V Олимпиада по геометрии им. И.Ф. Шарыгина
Заочный тур
В олимпиаде могут участвовать школьники 8–11-х классов. В списке задач, приведенном ниже, после порядкового номера каждой задачи указано, учащимся каких классов (на момент проведения олимпиады) она предназначена. Впрочем, можно решать также задачи и для более старших классов (решенные задачи для младших классов при подведении итогов не учитываются).
Решения задач на русском языке должны быть посланы не позднее
1 апреля 2009 года. Рекомендуется присылать решения по электронной почте в
форматах «pdf», «doc» или «jpg» на адрес geomolymp@mccme.ru.
При этом, во избежание потери работы, нужно соблюдать следующие правила.
1. Каждую работу следует посылать отдельным письмом.
2. Если работа содержится в нескольких файлах, желательно присылать их в виде архива.
3. В теме письма нужно написать «Работа на олимпиаду им. И.Ф. Шарыгина», а в тексте привести следующие сведения об участнике:
— фамилию, имя, отчество;
— полный почтовый адрес с индексом, телефоном, e-mail;
— класс, в котором сейчас учится школьник;
— номер и адрес школы;
— ФИО учителей математики и/или руководителей кружка.
Если у вас нет возможности прислать работу в электронном виде, пришлите ее простой бандеролью (или принесите сами), в обычной тетради, не сворачивая тетрадь в трубку, по адресу: 119002, Москва Г-002, Большой Власьевский пер., д. 11, МЦНМО, на олимпиаду им. И.Ф. Шарыгина. На обложке тетради обязательно укажите все сведения, перечисленные выше в пункте 3.
Решение каждой задачи начинайте с новой страницы: сначала надо переписать условие, затем записать решение, причем старайтесь писать подробно, приводя основные рассуждения и выкладки, делая аккуратные чертежи. Если задача на вычисления, в конце ее решения должен быть преведен отчетливо выделенный ответ. Пишите аккуратно, ведь вы же заинтересованы в том, чтобы вашу работу можно было понять и справедливо оценить!
Если вы пользуетесь в решении какой-то известной теоремой или фактом, приведенным в школьном учебнике, можно просто на это сослаться (чтобы было понятно, какую именно теорему или факт вы имеете в виду). Если же вам необходим факт, не встречающийся в школьном курсе, его обязательно надо доказать (или сообщить, из какого источника он взят).
Ваши работы будут тщательно проверены, и вы получите (не позднее середины мая 2009 г.) ответ жюри. Победители заочного тура — учащиеся 8–10-х классов будут приглашены на финальный тур, который состоится летом 2009 г. в г. Дубна под Москвой. Победители заочного тура — выпускники школ получат грамоты оргкомитета олимпиады.
Задачи
1. (8-й класс) Точки B1 и B2 лежат на луче AM, а точки C1 и C2 — на луче AK. Окружность с центром O вписана в треугольники AB1C1 и AB2C2. Докажите, что углы B1OB2 и C1OC2 равны.
2. (8-й класс) Через каждую вершину неравнобедренного треугольника ABC проведен отрезок, разбивающий его на два треугольника с равными периметрами. Верно ли, что все эти отрезки имеют разные длины?
3. (8-й класс) Биссектрисы углов трапеции образуют при пересечении четырехугольник с перпендикулярными диагоналями. Докажите, что трапеция равнобокая.
4. (8–9-е классы) Две окружности пересекаются в точках P и Q. Из точки Q пустили в каждую из окружностей по одному лучу, которые отражаются от окружностей по закону «угол падения равен углу отражения». Точки касания траектории первого луча — A1, A2, ..., второго — B1, B2, ... Оказалось, что точки A1, B1 и P лежат на одной прямой. Докажите, что тогда все прямые AiBi проходят через точку P.
5. (8–9-е классы) Дан треугольник ABC и построена вневписанная окружность с центром O, касающаяся стороны BC и продолжений сторон AB и AC. Точка O1 симметрична точке O относительно прямой BC. Найдите величину угла A, если известно, что точка O1 лежит на описанной около треугольника ABC окружности.
6. (8–9-е классы) Найдите геометрическое место центров всех вневписанных окружностей прямоугольных треугольников, имеющих данную гипотенузу.
7. (8–9-е классы) Дан треугольник ABC. Из вершин B и C опущены перпендикуляры BM и CN на биссектрисы углов C и B соответственно. Докажите, что прямая MN пересекает стороны AC и AB в точках их касания со вписанной окружностью.
8. (8–10-е классы) Многоугольник можно разрезать на две равные части тремя различными способами. Верно ли, что у него обязательно есть центр или ось симметрии?
9. (8–11-е классы) На плоскости задано n точек, являющихся вершинами выпуклого n-угольника, n > 3. Рассматриваются равносторонние треугольники со стороной 1, вершины которых — заданные точки. Будем называть такие треугольники единичными.
а) Докажите, что существует не более 
таких единичных
треугольников.
б) Докажите, что нельзя заменить на меньшее число.
10. (9-й класс) Пусть ABC — остроугольный треугольник, CC1 — его биссектриса, O — центр описанной окружности. Точка пересечения прямой OC1 с перпендикуляром из C на AB лежит на описанной окружности треугольника AOB. Найдите угол C.
11. (9-й класс) Дан четырехугольник ABCD. Оказалось, что окружность, описанная около треугольника ABC, касается стороны CD, а окружность, описанная около треугольника ACD, касается стороны AB. Докажите, что диагональ AC меньше, чем расстояние между серединами сторон AB и CD.
12. (9–10-е классы) В треугольнике ABC провели биссектрису CL. Точки A1 и B1 симметричны точкам A и B относительно CL, A2 и B2 симметричны точкам A и B относительно L. Пусть O1 и O2 — центры окружностей, описанных около треугольников AB1B2 и BA1A2. Докажите, что углы O1CA и O2CB равны.
13. (9–10-е классы) В треугольнике ABC отметили центр вписанной окружности, основание высоты, опущенной на сторону AB, и центр вневписанной окружности, касающейся этой стороны и продолжений двух других. После этого сам треугольник стерли. Восстановите его.
14. (9–10-е классы) Дан треугольник ABC площади 1. Из вершины B опущен перпендикуляр BM на биссектрису угла C. Найдите площадь треугольника AMC.
15. (9–10-е классы) Даны окружность и не лежащая на ней точка. Из всех треугольников, одна вершина которых совпадает с данной точкой, а две другие лежат на окружности, выбран треугольник наибольшей площади. Докажите, что он равнобедренный.
16. (9–11-е классы) Три прямые проходят через точку O и образуют попарно равные углы. На одной из них взяты точки A1, A2, на другой — B1, B2 так, что точка C1 пересечения прямых A1B1 и A2B2 лежит на третьей прямой. Пусть C2 — точка пересечения A1B2 и A2B1. Докажите, что угол C1OC2 прямой.
17. (9–11-е классы) Дан треугольник ABC и точки X, Y, не лежащие на его описанной окружности. Пусть A1, B1, C1 — проекции X на BC, CA, AB, а A2, B2, C2 — проекции Y. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из A1, B1, C1 на соответственно B2C2, C2A2, A2B2, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда прямая XY проходит через центр окружности, описанной около ABC.
18. (9–11-е классы) На плоскости даны три параллельные прямые. Найдите геометрическое место центров вписанных окружностей треугольников, вершины которых расположены (по одной) на этих прямых.
19. (10–11-е классы) Дан выпуклый n-угольник A1...An. Пусть Pi (i = 1, ..., n) — такая точка на его границе, что прямая AiPi делит его площадь пополам. Дано, что все точки Pi не совпадают с вершинами и лежат на k сторонах n-угольника. Каково наименьшее и наибольшее возможное значение k при каждом данном n?
20. (10–11-е классы) В остроугольном треугольнике ABC точка H — ортоцентр, O — центр описанной окружности, AA1, BB1 и CC1 — высоты. Точка C2 симметрична C относительно A1B1. Докажите, что H, O, C1 и C2 лежат на одной окружности.
21. (10–11-е классы) Дан четырехугольник ABCD, противоположные стороны которого пересекаются в точках P и Q. Две прямые, проходящие через эти точки, пересекают стороны четырехугольника в четырех точках, являющихся вершинами параллелограмма. Докажите, что центр этого параллелограмма лежит на прямой, соединяющей середины диагоналей ABCD.
22. (10–11-е классы) Постройте четырехугольник, в который можно вписать и около которого можно описать окружность, по радиусам этих окружностей и углу между диагоналями.
23. (10–11-е классы) Верно ли, что при любом n правильный 2n-угольник является проекцией некоторого многогранника, имеющего не более чем n + 2 грани?
24. (11-й класс) Дана четырехугольная пирамида, в которую можно вписать сферу. Точку касания этой сферы с основанием пирамиды спроектировали на ребра основания. Докажите, что все проекции лежат на одной окружности.