Главная страница «Первого сентября» • Главная страница журнала «Математика» • Содержание №3/2009

Логарифм и экспонента

Электронная версия книги является свободно распространяемой и доступна по адресу ftp://ftp.mccme.ru/users/shen/logarithms.zip

6. Площадь под гиперболой

Вернемся к нашему закону движения. Мы теперь умеем вычислять T(1; 2) (время движения от точки 1 до точки 2) с любой заданной точностью при помощи неравенства

Сейчас мы выясним геометрический смысл величины T(1; 2). Оказывается, что она равна площади под графиком гиперболы между вертикалями x = 1 и x = 2 (серая область на рис.).

Площадь серой области равна T(1;2)

Так что можно даже найти T(1; 2) с помощью взвешивания: надо нарисовать на однородной фанерке график гиперболы затем выпилить участок между x = 1 и x = 2, как на рисунке, а потом взвесить (и поделить на вес квадрата 1x1 в том же масштабе).

Будем обозначать площадь под гиперболой между вертикалями x = a и x = b через S(a; b). Оказывается, что

S (a; b) = T(a; b)

при любых a и b. Как и раньше, для начала мы рассмотрим случай a = 1, b = 2.

Вспомним, что мы начинали с неравенства

Как доказать для S аналогичное неравенство

глядя на наш рисунок? Совсем просто: надо заметить, что интересующая нас область (как говорят, «криволинейная трапеция») целиком помещается в квадрате 1 x 1 и содержит внутри себя прямоугольник ширины 1 и высоты .

Как мы получали более точные оценки для времени? Делили отрезок на части. Здесь можно поступить точно так же и сравнить криволинейную трапецию с двумя ступенчатыми фигурами.

Надо только найти площади этих фигур.

Ширина каждого из прямоугольников, их составляющих, равна . Высоты прямоугольников равны (поскольку при значение равно ). В итоге получаем нижнюю оценку:

и верхнюю оценку:

Ровно такие же оценки были для T(1; 2), и это не случайно.

Вспомним, как мы оценивали время движения от точки u до точки v, большей u. Длина отрезка равна v – u. Скорость растет от u до v. Поэтому

Аналогичная оценка для S(u; v) заключает криволинейную трапецию между двумя прямоугольниками:

Ширины этих прямоугольников одинаковы и равны v – u, а высоты равны (для большего) и (для меньшего). Поэтому для S(u; v) получаем оценку:

— ту же самую, что и для T(u; v).

Поэтому все наши оценки для T годятся и для S. В частности, для S(1; 2) получаем оценку:

заключающую число S(1; 2) в тот же промежуток длины , что и T(1; 2). Поэтому разница между S(1; 2) и T(1; 2) меньше при всех n. Вспоминая наши рассуждения про аксиому Архимеда, заключаем, что S(1; 2) = T(1; 2). Аналогичное рассуждение показывает, что S(a; b) = T(a; b) при любых a и b, как мы и обещали.

7. Свойства площади под гиперболой

Докажем два важных свойства площади под гиперболой.

Свойство 1. Если a < b < c, то

В общем, тут и доказывать нечего: на картинке видно, что площадь S(a; c) составлена из двух частей — S(a; b) и S(b; c).

Свойство 2. Для любого числа k > 0 и любых чисел a, b (где a < b) выполняется равенство

S(a; b) = S(ka; kb).

Это свойство нам уже знакомо для T: мы видели, что T(1; 2) равно T(k; 2k). Для площадей его можно объяснить так. Нарисуем наш график на резиновой пленке и растянем эту пленку в k раз по горизонтали. Вот что получится, например, при a = 1, b = 2 и k = 2 (который надо сравнить с той же картинкой до растяжения на рис. в начале главы 6):

Для дополнительного реализма мы растянули даже и надписи на графике. Конечно, после растяжения эти надписи утратили силу: точка 1 на оси x при растяжении переместилась в точку 2, а точка 2 — в точку 4. При этом ординаты точек графика не изменились, так что он перестал быть графиком , а стал графиком

Растянутый график с правильными пометками показан ниже.

При растяжении площадь увеличилась вдвое (поскольку ширины всех прямоугольников удвоились, а высоты остались прежними). Если теперь сжать график по высоте вдвое, как на рисунке, то площадь уменьшится вдвое, то есть до прежнего значения. При этом пометки вновь испортятся: на оси y надо 1 заменить на , а — на все ординаты точек графика уполовинятся, так что от графика мы вернемся снова к

В итоге мы видим, что S(2; 4) получается из S(1; 2) двукратным растяжением по горизонтали и двукратным сжатием по вертикали. При этом увеличение площади при растяжении в точности компенсируется ее уменьшением при сжатии, так что S(2; 4) = S(1; 2).

В общем случае, растянув пленку в k раз по горизонтали и сжав ее в k раз по вертикали, мы из S(a; b) получим S(ka; kb). Заметим, что наш график (который можно записать уравнением xy = 1) при таком растяжении-сжатии остается неизменным, так как один сомножитель произведения xy увеличивается в k раз, а другой во столько же раз уменьшается.

Свойство 2 доказано.

Из этого свойства вытекает, что S(a; b) на самом деле зависит лишь от отношения .
В самом деле, положив мы получаем, что

В частности, S(1; k) = S(k; k²) = S(k²; k³) = ...

при любом k > 1. Другими словами, что если мы нашинкуем область под графиком на полоски, проведя разрезы при x = 1, k, k², k³, ..., то все полоски будут иметь одинаковую площадь: увеличение ширины (каждая полоска в k раз шире предыдущей) компенсируется уменьшением высоты.

8. Натуральный логарифм

Назовем натуральным логарифмом числа a величину S(1; a), то есть площадь криволинейной трапеции под графиком гиперболы

между прямыми x = 1 и x = a. Натуральный логарифм числа a обозначается ln a.

Отступление о логарифмах

Вообще-то в школе определяют логарифм по какому-то основанию. Логарифм по основанию c обозначается log_c и определяется по формуле

log_c c^x = x.

Например, log₁₀ 100 = 2, так как 100 = 10². Для тех, кто про это уже слышал, мы объясним (в следующих разделах), что натуральный логарифм есть действительно логарифм по некоторому основанию. Это основание обозначают буквой e и называют... как? Правильно, основанием натуральных логарифмов. Оказывается, что оно равно

e = 2,718281828459045...

Мнемоническое правило: сначала два и семь, потом дважды год рождения Льва Толстого (1828), а затем углы равнобедренного прямоугольного треугольника.

Но если вы про логарифмы ничего не знаете, тоже не страшно — считайте сказанное нами определение натурального логарифма и спите спокойно. (Конец отступления.)

Как выразить S(a; b) через логарифмы? Это можно сделать двумя способами.
Пусть 1 < a < b.

Первый способ. По свойству 1

S(1; b) = S(1; a) + S(a; b),

то есть

ln b = ln a + S(a; b),

откуда

S(a; b) = ln b – ln a.

Второй способ . Из свойства 2, как мы видели, следует, что

Эти два способа, естественно, должны давать один и тот же результат, так что

при 1 < a < b. Обозначим отношение через c.
Тогда b = ac, и получается:

ln c = ln ac – ln a,

или, что то же самое,

ln ac = ln a + ln c.

Это самое главное свойство логарифмов, так что мы его обведем в рамку:

логарифм произведения равен сумме логарифмов.

Заметим, что мы доказали его (и вообще определили логарифм) только для чисел, больших единицы, — ведь S(a; b) было определено лишь при a < b.

Из этого свойства следует, что

ln a² = ln (aa) = ln a + ln a = 2ln a,

затем

ln a³ = ln (a²a) = ln a² + ln a = 2ln a + ln a = 3ln a

и вообще

ln aⁿ = nln a

при любом n = 1, 2, 3, ...

Отступление: логарифмы чисел, меньших единицы

Естественно положить S(a; a) равным нулю (криволинейная трапеция вырождается в отрезок). Но как определить S(a; b) при b < a?

Формально это определение (как и любое математическое определение) может быть произвольным. Но в математике произвол ограничивается здравым смыслом. В данном случае здравый смысл подсказывает, что свойство

S(a; c) = S(a; b) + S(b; c)

хорошо бы сохранить для любых a, b, c, независимо от того, в каком порядке они расположены на прямой. В частности, при a = c
это свойство превращается в

S(a; a) = S(a; b) + S(b; a).

Мы уже договорились, что S(a; a) = 0,
поэтому S(a; b) и S(b; a) должны быть противоположными числами. Так что надо положить

S(a; b) = –S(b; a)

при b < a.

Несложно проверить, что при таком определении действительно выполняется равенство S(a; c) = S(a; b) + S(b; c), в каком бы порядке ни шли числа a, b, c. (Несложно-то несложно, но довольно хлопотно: есть шесть возможных порядков:

a ≤ b ≤ c, a ≤ c ≤ b, b ≤ a ≤ c,
b ≤ c ≤ a, c ≤ a ≤ b и c ≤ b ≤ a,

и все их надо разобрать.)

В частности, при таком определении S(a; b) получаем, что ln 1 = S(1; 1) = 0. А при 0 < a < 1 получаем, что

ln a = S(1; a) = –S(a; 1)

по нашему соглашению, а

по второму свойству площадей под гиперболой. Таким образом,

при 0 < a < 1. При этом, как можно проверить, формула для логарифма произведения сохраняется и для чисел, меньших единицы.

Любопытному читателю самое время спросить: а можно ли как-нибудь разумно определить логарифмы отрицательных чисел? Оказывается, что можно, но для этого нужны так называемые комплексные числа, и об этом мы говорить не будем. (Конец отступления.)

Историческое отступление

Основное свойство логарифмов позволяет быстро перемножать числа с помощью таблицы логарифмов. Вернее, умножение сводится к одному сложению и трем поискам в таблице логарифмов. Сейчас, когда есть калькуляторы, это никому не нужно, но раньше умножали в столбик. Кто умеет это делать, знает, что для многозначных чисел это довольно хлопотно (гораздо сложнее, чем складывать). Поэтому замена умножения на сложение имела вполне практический смысл и ускоряла вычисления в несколько раз.

Объясним, как это делается. Пусть нам надо перемножить два числа a и b. Найдем в таблице их логарифмы ln a и ln b. Сложим их; получится некоторое число. Мы знаем, что это число равно логарифму произведения ab. Поэтому если теперь посмотреть таблицу логарифмов «справа налево» (как поступают с меню небогатые люди в дорогих ресторанах) и найти там число, у которого логарифм равен ln a + ln b, то это число как раз и будет произведением ab.

Еще больший выигрыш можно получить для деления (которое соответствует вычитанию логарифмов). Ведь делить уголком сложнее, чем умножать в столбик. (Кстати, умеете ли вы делить уголком? Разделите 123 123 123 на 123 и проверьте результат умножением.)

Наконец, тот же метод можно применить для извлечения квадратных корней, поскольку извлечение квадратного корня соответствует делению логарифма пополам. В самом деле, поэтому и (Аналогичный метод годится для корней любой степени.)

Эти приемы вычислений изобрел шотландец Непер в конце XVII века; он же составил первую таблицу натуральных логарифмов (точнее, у него были не совсем логарифмы, а нечто очень близкое). (Конец отступления.).

Число e

По определению это число, натуральный логарифм которого равен единице:

ln e = 1.

Другими словами, S(1; e) = 1 — от графика под гиперболой надо отрезать столько, чтобы площадь получалась единичной.

Отсюда следует, что ln eⁿ = nln e = n, так что наше определение натурального логарифма согласуется со школьным определением логарифма по основанию e.

Чему равно число e? Где надо провести такой разрез? Мы знаем, что S(1; 2) < 1, так что в точке 2 его проводить рано. С другой стороны, , так что

так что в точке 4 такой разрез проводить поздно. Отсюда заключаем, что e находится между 2 и 4.

Более точную оценку дает такая теорема:

Например, при n = 10 получаем, что e находится между 1,1¹⁰ и 1,1¹¹, то есть между 2,59... и 2,85... При n = 100 получаем более тесные границы: между 1,01¹⁰⁰ = 2,701... и 1,01¹⁰¹ = 2,738... Можно заметить, что правая граница в этой теореме больше левой в раз, поэтому с ростом n разница между ними становится сколь угодно малой.

Докажем сформулированную теорему. Для этого рассмотрим значение , то есть площадь криволинейной трапеции ширины (от x = 1 до ), показанной на рисунке.