Советы по нахождению множества значений функции

Как известно, все значения, которые принимает функция f(x), образуют область значений функции. Вместо термина «область значений» часто используют термин «множество значений». Для обозначения множества значений применяется символ E(f).

Общий подход к нахождению множества значений непрерывной функции f(x) заключается в нахождении наибольшего и наименьшего значения функции f(x) в области ее определения (или в доказательстве того, что одно из них или оба не существуют).

Если эта процедура выполняется на отрезке, то следует применить следующий алгоритм:

1) найти производную данной функции f '(x); 2) найти критические точки функции f(x) и выбрать те из них, которые принадлежат данному отрезку; 3) вычислить значения функции на концах отрезка и в выбранных критических точках; 4) среди найденных значений выбрать наименьшее и наибольшее значения; 5) E(f) заключить между этими значениями.

Если областью определения функции является интервал, то используется та же схема, но вместо нахождения значения функции на концах отрезка находят пределы функции при стремлении аргумента к концам интервала. Естественно, что значения пределов не включаются в E(f).

Покажем применение общего подхода на примерах.

Во всех примерах требуется найти E(f) для функции y = f(x).

Пример 1.

Решение.

f'(x) = 0, если x = 0. f'(x) не существует, если то есть при x = ±3. Получаем три критические точки: x₁ = –3, x₂ = 0, x₃ = 3, две из которых совпадают с концами отрезка. Вычислим: f(–3) = 0, f(0) = 3, f(3) = 0. Таким образом, наименьшее значение f(x) равно 0, наибольшее значение равно 3.

Ответ: E(f) = [0; 3].

Пример 2.

Решение. D(y) = (– ∞; +∞),

y'(x) = 0, если x = 0.

Других критических точек нет, так как y'(x) существует при любых значениях x.

y(0) = 2 — наибольшее значение функции.

— нижняя граница множества значений функции.

Ответ: E(y) = (0; 2].

Другой способ отыскания E(f) основан на последовательном отыскании множества значений промежуточных функций, из которых составлена функция f(x). Поэтому предварительно рекомендуется повторить таблицу с множеством значений основных элементарных функций.

Функция f(x)	E(f)
f(x) = x2n, n N	[0; +∞)
f(x) = x2n–1, n N	(–∞; +∞)
f(x) = sin x	[–1; 1]
f(x) = cos x	[–1; 1]
f(x) = tg x	(–∞; +∞)
f(x) = ctg x	(–∞; +∞)
f(x) = ax, a > 0, a ≠ 1	(0; +∞)
f(x) = logax, a > 0, a ≠ 1	(–∞; +∞)
f (x) = arcsin x
f(x) = arccos x	[0; π]
f (x) = arctg x
f (x) = arcctg x	(0; π)

Пример 3. f(x) = 1 + 2sin² x.

Решение.

E(sin x) = [–1; 1],
E(sin² x) = [0; 1],
E(2sin² x) = [0; 2],
E(1 + 2sin² x) = [1; 3].

Замечание. При применении описываемого метода возможна также запись с использованием неравенств. В данном примере это будет выглядеть так:

–1 ≤ sin x ≤ 1, 0 ≤ sin² x ≤ 1,
0 ≤ 2sin² x ≤ 2, 1 ≤ 1 + 2sin² x ≤ 3.

Ответ: E(f) = [1; 3].

Пример 4.

Решение.

E(tg x) = (–∞; +∞),
E(tg² x) = [0; +∞),
E(3 + tg² x) = [3; +∞),
E() = [2³; +∞),
E() = [-∞; -8 ),
E() = [-∞; -5),

Ответ: E(f) = (–∞; 5].

Пример 5. f(x) = 2 +

Решение.

E(lg x) = (–∞; +∞),
E(lg² x) = [0; +∞),
E(–lg² x) = (–∞; 0],
E(16 – lg² x) = (–∞; 16],
E() = [0; 4],
E(2+) = [2; 6],

Ответ: E(f) = [2; 6].

Остановимся на некоторых нестандартных приемах нахождения E(f). Одним из них является предварительное преобразование функции.

Пример 6.

Решение. Найдем f²(x):

Проведя рассуждения, аналогичные приведенным выше, получим, что E(f²) = [4; 8].

Тогда E( f) = (здесь учтено, что f > 0).

Ответ: E( f) =

Пример 7. f(x) = 3sin 2x – 4cos 2x.

Решение. Преобразуем выражение 3sin 2x – 4cos 2x.

Имеем:

3sin 2x – 4cos 2x =

где Тогда функция принимает вид f(x) = 5sin (2x – α),

и ясно, что E(f) = [–5; 5].

Ответ: E(f) = [–5; 5].

Пример 8. f(x) = 2cos² x – 3sin x.

Решение. Преобразуем функцию f(x), выразив cos x через sin x:

f(x) = –2sin² x – 3sin x + 2.

Введем подстановку sin x = t, получим: f(x) = –2t² – 3t + 2, t Î [–1; 1].

Вершина соответствующей параболы есть точка с координатами Ветви параболы направлены вниз, следовательно, множеством значений функции будет промежуток
А так как мы рассматриваем функцию на [–1; 1] и , то число — наибольшее значение; наименьшее значение будет достигаться на концах промежутка: f(–1) = 3, f(1) = 3.

Таким образом,

Ответ:

При нахождении E(f) можно также использовать прием, основанный на графическом изображении функции.

Пример 9.

Решение. Преобразуем y(x).

Имеем: y² + x² = 25, причем y ≥ 0, |x| ≤ 5.

При этих ограничениях графиком данного уравнения является верхняя полуокружность с центром в начале координат и радиусом, равным 5. Очевидно, что E(y) = [0; 5].

Ответ: E(y) = [0; 5].

Беляева И., Федорова С.