Главная страница «Первого сентября» • Главная страница журнала «Математика» • Содержание №3/2009

XVIII Турнир Архимеда

Оргкомитет Турнира Архимеда совместно с редакцией газеты «Математика» объявляет конкурс решения задач для учащихся 6–7-х классов. Решения просим выслать до 15 марта 2009 г. (по почтовому штемпелю) по адресу: 121165, Москва, ул. Киевская, 24, редакция газеты «Математика», с пометкой на конверте: «Турнир». В письмо следует также вложить конверт с маркой и адресом школьника — в нем будут высланы результаты проверки. В письме просим указать номер школы, класс, фамилию ученика, имя, отчество учителя математики.

1. Набор карточек. У Васи есть набор из 10 карточек с цифрами от 0 до 9. Он хочет вложить карточки в ячейки равенства так, чтобы цифры в ячейках одного цвета были другой четности, чем в ячейках другого. Какие пять карточек он может выбрать? Укажите все варианты.

2. Найдите число. Если между цифрами некоторого двузначного числа вписать это же число, то полученное четырехзначное число будет больше первоначального в 77 раз. Найдите это число.

3. Прямоугольники. Есть прямоугольники вида 1 x 1, 1 x 2, ..., 1 x 2009.

а) Можно ли их сложить в прямоугольник со сторонами больше единицы?

б) Можно ли из них сложить квадрат?

4. Странный кузнечик прыгает по прямой: сначала 10 прыжков вправо — 2 прыжка влево, 10 прыжков вправо — 1 влево, затем цикл повторяется. Каждый прыжок кузнечика — 10 см.

а) На каком расстоянии от старта он окажется, сделав 1000 прыжков?

б) Сколько прыжков ему потребуется, чтобы оказаться на расстоянии 100 м вправо?

5. Точки и квадраты. В квадрате из точек двое по очереди обводят по точке. Проигрывает тот, кто обводит четвертую вершину квадрата, состоящего из обведенных точек. На первом рисунке — пример: крестиком отмечены точки, обведение которых будет означать проигрыш. На втором рисунке укажите ход, который не приведет к проигрышу. Сколько таких ходов существует?

6. На острове рыцарей и лжецов. Чтобы попасть в пещеру с сокровищами на острове, населенном рыцарями и лжецами (лжецы всегда лгут, рыцари всегда говорят правду), Али-Баба должен пройти испытание: угадать пароль — натуральное число от 1 до 200. Али-Баба знает, что местным жителям острова пароль известен. Случайно он подслушал разговор семи местных жителей (назовем их для краткости А1, А2, А3, А4, А5, А6, А7), стоящих в очереди за шербетом.

Вот, что он услышал:

А1: Или А3, или А6 — лжец. А может быть, и оба.

А2: Одно из двух: я либо первый рыцарь в очереди, либо первый лжец.

А3: Требуемое число делится на порядковые номера всех лжецов в очереди.

А4: Я последний лжец, который высказывается сегодня.

А5: В очереди имеется две пары стоящих друг за другом лжецов.

А6: Тот, кто стоит в очереди последним, — рыцарь.

А7: Сумма порядковых номеров всех рыцарей в очереди является делителем пароля.

Помогите Али-Бабе попасть в пещеру.

7. Доминошки. На шахматную доску размером 2009 x 2009 укладывают доминошки. Известно, что в любой строке и в любом столбце есть клетка, покрытая доминошкой. Какое минимальное количество доминошек потребуется для этого?

8. Три кучки камней. Есть три кучки камней. За один шаг из одной в другую перекладывать столько, сколько во второй уже есть. Всегда ли можно за конечное число шагов уравнять какие-нибудь две кучки?