Логарифм и экспонента

1. Закон падения

Выпущенный из рук камень начинает падать. При этом он ускоряется — его скорость растет по мере падения. Это легко заметить «на глаз». Однако сразу не ясно, по какому закону растет скорость.

Сейчас мы знаем, что скорость пропорциональна времени падения. Такое движение называют равноускоренным, а коэффициент пропорциональности — ускорением свободного падения. Оно обозначается буквой g и примерно равно 9,8 метров в секунду. Это странное выражение означает, что за секунду скорость падающего предмета увеличивается на 9,8 метров в секунду.

Но в эпоху Галилея (до Ньютона с его законами механики) это было вовсе не очевидно, и можно было предполагать самые разные законы движения. Один из законов, которые рассмотрел Галилей, был таким: скорость падающего камня пропорциональна пройденному им пути (в двух метрах от начала падения скорость вдвое больше, чем в одном метре и т.п.).

Однако Галилей обнаружил, что закон этот неправильный. При этом ему даже не потребовалось ставить опыты. Выяснилось, что такой закон не может действовать не только в реальном мире, но и в воображаемом. Нельзя, скажем, сделать компьютерную игру, в которой предметы будут падать по такому закону. А именно, в этой игре падение не сможет начаться за конечное время.

Что это значит и почему так происходит, мы вскоре объясним.

Но раз уж мы заговорили про Галилея, то надо еще сказать, что именно он открыл — и подтвердил опытами — правильный закон падения (скорость пропорциональна времени падения) и изучил его последствия. В частности, он выяснил, что брошенный под углом камень движется по параболе и что пройденные за равные промежутки времени пути (при падении вниз) образуют арифметическую прогрессию.

2. Оценка времени движения

Сейчас мы приведем рассуждение Галилея. Предположим, что скорость пропорциональна пройденному пути. Для удобства будем считать, что она численно равна ему (этого всегда можно добиться, выбирая подходящие единицы измерения времени). Чтобы рисовать было удобнее, будем считать движение горизонтальным.

Итак, пусть предмет движется по прямой слева направо, начиная от точки O, и его скорость равна пройденному пути. Например, в точке 1 (на расстоянии 1 м от точки O) его скорость равна 1 м/с, в точке 2 его скорость равна 2 м/с и так далее.

Мы говорим «метр» и «секунда», потому что надо же как-то называть единицы длины и времени, но, конечно, это не принципиально.

Зададим себе такой вопрос: сколько времени понадобится, чтобы пройти от точки 1 до точки 2? Для этого надо вспомнить, что скорость есть расстояние, проходимое за единицу времени:

и потому время получается делением пути на скорость:

Если, скажем, вы едете на машине со скоростью 60 км/ч, то расстояние в 90 км вы проедете за полтора часа, так как При этом мы предполагаем, что движение было равномерным (скорость не менялась).

При неравномерном движении надо различать среднюю скорость и мгновенную скорость. Если за какой-то час мы проехали 60 км, то средняя скорость движения за этот час была 60 км/ч. При этом движение могло не быть равномерным. Например, пусть за первые полчаса мы проехали 40 км, а за вторые полчаса — оставшиеся 20 км. Тогда на первом участке средняя скорость была 80 км/ч (делим 40 км на  ч), а на втором — лишь 40 км/ч. Так что, строго говоря, нам следовало бы написать:

а потом добавить, что мгновенная скорость — это средняя скорость за малый промежуток времени. Насколько малый? Настолько, чтобы можно было пренебречь изменениями скорости и считать движение равномерным.

Пример. Пусть на участке шоссе длиной в 90 км минимальная разрешенная скорость равна 60 км/ч, а максимальная — 120 км/ч. За какое время можно проехать этот участок, не нарушая правил?

Ответить на этот вопрос легко. Если бы машина все время ехала с минимальной скоростью (60 км/ч), то ей потребовалось бы При максимальной скорости (120 км/ч) она бы проехала эти же 90 км вдвое быстрее, за часа, то есть за 45 минут. Поскольку скорость машины может меняться между минимальной и максимальной скоростями, время движения находится где-то между тремя четвертями и полутора часами.

После этого вернемся к нашему вопросу: сколько времени потребуется, чтобы пройти метровый отрезок от точки 1 до точки 2? Скорость при этом возрастает вместе с пройденным расстоянием. В точке 1 она минимальна и равна 1 м/с, а в точке 2 — максимальна и равна 2 м/с. Поэтому время заключено где-то между 1 секундой (что соответствует минимальной скорости) и секунды (что соответствует максимальной скорости).

Мы потом увидим, что это время можно найти и точнее, но пока что нам достаточно и этой грубой оценки:

Здесь через T(1; 2) мы обозначили время движения от точки 1 до точки 2.

А сколько понадобится времени, чтобы пройти отрезок от точки 2 до точки 4? Длина этого отрезка равна 2, минимальная скорость равна 2 (на левом конце), а максимальная — 4 (на правом). Получаем, что

то есть

На отрезке от 4 до 8 минимальная скорость равна 4, а максимальная — 8, так что снова

Вообще, на отрезке от a до 2a при произвольном a > 0 минимальная скорость равна a, а максимальная равна 2a. Длина отрезка равна a, поэтому

При этом число a не обязано быть целым. Например, при мы получаем, что время движения по участку от до 1 не меньше полсекунды и не больше секунды. Это и неудивительно, так как длина участка — полметра, а скорость меняется от метра в секунду до 1 метра в секунду.

После этой подготовки изложим рассуждение Галилея. Разобьем полупрямую с началом в точке O на отрезки точками

(бесконечная в обе стороны геометрическая прогрессия, составленная из степеней двойки).

Кажжый отрезок требует полсекунды

Для каждого из отрезков

координата правого конца вдвое больше координаты левого, и при движении по нашему закону (путь численно равен скорости) на каждый отрезок времени уходит от полсекунды до секунды. Значит, с момента начала движения должно пройти бесконечно много времени, так как на участке от 0 до 1 укладывается бесконечно много отрезков.

Другими словами: от точки 2^–100 (например) до точки 1 укладывается 100 отрезков, каждый из которых требует по меньшей мере полсекунды. Значит, движение должно начаться по крайней мере за 50 секунд до прохождения точки 1. Но поскольку вместо 100 можно взять любое сколь угодно большое число, то получается, что от начала движения должно пройти сколь угодно большое время. То есть движение по такому закону не может начинаться с нуля (из состояния покоя).

3. Более точная оценка

Мы выяснили, что движение не может начаться из состояния покоя, если путь пропорционален времени. Но все-таки можно ли узнать, сколько при таком законе движения потребуется времени, чтобы пройти путь от точки 1 до точки 2? или от точки 2 до точки 4? Мы знаем, что от полсекунды до секунды, но можно ли сказать точнее?

Оказывается, что можно. Вот как это делается. Рассмотрим движение от 2 до 4 по частям: сначала от 2 до 3, а потом от 3 до 4. Обе половины отрезка имеют длину по метру. В первой половине скорость менялась от 2 до 3 метров в секунду, поэтому время прохождения находится где-то между секунды. Во второй половине скорость менялась от 3 до 4 метров в секунду, поэтому время прохождения находится между Таким образом, суммарное время заключено между Сказанное можно записать так:

а поскольку T(2; 4) = T(2; 3) + T(3; 4), то

Таким образом, мы уточнили нашу оценку. Раньше мы знали, что T(2; 4) находится в интервале от 0,5 до 1, а теперь получили меньший интервал — от (длина интервала равна и уменьшилась вдвое по сравнению с прежней оценкой).

Ровно такую же оценку можно получить и для промежутка от 1 до 2. А именно, мы разбиваем его на две половины: Обе они имеют длину полметра. В левой половине скорость меняется от 1 до 1,5 метров в секунду, в правой — от 1,5 до 2 метров в секунду. Поэтому время прохождения левой половины заключено между секунды, а время прохождения правой — между секунды.

Те же самые рассуждения можно повторить для отрезка от a до 2a при любом a. Середина отрезка находится в точке 1,5a. Левая половина имеет длину 0,5a и проходится со скоростью, возрастающей от a до 1,5a, то есть за время T(a; 1,5a), для которого

Для правой половины:

В сумме получаем:

Неудивительно, что оценка получается одинаковой при любом a. Скажем, отрезок от 2 до 4 вдвое длиннее отрезка от 1 до 2, зато и скорости на соответствующих участках вдвое больше, так что возрастание длины компенсируется возрастанием скорости.

4. Еще более точная оценка

Можно еще улучшить точность, разделив отрезок на большее число частей. Пусть, скажем, n. Для удобства возьмем отрезок от n до 2n, тогда он разделится на n отрезков длины 1, и концы отрезков будут целыми числами (n, n + 1,
n + 2, ..., 2n – 1, 2n).

На первом отрезке (от n до n + 1) скорость не меньше n и не больше n + 1, так что

На втором отрезке (от n + 1 до n + 2) скорость не меньше n + 1 и не больше n + 2, так что

И так далее — для последнего отрезка (от 2n – 1 до 2n) получим:

Складывая все времена, получаем:

Мы взяли отрезок от n до 2n лишь для удобства. Если разделить любой отрезок от a до 2a на n равных частей, получатся те же самые оценки. Скажем, если взять отрезок от 1 до 2, то каждая часть имеет длину . Левая из них простирается от 1 до . Скорость на ней (численно равная координате) меняется от 1 до поэтому

— та же самая оценка, что и раньше. (Что и неудивительно, ведь длина и скорость уменьшились в n раз, а отношение их осталось прежним.) То же самое получится и для всех следующих отрезов, так что в сумме выйдет та же оценка:

Увеличивая n, мы можем получать все более точные оценки для T(1; 2). Насколько точные? Заметим, что справа и слева стоят одни и те же слагаемые, за двумя исключениями: слева стоит , которого нет справа, а справа есть которого нет слева. Значит, разность между правой и левой частями (между верхней и нижней оценкой) равна

Отсюда видно, что мы можем сблизить оценки сверху и снизу настолько близко, насколько захотим. Например, при n = 500 разница между ними будет , так что мы можем найти T(1; 2) с ошибкой не более  — надо только сложить пятьсот слагаемых. Современные компьютеры позволяют сделать это почти мгновенно, но вручную это дело нелегкое.

Помимо практического (хотя и не очень практичного — есть гораздо более быстрые) способа вычисления T(1; 2), из наших рассуждений можно извлечь и теоретическое следствие. А именно, мы по существу уже доказали, что

T(1; 2) = T(a; 2a)

при любом a. В самом деле, сделанные нами оценки годятся для любого a и показывают, что оба этих числа заключены между

то есть попадают в один и тот же отрезок длины .
Значит, разница между T(1; 2) и T(a; 2a) не превосходит . Взяв n = 500, видим, что эта разница не больше одной тысячной. Взяв n = 500 000, видим, что она не больше одной миллионной. Поскольку число n можно взять сколь угодно большим, то этой разницы должно не быть вовсе.

5. Отступление: аксиома Архимеда

Бдительные любители строгости должны в этот момент взволноваться и спросить: а почему? Мы знаем, что наша разница (обозначим ее d) меньше одной сотой, тысячной, одной миллионной и вообще меньше при любом натуральном n. Но почему отсюда следует, что d = 0? Можно ли это строго доказать?

Вопрос этот не такой простой: что значит «строго доказать»? В геометрии доказать — значит вывести из аксиом, но каковы эти аксиомы? Еще в древней Греции было сформулировано такое утверждение:

Какой бы ни взять отрезок X и меньший его отрезок x, можно отложить меньший отрезок столько раз, что он станет длиннее большего.

Это утверждение теперь принято называть аксиомой Архимеда — по имени великого древнегреческого математика и механика Архимеда, хотя он не первый, кто эту аксиому применял.

Другими словами, какое бы положительное число X и какое бы меньшее положительное x ни взять, всегда будетx + x + x + ... + x > X,

если только взять достаточное число слагаемых; другими словами: найдется такое натуральное n, что nx > X. Взяв X = 1, заключаем, что для любого x > 0 найдется такое натуральное n, что nx > 1, то есть . (Мы опускает оговорку x < X, так как при x ≥1 достаточно взять n = 1 или n = 2.)

Поэтому, как бы ни было мало расстояние между T(1; 2) и T(a; 2a) — если только оно не нулевое, всегда найдется n, при котором это расстояние больше А поскольку, как мы доказали, такого n не найдется, это расстояние равно нулю.

Доказательство, конечно, странноватое: по существу мы объявили используемое нами утверждение аксиомой. Бывают другие аксиоматические построения математики, при которых «аксиому Архимеда» можно доказать (то есть вывести из других аксиом). Но вопрос о построении теории действительных чисел (длин отрезков) совсем не прост. Как вы думает, например, числа 0,29999... (девятка в периоде) и 0,20000... (нуль в периоде) — это одно и то же число или разные? И если разные, то чему равна разность между ними? И чему равно их среднее арифметическое (полусумма)?

Шень А.