Несколько замечаний о КИМ по математике на примере задачи С5

Демонстрационный вариант ЕГЭ-2009 [1] под номером С5 содержит следующую задачу. Задача 1. Найдите все значения параметра p, при каждом из которых уравнение             (1) имеет ровно 10p – p2 – 24 различных корней.

Обсуждение оригинального решения

Ключевая идея оригинального решения из [1] (ниже мы будем называть это решение «авторским») заключается в следующем (мы дословно цитируем соответствующую часть этого решения):

«Пусть t = 2^x > 0. Тогда получаем квадратное уравнение относительно t с параметром p:

(3p – 14)t² + (29p – 154)t + 11p – 41 = 0. (2)

Значит, число n различных корней исходного уравнения не больше 2».

Далее в [1]:

а) находится, при каких значениях p выражение 10p – p² – 24 может быть равно 0, 1 или 2 — оказывается, что p может быть только 4, 5 или 6;

б) для найденных значений p решается уравнение (2), а затем с его помощью и уравнение (1);

в) число корней уравнения (1) сопоставляется с числом 10p – p² – 24 (при рассматриваемом значении p),

после чего делается вывод, что условию задачи удовлетворяет единственное значение параметра: p = 6 (при этом n = 0, t = –2,5).

Авторское решение дополнено тремя замечаниями и указаниями по поводу критериев оценки выполнения задания С5.

По нашему мнению, это решение, авторские замечания к нему и критерии оценки требуют несколько важных комментариев.

Замечание 1. В авторском решении уравнение (2) названо квадратным, а это — ошибка.
Хорошо известно, что квадратным называется уравнение вида at²+bt+c=0,
где старший коэффициент a отличен от 0.
При a=0 уравнение at²+bt+c=0 примет вид bt+c=0 и, в зависимости от значений параметров b и c, может не иметь решений, иметь единственное решение или иметь бесконечно много решений (которые заполняют всю числовую ось). Поэтому вывод, что n≤2, в авторском решении не может считаться обоснованным. Предположим, например, что вместо уравнения (1) было бы дано уравнение

(p – 2)4^x + (p – 2)2^x + p² – 4 = 0. (3)

Аналогом уравнения (2) в этом случае будет уравнение

(p – 2)t² + (p – 2)t + p² – 4 = 0.

Если p = 2, то последнее уравнение примет вид 0t + 0 = 0 и потому множество его решений — вся числовая прямая. Соответственно, множество решений уравнения (3) также вся числовая прямая, то есть это уравнение имеет бесконечно много корней.

Чтобы спасти авторское решение, необходимо проанализировать случай 3p – 14 = 0, то есть . В этом особом случае, который не рассмотрен в авторском решении, уравнение (2) примет вид:

–56t + 31 = 0, (4)

то есть будет линейным. Уравнение (4) имеет единственный корень (который является положительным числом), так что полученный вывод n ≤ 2 не нарушается.

В связи с этим замечанием мы рекомендуем читателю самостоятельно решить следующую задачу, внешне очень похожую на анализируемую задачу 1:

При каких p уравнение p4^x + p²2^x + p³ = 0

а) имеет ровно N = 1 + p + p² + p³ различных решений;

б) не менее чем N = 1 + p + p² + p³ различных решений;

в) не более чем N = 1 + p + p² + p³ различных решений.

Замечание 2. В пункте в) критериев оценки на 4 балла (этот пункт соответствует рассмотрению p = 4 и p = 6) требуется ссылка на условие t > 0 — без выполнения этого требования, по мнению [1], задача не может быть оценена высшей оценкой (4 балла). Это требование неявно предполагает вычисление корней уравнения (2). Однако в случаях p = 4 и p = 6 число корней уравнения (1) может быть найдено без использования вспомогательной переменной t и, соответственно, уравнения (2).

При p = 6 уравнение (1) примет вид (мы умышленно не проделываем никаких упрощений показательных выражений):

           (5)

Поскольку любая показательная функция принимает только положительные значения, левая часть этого уравнения строго положительна, так что оно не имеет корней.

При p = 4 уравнение (1) принимает вид:

2^2x + 1 + 382^x = 3.           (6)

Его левая часть является суммой двух показательных функций y = 2^2x + 1 и y = 382^x с основаниями, большими 1. Поэтому при изменении переменной x от –∞до +∞левая часть уравнения (6) непрерывно и монотонно возрастает от 0+ до +∞. Следовательно, она ровно 1 раз принимает значение 3. Иначе говоря, уравнение (6) имеет ровно один корень.

Замечание 3. Следует отметить, что фраза «пусть t = 2^x > 0» крайне неопределенна и в нее можно вкладывать разный смысл. Означает ли она, что функция t(x) = 2^x принимает только положительные значения, или же подразумевается, что множество (0; +∞) — область значений функции t(x) = 2^x (при всей схожести — это разные утверждения). Может быть подразумевается, что корни уравнения (2) относительно новой неизвестной t должны быть положительны? Может быть, это — вспомогательное условие, которое накладывает автор решения? Гадать можно до бесконечности.

На самом деле, логика собственно метода новой неизвестной не требует указания каких бы
то ни было неравенств или условий, которым должна удовлетворять новая неизвестная.
Например, в нашем случае нет необходимости немедленно после введения t=2^x указывать, что t>0. С другой стороны, обойтись без упоминания положительности определенных величин на соответствующем этапе решения нельзя. Важно только правильно определить это место и характер ссылок, а это требует гораздо более тонких рассуждений, чем жаргонная фраза «учитывая условие t > 0». Например, абсолютно строгое решение уравнения (6) (оно соответствует уравнению (1) при p = 4) может выглядеть следующим образом.

Введем новую неизвестную t = 2^x. Тогда уравнение (6) примет вид:

2t² + 38t – 3 = 0.

Это уравнение имеет два корня:

Соответственно, уравнение (6) равносильно совокупности из двух простейших показательных уравнений

           (7)

Поскольку число   — положительно, а функция t = 2^x непрерывна и монотонно возрастает от 0+ до +∞, первое уравнение имеет единственный корень x₁.

Число  — отрицательно, в то время как показательная функция 2^x положительна при всех значениях x. Поэтому второе уравнение имеет пустое множество корней.

Обратим внимание читателя на то, что при решении первого из уравнений (7) нужно ссылаться на положительность числа и непрерывность и монотонность показательной функции с дополнительным указанием точной области значений, в то время как при решении второго из уравнений (9) нужно ссылаться на положительность показательной функции 2^x (и неположительность числа ). Поэтому, когда в авторском решении задачи С5 пишется: «Пусть t = 2^x > 0», совершенно неясно, какой смысл вкладывается в это неравенство. На самом деле, общепринятая традиция оформления письменных работ по математике (даже на вступительных экзаменах на мехмат МГУ) не требует детального анализа этого шага решения, и обычно он записывается так:

(так как );

Конечно, неравенство t = 2^x > 0 верно, как верно и утверждение, что Земля вращается вокруг Солнца. Но как последнее утверждение не имеет никакого отношения к решению задачи, так и бездумное требование указывать сразу после введения новой неизвестной, что t = 2^x > 0, не играет никакой роли (по «популярности» и бесполезности с ним может конкурировать только требование начинать решение любого уравнения (неравенства) с нахождения ОДЗ).

Замечание 4. В авторском замечании «А» говорится, что при разборе случая p = 5 не обязательно указывать 2 корня исходного уравнения (1), а допустимо использование только положительности корней уравнения (2). На самом деле этого недостаточно.

Аккуратное рассуждение, не требующее вычисления корней уравнения (1), требует более тонких аргументов и может выглядеть, например, так.

В случае p = 5 уравнение (1) примет вид:

2^2x – 92^x + 14 = 0. (8)

Соответствующее уравнение (2) для новой неизвестной t = 2^x примет вид:

Это уравнение имеет два корня: t₁ = 2, t₂ = 7. Соответственно, уравнение (8) равносильно совокупности из двух простейших показательных уравнений

2^x = 2, 2^x = 7. (9)

Поскольку числа t₁ = 2 и t₂ = 7 — положительны, а функция t = 2^x монотонно возрастает и ее область значений — (0; +∞), эти уравнения имеют ровно по одному корню, причем эти корни не совпадают между собой. Поэтому уравнение (8) имеет ровно два корня.

Таким образом, дополнительно необходима ссылка (в любой форме) на тот факт, что функция t = 2^x устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел x и множеством положительных чисел t. Авторское замечание «А» является фактической ошибкой, если перед этим нет явного указания (в любой форме) на взаимную однозначность соответствия между значениями неизвестной x и положительными значениями новой неизвестной t — авторской фразы «пусть t = 2^x > 0» явно недостаточно.

Замечание 5. Задача С5 является задачей с параметром, а не уравнением с параметром. Иначе говоря, нельзя отрывать от уравнения (1) окружающий его текст. Поэтому после преобразования уравнения (1) в уравнение (2) нужно задаться вопросом, как преобразуется вся задача.

Ключевую роль в этом преобразовании текста задачи играет тот факт, что функция y = 2^x устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел x и множеством положительных действительных чисел t. Следовательно, исходную задачу 1, а не просто уравнение (1), можно переформулировать следующим образом.

Задача 2. Найдите все значения параметра p, при каждом из которых уравнение (2) имеет ровно 10p – p² – 24 различных положительных корней.

При переходе от задачи 1 к задаче 2 чрезвычайно важно подчеркнуть их равносильность. Поэтому теперь мы можем забыть про исходную задачу 1, содержащую показательное уравнение (1), и решать новую, более простую, задачу 2. Это соображение исключительно важно при решении задач с параметром с использованием свойств квадратного трехчлена. Подробнее по этому поводу можно прочитать в любой хорошей книге для поступающих в вузы, например, в классическом пособии [2] (раздел IV, § 3). К сожалению, вопрос о преобразовании задачи 1 как единого целого совершенно проигнорирован в авторском решении, в результате чего оно выглядит довольно путаным.

Замечание 6. Критерии оценки выполнения задания С5 привязаны именно к авторскому способу решения. И хотя в пояснительной записке к демонстрационному варианту указано, что в [2] дается только одно из возможных решений, остается непонятным вопрос о критериях проверки других решений. Ниже мы покажем другое решение, которое не соответствует опубликованным в [1] критериям проверки. Вообще, проблема критериев проверки ЕГЭ уже столько раз поднималась профессионалами (см., например, [3], [4]), что остается только удивляться упорству, с которым она игнорируется.

Заканчивая обсуждение авторского решения задачи С5 из [1], следует констатировать, что оно не было бы зачтено как правильное, например, экзаменационной комиссией по математике МГУ им. М.В. Ломоносова, потому что в соответствии с программой по математике для поступающих в МГУ «...на экзамене по математике поступающий должен уметь... излагать и оформлять решение логически правильно, полно и последовательно, с необходимыми пояснениями».

Второй способ решения

Прежде всего, ссылаясь на то, что функция t = 2^x устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел x и множеством положительных действительных чисел t, необходимо перейти от исходной задачи 1 к новой задаче 2. Такой переход является общепринятым в методической литературе, стандартным, и сколь-нибудь разумной альтернативы ему нет.

Однако решать задачу 2 естественнее по-другому. Дело в том, что ее условие содержит одну довольно необычную фразу: «уравнение имеет 10p – p² – 24 корней». В ситуации, когда параметр p, вообще говоря, является произвольным, число 10p – p² – 24 не обязано быть неотрицательным целым. Поэтому начнем решение с того, что выясним, при каких значениях p число N = 10p – p² – 24 является неотрицательным целым. Для этого рассмотрим N как параметр и решим уравнение

10p – p² – 24 = N p² – 10p + (24 + N) = 0.

Для последнего квадратного уравнения

Эта величина неотрицательна только для двух неотрицательных чисел: N = 0 и N = 1 — обратим внимание читателя на то, что в нашем способе решения случай N = 2 вообще не появляется, так что и рассматривать его не нужно.

Случаю N = 0 соответствуют два значения параметра p: p = 4 и p = 6. Эти значения p удовлетворяют условию задачи, если уравнение (2) (при соответствующем значении p) не имеет положительных корней.

Если p = 4, то уравнение (2) примет вид:

2t² + 38t – 3 = 0.

Оно имеет два корня (его дискриминант равен 38² + 423 и потому положителен). В силу теоремы Виета произведение этих корней равно . Следовательно, один из них положителен, а второй отрицателен. Итак, при p = 4 уравнение (2) имеет ровно один положительный корень (его точное значение по смыслу задачи 2 совершенно неважно). Таким образом, p = 4 не удовлетворяет условию задачи.

Если p = 6, то уравнение (2) примет вид:

4t² + 20t + 25 = 0 (2t + 5)² = 0.

Оно имеет единственный корень:, то есть не имеет положительных корней. Таким образом, p = 6 удовлетворяет условию задачи.

Случаю N = 1 соответствует одно значение параметра p: p = 5. Это значение p удовлетворяет условию задачи, если уравнение (2) (при p = 5) имеет ровно один положительный корень.

Если p = 5, то уравнение (2) примет вид:

t² – 9t + 14 = 0.

Оно имеет два корня: t₁ = 2, t₂ = 7, которые оба являются положительными числами. Таким образом, p = 5 не удовлетворяет условию задачи.

Итак, условию задачи удовлетворяет только p = 6 — это и будет ее ответ.

Заключение

В любой, даже очень хорошей работе можно найти возможность ее улучшения. Критиковать всегда легче, чем сделать хорошую работу, да и вообще, не ошибается только тот, кто ничего не делает. Поэтому, в принципе, можно было бы и не придавать недостаткам демонстрационного варианта ЕГЭ большого значения.

Но документ [1] является официальным. Это образец выполнения экзаменационной работы. По этому образцу школьники и учителя должны будут организовывать подготовку к настоящему ЕГЭ. В определенном смысле ЕГЭ задает стандарт начальной математической подготовки в стране и непосредственно влияет на уровень подготовки специалистов высшими учебными заведениями. Мало того что проблема математического образования поставлена с ног на голову — вместо повышения квалификации педагогов и их материального положения, написания хороших учебников и методической литературы, развития олимпиад, математических кружков, специализированных классов и школ и т.д. создается очередная бюрократическая система контроля и качество этой системы контроля ниже всякой критики.

Абсолютная централизация ЕГЭ, которую обычно считают синонимом объективности, на самом деле означает большую ненадежность и неустойчивость этой системы. Централизация делает цену каждой ошибки очень высокой. Если бы речь шла только об аттестации выпускников школ, большой беды в этом бы не было. Но ЕГЭ претендует (а в 2009 году этого уже требует закон РФ) на право отбора абитуриентов в вузы страны, включая и ведущие учебные заведения, играющие ключевую роль в развитии ее промышленного, культурного, научного и оборонного потенциала.

Традиционные децентрализованные системы проверки знаний школьников в рамках обычных школьных экзаменов и система отбора абитуриентов через вступительные экзамены в вузы гораздо надежнее и эффективнее. Только самостоятельно принимая решения об уровне подготовки будущих студентов вузы могут учесть специфику будущего педагогического процесса и нести ответственность за качество подготовки специалистов.

В очередной раз мы вынуждены констатировать общеизвестный факт:
невозможно гарантировать в рамках ЕГЭ единообразной проверки всех работ и объективной
оценки знаний школьников.
Причины этого многократно обсуждались педагогической и научной общественностью.
В то же время, например, в МГУ проблема объективности и единообразия критериев оценки экзаменационных работ решается очень легко простыми организационными мерами: относительно небольшое, максимум несколько тысяч, число экзаменационных работ позволяет организовать перекрестную проверку коллективом единомышленников, старшие по вариантам и старший экзаменатор в ходе регулярных (несколько раз в день) дискуссий обеспечивают контроль за унификацией требований. За каждый этап проведения экзамена (составление задач, проведение экзамена, шифрование работ, проверка шифрованных работ и т.д.) несет персональную ответственность отдельный авторитетный преподаватель. В МГУ сами варианты экзаменационных работ случайно выбираются лично ректором утром в день экзамена.

Можно было бы долго обсуждать, как исправить недостатки ЕГЭ. Но правда такова, что самый разумный способ решить многочисленные проблемы, связанные с ЕГЭ, заключается в том, чтобы просто отменить его и вернуться к традиционным, проверенным десятилетиями формам оценки знаний школьников.

Литература

1.  Единый государственный экзамен по математике. Демонстрационный вариант КИМ 2009 г. — М.: Федеральный институт педагогических измерений, 2008.

2.  Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Пособие по математике для поступающих в вузы (избранный вопросы элементарной математики). — М.: Наука, 1976.

3.  Потапов М.К., Шевкин А.В. Несколько замечаний по критериям оценивания работ ЕГЭ //Математика, 2006, № 21, с. 19–20.

4.  Сергеев И. Кому нужны такие критерии //Математика, 2007, № 24, с. 9–11.

Фалин А., Фалин Г.