Приближенные измерения и вычисления

Вычисление   должно  производиться  с той
степенью точности, которая необходима для
практики,  причем  всякая  неверная цифра
   составляет ошибку,а всякая лишняя цифра —
половину ошибки.

А.Н. Крылов

Курс приближений и округленных вычислений в школьной математике находится на положении Золушки. Дети его не понимают, учителя сокращают до 2–3 уроков. Причины этого понятны. Во-первых, почти вся школьная математика использует точные значения, и школьникам трудно привыкнуть к мысли, что в математике бывает что-то кроме них, и тем более различать, где надо считать точно, а где приближенно. Во-вторых, к этому курсу почти нет содержательных задач, а есть только формальные упражнения на применение правил, мало проясняющие суть дела. В-третьих, имея калькулятор, школьникам проще сделать вычисления с 10–12 знаками, чем подумать о точности.

Настоящая статья содержит подборку задач по приближенным вычислениям на материале 5–7-го класса. Задачи описывают наглядные жизненные ситуации, в которых формальные правила из учебника становятся более понятными (теория приближенных вычислений вырастала из практики и через нее лучше всего может быть понята).

1. У вас есть электронные весы, которые показывают массу с точностью 1 г, и одинаковые монетки. Одну монетку весы «не чувствуют» (то есть она легче 1 г). Как возможно более точно определить массу монетки?

2. Игорь делит на . Как можно быстро проверить его ответ?

Комментарий. Числитель примерно равен 260, а знаменатель 20. Значит, ответ должен быть около 13.

3. В паспорте квадратного земельного участка написано, что его площадь равна 520 м². Чему равна сторона участка: а) с избытком; б) с недостатком; в) с округлением?

4. Объем кубического бака равен 800 м³. Найдите ребро бака: а) с избытком; б) с недостатком; в) с округлением.

Комментарий. В задачах 3 и 4 можно пользоваться таблицами квадратов и кубов.

5. На карте российских железных дорог написано, что от Москвы до станции Тюкан Амурской области 8004 км, а до станции Дежнёвка — 8485 км. Ясно, что это приближенные расстояния. Как вы думаете: каким на самом деле может быть расстояние до Тюкана? На сколько расстояние до Дежнёвки может быть больше, чем расстояние до Тюкана (считаем, что карта составлена без ошибок)?

Комментарий. Для того чтобы можно было из самой записи приближенного числа судить о степени его точности, академик А.Н. Крылов предложил следующее правило: Писать число так, чтобы в нем все значащие цифры, кроме последней, были верны и лишь последняя цифра была бы сомнительна и притом не более как на одну единицу (см.: Крылов А.Н. Лекции о приближенных вычислениях. — М.–Л.: 1950). Таким образом, расстояния до Тюкана и Дежнёвки указаны на карте с точностью 1 км. То есть по этим данным мы можем утверждать, что расстояние до Тюкана лежит в пределах от 8003,5 до 8004,5 км, а расстояние до Дежнёвки — от 8484,5 до 8485,5 км. Тем самым разница расстояний может быть от 480 до 482 км.

6. Округлите величины из предыдущей задачи с точностью до 1000 км.

Комментарий. При округлении до 1000 км мы получим одно и то же значение: 8000 км. По этой записи не видно, за какие цифры в числе мы ручаемся, то есть округлили мы до десятков или до тысяч. Если важно различать: 8000 — это 8000 ± 5 или 8000 ± 500, то можно явно указать интервал, как мы сейчас это сделали. Чтобы различать эти случаи, не указывая интервалов, подчеркивают первую сомнительную цифру: 8000 и 8000 — первое число знаем с точностью до десятков километров, а второе — с точностью до тысяч. В случае записи числа в стандартном виде поступают еще проще: пишут 8,0010³ и 810³.
В первой записи указаны три значащие цифры, во второй — одна.

7. Запишите величины из задачи 5 с точностью до: а)100 км; б) до 10 км.

Чтобы найти приближенно сумму или разность двух чисел, известных с разной точностью, нужно предварительно округлить их с одинаковой точностью (до одного и того же разряда).

8. «Да ты вымахал сантиметров на 5!» — воскликнула бабушка, увидев Мишу после годовой разлуки. — «Дай-ка я померяю тебя на ростомере» (она медсестра). Получилось 163 см 7 мм. «Значит, год назад во мне было 158 см 7 мм», — подумал Миша. Прав ли он?

9. Сережа взвесился на японских электронных весах, забыв снять рюкзак. Весы показали 42 кг 312 г. Сережа считает, что его рюкзак весит килограмм пять. Что можно сказать о весе Сережи без рюкзака?

Комментарий. Обратите внимание на формулировку: не «найдите», а «что можно сказать»!

10. Вася едет на велосипеде со спидометром, который показывает 4,21 м/c. Данила идет навстречу со скоростью примерно 2 м/c. Какова скорость их сближения?

11. Маша собирается поехать летом в Глазов по железной дороге через Нижний Новгород. Она узнала по атласу расстояние от Москвы до Глазова по железной дороге — 1163,1 км. Дедушка сказал ей, что от Москвы до Нижнего Новгорода примерно 400 км. Каково расстояние от Нижнего Новгорода до Глазова?

12. Даша узнала по справочнику массу Земли — 5,972510²⁴ кг. Из статьи она узнала, что за год на Землю падают метеориты общей массой в среднем 20 т. Она округлила и сложила эти величины по правилу из учебника, и обнаружила, что масса Земли за год не меняется. Что это значит?

Чтобы найти приближенно произведение (или частное) двух чисел, нужно предварительно округлить их до одной и той же значащей цифры, перемножить (или разделить) и результат округлить до той же значащей цифры.

13. Сторона квадратного участка равна примерно 35 м. Что можно сказать о его площади?

Комментарий. Казалось бы, надо просто посчитать: 35² = 1225, но за все ли четыре цифры мы можем ручаться? Ведь сторона может быть и 34,5 м, и 35,5 м (последняя цифра сомнительна!). 34,5²=1190,25; 35,5²=1260,25. Поэтому только первый знак площади определен достоверно; площадь приближенно равна 1200 м², или 1,210³ м².

14. Андрей помнит, что свет доходит от Солнца до Земли примерно за 8 минут. Он посмотрел в справочнике скорость света в вакууме: известное на сегодня значение равно 299 792,458 км/с. С какой точностью он может узнать расстояние от Солнца до Земли? Какое значение скорости света нужно взять для расчетов?

Комментарий. Если на самом деле свет идет от Солнца до Земли 7,5 мин, то расстояние получится 134 906 606,10 км, а если 8,5 мин — то 152 894 153,58 км. Совпадает в этих ответах только первая цифра, значит, мы можем ручаться лишь за нее. Про вторую цифру можно утверждать, что она принимает значение 3, 4 или 5. Остальные девять цифр никакой информации не несут! Писать их — значит вводить читателя в заблуждение (не говоря уже о том, что это лишняя работа). Итак, можно утверждать лишь, что расстояние от Солнца до Земли порядка 140 000 000 = = 1,410⁸ км. Заметим, что для получения этого ответа вовсе не надо знать скорость света с девятью значащими цифрами! Достаточно помнить, что она примерно равна 300 000 км/с — хватит одной значащей цифры.

15. Программисту Денису в конце месяца заплатят 1321 доллар. Курс доллара порядка 24 руб. На какую сумму в рублях может рассчитывать Денис?

16. В течение зимней спячки медведь теряет 30% веса. Осенью Ярослав ходил в зоопарк и прочитал на клетке медведя Потапыча, что он весит 281 кг. Сколько будет весить Потапыч весной?

17. Весной Ярослав снова сходил в зоопарк и узнал, что медведица Маша после спячки весит 156 кг. Сколько она весила осенью?

18. Данила на глазок прикинул, что длина прямоугольника — порядка 1 м. Саша с помощью линейки измерила ширину прямоугольника и получила величину 33 см 5 мм. Что по этим данным можно сказать о периметре прямоугольника? О его площади? Нужно ли было Саше измерять ширину линейкой?

Комментарий. Этот пример показывает, что если часть измерений выполнена грубо, то слишком точно выполнять остальные уже нет смысла — только лишние хлопоты, а итоговую точность все равно не повысишь. Если же большая точность все-таки требуется (например, учителю), то придется выполнять с нею все измерения (то есть Даниле тоже придется поработать линейкой).

19. Велика или мала погрешность в 1 см?

Комментарий. Данных недостаточно. Если вы измеряете длину спичечного коробка, то велика. А если расстояние от поверхности Земли до поверхности Луны, то очень мала. Ясно, что надо (абсолютную) погрешность соотносить с измеряемой величиной.

20. Даша знает, что ее масса 40 ± 1 кг. Она считает, что знает свою массу с большей точностью, чем массу Земли (см. задачу 12). Права ли Даша?

К нашей теме естественным образом примыкают задачи на прикидки. Для грубой прикидки (оценить эффект) обычно хватает одной-двух значащих цифр.

21. Какова ширина часового пояса?

Комментарий. На границах часового пояса разница времени составляет 1 час. Строго говоря, вопрос некорректен: ширина зависит от широты — у экватора самая большая, у полюса обращается в 0. Земля по экватору имеет размер 40 000 км, часов в сутках 24, то есть примерно 20. Получаем величину порядка 2 тысяч километров на 1 ч — на экваторе. А на широте Москвы... ну, раза в 2 меньше — тысячу километров. (И действительно, в Глазове, куда собирается ехать Маша из задачи 11, время на час опережает московское.)

22. Сколько весят все жители Земли?

23. Вспомните легенду об изобретателе шахмат, который попросил за свое открытие положить на первую клетку шахматной доски одно зернышко, на вторую — два, на третью — четыре, на четвертую — восемь и так далее. Сколько вагонов понадобилось бы, чтобы перевезти все зерно?

Комментарий. 1 + 2 + 4 + ... + 2⁶³ » 2⁶⁴ зернышек. 1 зернышко весит, допустим, 0,1 г. Объем вагона примерно 3220 = 100 м³. Считая плотность зерна равной плотности воды, получим, что в вагон помещается порядка 100 т = 10⁸г зерна. 2⁶⁴ = 1024⁶2⁴ » 1000⁶10 = 10¹⁹зерен, то есть 10¹⁸г. Значит, понадобится примерно 10¹⁰вагонов.

Важно, что для подобных прикидок не нужны ни справочник, ни калькулятор — такие числа можно держать в памяти и перемножать в уме.

До 7-го класса (когда появляется физика) математика — единственный в школе предмет, оперирующий количественными характеристиками. Важно в этом возрасте дать понимание того, что все величины, полученные путем реальных измерений, известны приближенно и проводить вычисления с ними надо по особым правилам. Мотивировать эти правила лучше всего примерами из практики. В 8–11-х классах открывается простор для вычислительного практикума: приближенные формулы, нахождение квадратных корней методом Герона, линеаризация, решение кубических уравнений методом Ньютона, разные способы интерполяции, задачи с неустойчивостью, в которых малые возмущения приводят к большим изменениям (например, вырожденная система линейных уравнений или квадратное уравнение с одним корнем), разговоры о том, как вычисляет компьютер и т.д.
О таком практикуме мы постараемся рассказать в следующей статье.

Благодарю за полезные обсуждения темы Э. Шноля, Д. Шноля, А. Шевкина, М. Ройтберга.

Сгибнев А.