Главная страница «Первого сентября» • Главная страница журнала «Математика» • Содержание №3/2009

Алгебра: Сборник заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации в 9 классе

Вероятность и статистика. Примеры заданий

Задания, включенные в представленный ниже список, предлагаемые для включения в экзаменационную работу, направлены на проверку следующих умений:

  • решать комбинаторные задачи, используя перебор всех возможных вариантов или правило умножения, а в заданиях второй части — еще и некоторые специальные приемы;
  • определять такие статистические характеристики, как среднее арифметическое, медиана, мода, выполняя при этом необходимые подсчеты;
  • находить относительную частоту и вероятность случайного события, используя готовые статистические данные; отвечать на простейшие вопросы статистического характера;
  • вычислять вероятность события в классической модели (в заданиях первой части — в простейших ситуациях, в заданиях второй части — с использованием комбинаторики для определения числа исходов);
  • вычислять геометрическую вероятность.

Задания для части 1

Комбинаторика

1.  Выписаны в порядке возрастания все трехзначные числа, в записи которых используются только цифры 0, 2, 4, 6. Какое число следует за числом 426?

2. Номера российских автомобилей состоят из записанных последовательно одной буквы, трех цифр и двух букв. При этом используются только буквы АВЕКМНОРСТУХ. Номера выдает компьютер в строгом порядке: цифры — по возрастанию, буквы — по алфавиту. Какой номер следует за номером «У 899 ХХ»?

А. X 899 ХХ.
Б. У 900 AA.
В. У 999 ХХ.
Г. A 899 AA.

3. Из класса, в котором учатся 15 девочек и 10 мальчиков, нужно выбрать одну девочку и одного мальчика для ведения школьного вечера. Сколькими способами это можно сделать?

4. В чемпионате города по футболу играет десять команд. Сколькими способами могут распределиться три призовых места?

5. В расписании уроков на среду для 1-го класса должно быть четыре урока: два урока математики, урок чтения и урок физкультуры. Сколькими способами можно составить расписание на этот день?

6. В конференции участвовали 30 человек. Каждый участник с каждым обменялся визитной карточкой. Сколько всего понадобилось карточек?

7. Сколько трехзначных чисел можно записать, используя только цифры 0, 2, 4, 6?

8.  В меню школьной столовой 2 разных супа, 4 вторых блюда и 3 вида сока. Сколько можно составить вариантов обеда из трех блюд?

Вероятность

9.  Доля брака при производстве процессоров составляет 0,05%. С какой вероятностью процессор только что купленного компьютера окажется исправным?

А. 0,05. Б. 0,95. В. 0,0095. Г. 0,9995.

10.  Из слова ЭКЗАМЕН случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность того, что она окажется гласной?

11.  Из класса, в котором учатся 15 мальчиков и 10 девочек, выбирают по жребию одного дежурного. Какова вероятность того, что это будет девочка?

12. Одновременно бросают 2 монеты. С какой вероятностью на них выпадут два «орла»?

13.  Из коробки, в которой a белых и b черных шаров, наугад вынимают один шар. Вероятность того, что он будет белым, равна...

14. В ящике 2 красных и 2 синих шара. Из него, не глядя, вынимают два шара. Какова вероятность того, что они будут одного цвета?

Статистика

15.  Из трех кандидатов в сборную России по стрельбе из арбалета нужно отобрать двоих. Решено сделать этот отбор по относительной частоте попадания в мишень, которую они показали на тренировочных сборах. Результаты представлены в таблице.

Фамилия стрелка

Число выстрелов

Число попаданий

Лучкин

120

100

Арбалетов

200

120

Пулькин

150

110

Кто из спортсменов будет включен в сборную?

А. Лучкин и Арбалетов.
Б. Арбалетов и Пулькин.
В. Лучкин и Пулькин.
Г. Все одинаково достойны.

16. Вася засекал в течение недели время, которое он тратит на дорогу в школу и из школы:

День недели

Пн

Вт

Ср

Чт

Пт

Сб
Время до школы (мин)

19

20

21

17

22

24
Время из школы (мин)

28

22

20

25

24

22

На сколько минут в среднем дорога из школы занимает у него больше времени, чем дорога в школу?

17. Поезда прибывали на станцию метро со следующими интервалами:

2 мин 11 с; 2 мин 8 с; 2 мин 10 с; 2 мин 12 с; 2 мин 19 с.

Найдите среднее значение и медиану данного ряда интервалов движения.

18.  В течение четверти Таня получила следующие отметки по физике: одну двойку, шесть троек, три четверки и пять пятерок. Найдите среднее арифметическое и моду ее оценок.

19.  Президент компании получает зарплату 100 000 р. в месяц, четверо его заместителей — по 20 000 р., а 20 служащих компании — по 10 000 р. Найдите среднее арифметическое и медиану зарплат всех сотрудников компании.

20.  Какое из утверждений неверно?

А. Если ряд состоит из одинаковых чисел, то его размах равен 0.
Б. Если ряд состоит из одинаковых чисел, то его среднее арифметическое и медиана равны.
В. Если размах ряда равен 0, то он состоит из одинаковых чисел.
Г. Если среднее арифметическое и медиана ряда равны, то он состоит из одинаковых чисел.

Задания для части 2

Комбинаторика

1.  (2) На деловую встречу пришло 5 человек. Каждый с каждым обменялся рукопожатием. Сколько всего рукопожатий было совершено?

2.  (4) В расписании уроков на среду для 7-го класса должно быть пять уроков: алгебра, русский язык, литература, география и физкультура. Сколькими способами можно составить расписание на этот день, если уроки русского языка и литературы должны стоять рядом, а урок физкультуры — последним?

3.  (4) Из нечетных цифр составляют все возможные числа, содержащие не более четырех цифр. Сколько существует таких чисел?

4.  (6) После хоккейного матча каждый игрок одной команды обменялся рукопожатием с каждым игроком другой команды. Сколько всего игроков присутствовало на площадке, если было совершено 323 рукопожатия?

Вероятность

5.  (2) Подбрасывают два игральных кубика. Какова вероятность того, что в сумме выпадет
5 очков?

6.  (2) Карточки с цифрами 1, 2, 3, 4, 5 перемешивают и выкладывают в ряд. Какова вероятность того, что получится четное число?

7.  (2) Подбрасывают два игральных кубика. Какова вероятность того, что оба числа окажутся меньше 5?

8.  (2) Буквы слова КУБИК перемешивают и случайным образом выкладывают в ряд.
С какой вероятностью снова получится это же слово?

9.  (2) Игральный кубик бросили два раза. Какое событие более вероятно?

А = «оба раза выпала шестерка»;
В = «в первый раз выпала единица, а во второй – шестерка»;
С = «сумма выпавших очков равна 2»?

А. А. Б. В. В. С. Г. Все события равновероятны.

10.  (2) На отрезок [–2; 2] наносят случайную точку. Какова вероятность того, что ее координата будет больше 1?

11.  (4) В классе, где учится Наташа, по жребию выбирают двух дежурных. Какова вероятность того, что Наташа будет дежурить, если в классе 25 учеников?

12.  (4) Два пассажира садятся в электричку из 8 вагонов.
С какой вероятностью они окажутся в разных вагонах, если каждый из них выбирает вагон случайным образом?

13.  (4) Два мальчика и две девочки разыгрывают по жребию два билета в кино. С какой вероятностью в кино пойдут мальчик и девочка?

14.   (6) В урне 10 шаров белого и черного цвета. Вероятность того, что среди двух одновременно вынутых из нее шаров оба будут черные, равна . Сколько в урне белых шаров?

15.  (6) Номера российских автомобилей состоят из записанных последовательно одной буквы, трех цифр и двух букв. При этом используются только буквы АВЕКМНОРСТУХ.
С какой вероятностью все цифры и все буквы в номере автомобиля будут разными?

16.  (6) В квадрат со стороной, равной 1, ставят случайную точку. Какова вероятность того, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата не превосходит 0,25?

Статистика

17.  (2) В городе пять школ. В таблице приведен средний балл, полученный выпускниками каждой из этих школ за экзамен по математике:

Номер школы

1

2

3

4

5

Количество выпускников

60

70

30

50

70

Средний балл

60

54

68

72

54

Найдите средний балл выпускного экзамена по математике по всему городу.

18.  (4) Рост Маши равен 132 см, а медиана ростов всех девочек из ее класса равна 130 см. Какое из утверждений верно?

А. В классе обязательно есть девочка выше Маши. Б. В классе обязательно есть девочка ростом 130 см. В. В классе обязательно есть девочка ростом менее 130 см. Г. В классе обязательно есть девочка ниже Маши.

19.  (4) При каких значениях x медиана ряда чисел: 1, 2, 3, 4, x будет равняться 3?

20.  (4) При каких значениях x среднее арифметическое ряда чисел 1, 2, 3, 4, x будет равняться 3?

Ответы и решения

 Ч-1

1.  440.

Самый младший разряд числа 426 (то есть разряд единиц) увеличить нельзя — там стоит цифра 6. Разряд десятков увеличить можно — нужно цифру 2 заменить на следующую за ней цифру 4. После этого в разряд единиц нужно поставить минимальную цифру — 0.

2. Б.

Решение аналогично предыдущей задаче, только к цифрам добавляются буквы.

3.  150.

Применим правило умножения: девочку можно выбрать 15 способами, мальчика — 10 способами, пару мальчик–девочка — 15 10 = 150 способами.

4.  720.

На первое место можно поставить любую из десяти команд, на второе — любую из девяти оставшихся, на третье — любую из восьми оставшихся. По правилу умножения, общее число способов, которыми можно распределить три места, равно 1098 = 720.

5. 12.

Урок чтения можно поставить на любой из четырех уроков, урок физкультуры — на любой из трех оставшихся. После этого для двух уроков математики останется единственный вариант поставить их в расписание. По правилу, умножения общее число способов составить расписание на среду равно 43 = 12.

6.  870.

Каждый из 30 участников конференции роздал 29 карточек. Значит, всего было роздано 3029 = 870 карточек.

7.  48.

На первое место можно поставить любую из цифр, кроме нуля, — это 3 варианта; на второе место — любую из четырех цифр; на третье — тоже любую из четырех цифр. По правилу умножения общее количество вариантов равно 344 = 48.

8.  24.

Первое блюдо можно выбрать двумя способами, второе блюдо — четырьмя способами и третье блюдо — тремя способами. По правилу умножения общее количество вариантов равно 243 = 24.

9.  Г.

Исправные процессоры составляют 99,95% от общего числа, поэтому искомая вероятность равна 0,9995.

10. 

Опыт имеет 7 равновозможных исходов (букв), из которых 3 — благоприятные (гласные буквы). Поэтому вероятность равна

11. 

Опыт имеет 25 равновозможных исходов (учеников), из которых 10 — благоприятные (девочки). Поэтому вероятность равна

12.

Опыт имеет 4 равновозможных исхода: ОО, ОР, РО, РР, из которых благоприятным будет только один — ОО. Поэтому вероятность равна

13.  Б.

Опыт имеет a + b равновозможных исходов (шаров), из которых a — благоприятные (белые). Поэтому вероятность равна

14. В.

Способ I. Пронумеруем мысленно все шары: 1, 2, 3, 4. Будем считать, что шары 1 и 2 — красные, а 3 и 4 — синие. Составим таблицу:

1

2

3

4

К

К

С

С

Опыт имеет 6 равновозможных исходов: 12, 13, 14, 23, 24, 34 (шары вынимают одновременно, поэтому порядок шаров в каждой паре не учитываем). Из этих шести исходов благоприятными будут два исхода: 12, 34. Поэтому искомая вероятность равна

Способ II. Будем считать, что шары вынимают не одновременно, а последовательно без возвращения (понятно, что ответ от этого не зависит). После того как вытащили первый шар, независимо от его цвета, в урне осталось три шара, из которых только один имеет тот же самый цвет. Поэтому искомая вероятность равна

15.  В.

Найдем относительную частоту попаданий для каждого стрелка и сравним их:

Лучкин — Арбалетов —

Пулькин —

16.  На 3 мин.

Способ I. Найдем среднее время, затраченное на дорогу в школу, на дорогу из школы, а затем их разность:

Способ II. Найдем для каждого из шести дней недели разность между временем, затраченным на дорогу из школы и на дорогу в школу, а затем среднее значение этих разностей:

17. Ответ: 2 мин 12 с; 2 мин 11 с.

Для вычисления среднего значения нужно перевести временные интервалы в однородные единицы измерения (секунды). Но поскольку для всех членов ряда число минут одинаково, то можно упростить вычисления, найдя среднее только по «секундной части»:

Среднее арифметическое для данного ряда равно 2 мин 12 с. Для вычисления медианы ряд нужно упорядочить:

2 мин 8 с < 2 мин 10 с < 2 мин 11 с < 2 мин 12 с < 2 мин 19 с.

Медиана равна 2 мин 11 с.

18. 3,8; 3.

Среднее арифметическое равно

Максимальную частоту имеет оценка «3», которая и будет модой.

19.  15 200 р., 10 000 р.

Чтобы не писать лишние нули, будем считать все зарплаты не в рублях, а в тысячах рублей. Среднее арифметическое равно

Если выписать весь ряд зарплат по возрастанию, получим: 10, 10, ..., 20, 20, 20, 20, 100. Очевидно, что в середине ряда будут числа 10, поэтому медиана равна 10.

20.  Г.

Например, для ряда 1, 2, 3 среднее арифметическое и медиана равны.

Ч-2

1.  10.

Каждое рукопожатие — это пара (неупорядоченная), которую можно составить из пяти человек. На первое место в паре можно поставить любого из пяти человек, на второе — любого из четверых оставшихся. Всего таких пар, по правилу умножения, будет 54 = 20. Но при этом будет учитываться порядок людей в паре (например, Иванов–Петров и Петров–Иванов будут считаться разными парами). Поскольку в рукопожатиях порядок людей учитывать не надо, то полученный результат нужно поделить на 2:

2.  12.

Урок физкультуры сразу поставим на последнее место и уже не будем учитывать:

Ф

Два соседних места для уроков русского языка и литературы можно выбрать тремя способами. Поставить их на эти выбранные места можно двумя способами. После этого урок алгебры можно поставить на любое из двух оставшихся мест, а урок географии — на единственное оставшееся. По правилу умножения получаем:

3221 = 12.

3.  780.

Нечетных цифр пять: 1, 3, 5, 7, 9. Очевидно, однозначных чисел можно составить 5. Количество двузначных, трехзначных и четырехзначных чисел можно найти по правилу умножения:

двухзначных — 55 = 25;
трехзначных — 555 = 125;
четырехзначных — 5555 = 625.

Ответ найдем по правилу сложения: 5 + 25 + 125 + 625 = 780.

4.  36.

Пусть в первой команде было m игроков, а во второй — n игроков. Тогда всего было совершено, по правилу умножения, mжn рукопожатий. Получаем уравнение с двумя неизвестными, которое нужно решить в целых числах: mn = 323. Поскольку m и n не могут равняться 1 (в хоккейной команде не может быть один игрок), то уравнение имеет всего два решения (других способов разложить 323 на два множителя нет): m = 17, n = 19 или m = 19,
n = 17. В любом случае их сумма равна 36.

5.

При подбрасывании двух игральных кубиков имеем 36 равновозможных исходов. Из них благоприятными будут 4 исхода:

1 + 4, 2 + 3, 3 + 2, 4 + 1.

Отсюда вероятность равна

6.

Способ I. Исходами опыта являются перестановки из пяти чисел, которых 5!. Чтобы получить благоприятный исход (т.е. перестановку с четной цифрой на конце), нужно поставить на последнее место любую из двух четных цифр (2 варианта), на предпоследнее — любую из четырех оставшихся (4 варианта), перед ней — любую из трех оставшихся (3 варианта) и т.д. Всего, по правилу умножения, 24421 = 24! благоприятных исходов. Отсюда вероятность равна

Способ II . Поскольку четность числа зависит только от последней цифры, то будем выкладывать наше число именно с нее. Вероятность вытащить из пяти цифр 1, 2, 3, 4, 5 четную цифру равна Это и будет искомой вероятностью, так как от остальных четырех цифр четность числа уже не зависит.

7.

При подбрасывании двух игральных кубиков имеем 36 равновозможных исходов. Чтобы получился благоприятный исход, на первом кубике должно выпасть любое число от 1 до 4 (это 4 варианта) и на втором кубике — любое число от 1 до 4 (4 варианта). Всего, по правилу умножения, 44 = 16 благоприятных исходов. Отсюда вероятность равна

8.  

Опыт имеет 5! равновозможных исходов — это перестановки из пяти букв. Если бы все буквы были различными, то благоприятный исход был бы только один. Но поскольку в слове две буквы К, то при двух разных перестановках получится одно и то же слово КУБИК. Таким образом, благоприятных исходов будет два, поэтому вероятность равна

9. Г.

Опыт имеет 66 = 36 равновозможных исходов. Для события A — один благоприятный исход; для события B — один благоприятный исход; для события C — один благоприятный исход (на обоих кубиках выпали 1). Отсюда все события имеют одинаковую вероятность

10.

Длина всего отрезка равна 4. Длина той его части, где координата больше 1, равна 1. Отсюда вероятность равна

11.

Способ I. Исходами опыта являются (неупорядоченные) пары, которые можно составить из 25 человек. Всего таких пар — Благоприятными исходами будут пары, в которые входит Наташа. Наташу можно поставить в пару с любым из 24 ее одноклассников, значит, таких пар 24. Поэтому искомая вероятность равна

Способ II. Представим себе, что двоих дежурных выбирают так: в мешок кладут 25 бумажек, на двух из которых нарисован крестик. Ученики по очереди тащат бумажки из шапки. Кому досталась бумажка с крестиком — тот и дежурит. Для простоты будем считать, что Наташа тащит бумажку первой (ответ от этого не зависит). Очевидно, что вероятность вытащить бумажку с крестиком равна в этом случае

12.

Способ I. Опыт представляет собой выбор двух вагонов из восьми с повторением: первый пассажир может выбрать любой из восьми вагонов, второй пассажир тоже может выбрать любой из восьми вагонов. Общее количество исходов равно 88. Чтобы исход был благоприятным, первый человек может сесть в любой из восьми вагонов, а второй — в любой из семи оставшихся, поэтому количество благоприятных исходов равно 87. Отсюда искомая вероятность будет равна

Способ II. Пусть первый человек уже сел в какой-нибудь вагон. Если второй человек выбирает вагон наугад, то у него остается 7 шансов из 8 выбрать его так, чтобы не попасть в тот же вагон. Поэтому вероятность равна

13.

Способ I. Пронумеруем мысленно всех детей: 1, 2, 3, 4. Будем считать, что номера 1 и 2 получили мальчики, а номера 3 и 4 — девочки:

1

2

3

4

М

М

Д

Д

Исходами опыта являются (неупорядоченные) пары, которые можно составить их четырех чисел. Выпишем все эти исходы: 12, 13, 14, 23, 24, 34. Из этих шести исходов благоприятными будут четыре исхода: 13, 14, 23, 24. Поэтому искомая вероятность равна

Способ II. Будем считать, что два билета разыгрывают так: в мешок кладут 4 бумажки с именами детей, а затем одну за другой вынимают две бумажки — их владельцы и идут в кино. После того как вытащили первую бумажку, независимо от того, кому она принадлежит, в мешке осталось три бумажки, из которых две принадлежат детям одного пола. Поэтому искомая вероятность равна

14. 7.

Обозначим неизвестное количество черных шаров в урне через x. Исходами опыта будут всевозможные пары, которые можно составить из 10 шаров. Количество таких пар равно (на 2 делим, потому что порядок шаров в паре не учитывается). Благоприятными будут всевозможные пары, которые можно составить из x черных шаров. Количество таких пар равно . Значит, вероятность вынуть два черных шара из такой урны равна . Получаем уравнение, которое нужно решить в натуральных числах:

15.

Найдем общее количество номеров, которое можно составить по описанным правилам. Всего в номере 6 мест:

1) любая из 12 букв;
2) любая из 10 цифр;
3) любая из 10 цифр;
4) любая из 10 цифр;
5) любая из 12 букв;
6) любая из 12 букв.

Всего номеров, по правилу умножения, 12 1010101212.

Найдем количество номеров, в которых все буквы и цифры разные:

1) любая из 12 букв;
2) любая из 10 цифр;
3) любая из 9 оставшихся цифр;
4) любая из 8 оставшихся цифр;
5) любая из 11 оставшихся букв;
6) любая из 10 оставшихся букв.

Всего номеров, по правилу умножения, 1210991110.

Искомая вероятность равна

16.

Площадь всего квадрата равна 1. Множество точек, расстояние от которых до ближайшей его стороны не превосходит 0,25, — это внешность квадрата со стороной 0,5:

Площадь этого множества равна 1 – 0,52 = 0,75. Отсюда вероятность равна 0,75.

17. 60.

Чтобы найти средний балл по всему городу, нужно сложить баллы всех выпускников города и поделить на общее количество выпускников. Общее количество выпускников равно: 60 + 70 + 30 + 50 + 70 = 280.

Если умножить количество учеников в школе на средний балл по школе, то получится сумма баллов в этой школе. Если сложить все такие произведения, то сумма всех баллов по городу:

6060 + 7054 + 3068 + 5072 + 7054 = 16 800.

Средний балл по городу:

18. В.

Верным является утверждение В. Если бы в классе не было девочек с ростом менее 130 см, то средний рост был бы больше 130 см, так как среднее арифметическое чисел, одно из которых равно 132, а остальные больше или равны 130, будет строго больше 130. Утверждения А и Б — неверные. Пример: 128; 132. Среднее равно 130. Утверждение Г — неверно. Пример: 129; 129; 132. Среднее равно 130.

19.  x ≥ 3.

После ранжирования (упорядочения) данного ряда чисел в зависимости от значений x, будет получен один из следующих рядов:

x, 1, 2, 3, 4 — если x < 1;
1, x, 2, 3, 4 — если 1 ≤ x < 2;
1, 2, x, 3, 4 — если 2 ≤ x < 3;
1, 2, 3, x, 4 — если 3 ≤ x < 4;
1, 2, 3, 4, x — если x > 4.

Найдем для каждого из этих пяти рядов его медиану: 2, 2, x, 3, 3. Получаем, что медиана равна 3 при x ≥ 3.

20. 5.

Запишем среднее арифметическое заданного ряда: . Решим уравнение:

 

Бунимович Е., Колесникова Т., Кузнецова Л., Рослова Л., Суворова С.