отображается на такую точку М', что

Гомотетию с центром O и коэффициентом k обозначают H^k₀

• Подобием пространства с коэффициентом k (k >0) называется такое преобразование пространства, при котором расстояние между любыми двумя точками изменяется в k раз, то есть для любых двух точек А и В длина отрезка А'B' равна k|AB|, где А' = Р_k(A) и B'= Р_k(В). Подобие пространства называют также преобразованием подобия. Если при этом подобии фигура F отображается на фигуру F', то пишут Р_k(F)=F' и говорят, что фигура F' подобна фигуре F.

Свойства преобразований гомотетии и подобия пространства аналогичны свойствам гомотетии и подобия плоскости, поэтому изучение первых следует начинать с повторения вторых. Подобие пространства с коэффициентом k можно разложить в композицию движения и гомотетии с некоторым центром и тем же коэффициентом.

Учащиеся должны знать, что при подобном преобразовании пространства сохраняется величина угла (плоского и двугранного), параллельные (перпендикулярные) прямые и плоскости отображаются на параллельные (перпендикулярные) прямые и плоскости. Это означает, что при подобном преобразовании пространства образом любой фигуры является фигура, имеющая такую же форму, что и данная фигура, но отличающаяся от нее лишь «своими размерами».

Задача 12. Дан правильный тетраэдр РАВС; точки Р₁, А₁, В₁, С₁ — центры его граней (рис.14). Докажите, что тетраэдр Р₁А₁В₁С₁ подобен тетраэдру РАВС; найдите коэффициент этого подобия.

Рис. 14

РА₁ : А₁K = АР₁ : Р₁K = 2 : 1,

откуда

Аналогично можно доказать, что
А₁В₁ : АВ = 1 : 3 и А₁В₁ АВ,
А₁С₁ : АС = 1 : 3 и А₁С₁ АС,
В₁С₁ : ВС = 1 : 3 и В₁С₁ ВС,
В₁Р₁ : ВР = 1 : 3 и В₁Р₁ ВР,
С₁Р₁ : СР = 1 : 3 и С₁Р₁ СР.
Из этих соотношений между ребрами тетраэдров РАВС и Р₁А₁В₁С₁ следует, что тетраэдр Р₁А₁В₁С₁ — правильный, поэтому эти тетраэдры подобны; коэффициент подобия равен 1/3. (В профильных классах стоит доказать, что эти тетраэдры гомотетичны.)
Можно ввести определение: «Фигура F₁ называется подобной фигуре F, если существует преобразование подобия пространства, отображающее фигуру F на фигуру F₁». Тогда для доказательства подобия фигуры F₁ фигуре F достаточно найти хотя бы одно преобразование подобия, которое фигуру F отображает на фигуру F₁..

Потоскуев Е.