Малый мехмат МГУ

В 2009 году заочное отделение Малого мехмата объявляет при ем учащихся на 2009/10 учебный год в 8-е и 9-е классы, а также прием на неполный курс обучения в 10-е и 11-е классы. Принимаются учащиеся из России (в том числе и проживающих в Москве), стран СНГ и Прибалтики, а также русскоязычные учащиеся из стран дальнего зарубежья. Зачисление индивидуальных учеников производится на конкурсной основе по результатам выполнения вступительной работы (группам «Коллективный ученик» выполнять вступительную работу не требуется). Обучение на заочном отделении платное.

Условия приема

Ученики, желающие поступить на заочное отделение Малого мехмата, должны не позднее 30 апреля 2009 года выслать в наш адрес письмом или по электронной почте решения задач вступительной работы (при этом не обязательно должны быть решены все задачи). Вступительную работу необходимо выполнить в школьной тетради в клетку. Записывать решения следует в том порядке, в каком задачи идут во вступительной работе. На обложку тетради следует наклеить лист бумаги со следующими данными:

1. Фамилия, имя, отчество учащегося.

2. Класс (в 2009/10 учебном году).

3. Полный домашний адрес с указанием почтового индекса.

4. Адрес электронной почты (если он есть).

5. Телефон (с кодом города).

6. Источник, из которого вы узнали о наборе на заочное отделение.

Вступительные работы обратно не высылаются.

Группам «Коллективный ученик» не нужно выполнять вступительную работу: необходимо не позднее 15 сентября 2009 года выслать письмом или по электронной почте следующие данные:

1. Фамилия, имя, отчество руководителя группы.

2. Фамилии, имена, отчества учащихся (не более 15 человек).

3. Класс (в 2009/10 учебном году).

4. Полный адрес руководителя группы (по которому будут высылаться задания) с указанием почтового индекса.

5. Адрес электронной почты (если он есть).

6. Телефон (с кодом города).

7. Источник, из которого вы узнали о наборе на заочное отделение.

Наш адрес: 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ, мехмат, МММФ.

Электронная почта: vstup@zaoch.ru.

Более подробную информацию о Малом мехмате можно найти на нашем сайте в интернете по адресу http://mmmf.math.msu.ru .

Телефон: (495) 939–39–43.

Вступительная работа

Задачи 1–10 предназначены для поступающих в 8-й или 9-й классы (то есть для нынешних учащихся 7-го или 8-го классов). Задачи 6–15 предназначены для поступающих в 10-й или 11-й классы (для нынешних учащихся 9-го или 10-го классов). После номера каждой задачи в скобках указано, для поступающих в какие классы она предназначена. За решения задач для других классов баллы не начисляются!

1. (8–9.) Рабочий обрезал фанерный лист прямоугольной формы, уменьшив его размеры на 5% по вертикали и на 10% по горизонтали. На сколько процентов уменьшилась площадь листа?

2. (8–9.) Решите неравенство

(2x² – 1)⁴ – (x² + 8)⁴ ³ 0.

3. (8–9.) В треугольнике ABC проведена биссектриса BD. Докажите, что AB > AD.

4. (8–9.) Решите в натуральных числах уравнение (натуральные числа — это целые положительные числа: 1, 2, 3, ...).

5. (8–9.) Какое количество простых чисел может быть среди пяти подряд идущих пятизначных натуральных чисел (напомним, что простым называется натуральное число, большее 1 и не имеющее делителей, отличных от 1 и самого себя)? Укажите все возможные варианты и докажите, что другие варианты невозможны.

6. (8–11.) Витя готовится к контрольной работе по теме «Параллельные прямые». За каждый из вопросов контрольной работы можно получить 0, 1, 2, 3 или 4 балла. Витя посчитал, что если за половину вопросов он получит 3 балла, а за оставшуюся половину 2 балла, то этого как раз хватит для того, чтобы успешно сдать тему «Параллельные прямые». Если Витя за треть вопросов получит 4 балла, а за остальные вопросы 3 балла, то он наберет на 10 баллов больше, чем необходимо для сдачи темы. Сколько вопросов содержит контрольная работа? За какое количество баллов ставят зачет?

7. (8–11-е кл.) Катя и Миша играют в игру. Перед началом игры на доске написано число 1. За один ход разрешается умножить записанное число на любое натуральное число от 2 до 9. Первой ходит Катя, далее ходят по очереди. Выигрывает тот, кто первым получит число, большее 1000. Кто из ребят выиграет при правильной игре? Укажите выигрышную стратегию.

8. (8–11) В прямоугольной трапеции ABCD углы A и B — прямые. Известно, что BC = q, AD = r, CD = q + r. Пусть T — точка пересечения биссектрис углов C и D. Найдите длины всех высот треугольника TCD.

9. (8–11) Пусть S — сумма цифр числа a, T — сумма цифр числа b. Докажите, что если число S + T
делится на 9, то число a + b также делится на 9.

10. (8–11) Несколько друзей устроили шахматный турнир по круговой системе (каждый сыграл с каждым по одному разу). За победу в шахматах дается 1 очко, за ничью — пол-очка, за поражение — 0 очков. Известно, что среди участников мальчиков было втрое больше, чем девочек. После завершения турнира оказалось, что ничьих не было, а число очков, набранных всеми мальчиками, равно числу очков, набранных всеми девочками. Кто победил в турнире: мальчик или девочка?

11. (10–11) Даны функции

Постройте график функции f (g(x)).

12. (10–11) Решите систему уравнений

13. (10–11.) В равнобедренной трапеции ABCD боковые стороны AB и CD равны, AD > BC.
В трапецию ABCD вписана окружность, касающаяся стороны CD в точке M. Пусть N — вторая точка пересечения окружности и прямой AM. Известно, что Найдите

14. (10–11) Какое число больше: 8⁹² или 3¹⁸⁰?

15. (10–11) Лена загадала число: 1, 2 или 3. Костя хочет отгадать это число. Ему разрешается задать Лене один вопрос, на который Лена имеет возможность ответить либо «да», либо «нет», либо «не знаю». Приведите пример вопроса, получив ответ на который, Костя смог бы однозначно определить загаданное Леной число. Обязательно объясните свое решение.