Еще раз об ошибках в решении задач С1 и С2

Задачи С1 и С2 единого государственного экзамена по математике превышают уровень обязательных результатов обучения. Но с ними может справиться среднеуспевающий ученик при условии, что он смог понять последовательность выполнения шагов решения, применил необходимые, известные ему алгоритмы, получил решение и ответ.
Между тем очень часто в процессе выполнения этих задач ученики демонстрируют фрагментарность изученных ими приемов и методов решения, а также ошибки, которые не позволяют при правильном ответе засчитать задачу как верно решенную.
В предлагаемой вниманию учителей статье собраны наиболее часто встречающиеся ошибки ребят на экзамене, работа над которыми может способствовать повышению математической грамотности учащихся.

Рассмотрим сначала задачу С1.

C1

 

Найдите наименьшее значение функции f(x) = (2x + 2)⁵ – 5(2x + 2)⁴ при | x + 1 | ≤1.

Из всех возможных способов решения данной задачи выделим два наиболее часто встречающихся в работах учащихся.

Способ I. Способ, основанный на четком следовании алгоритму нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

Ученики решают неравенство с модулем и получают традиционную задачу о нахождении наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Находят производную сложной функции, определяют критические точки (для учебника А.Г. Мордковича — стационарные), устанавливают принадлежность найденных критических точек отрезку и находят значения функции в найденной критической точке и на концах отрезка; произведя сравнение чисел, находят наименьшее значение.

Решение. Решим неравенство | x + 1 | ≤ 1:

| x + 1 | ≤ 1 – 1 ≤ x + 1 ≤ 1 –2 ≤ x ≤ 0.

Так как решением неравенства является множество чисел, составляющих отрезок, то дальнейшее решение задачи сводится к нахождению наименьшего значения функции f на отрезке [–2; 0].

Найдем производную функции f:

f (x) = (2x + 2)⁵ – 5(2x + 2)⁴,
f '(x) = ((2x + 2)⁵ – 5(2x + 2)⁴)' =
= 5(2x + 2)⁴(2x + 2)' – 20(2x + 2)³(2x + 2)' =
= 10(2x + 2)⁴ – 40(2x + 2)³ = 10(2x + 2)³(2x + 2 – 4) =
= 10(2x + 2)³(2x – 2).

Итак,

f'(x) = 10(2x + 2)³(2x – 2).

Критические точки: x = –1, x = 1.

–1 [–2; 0], 1 [–2; 0].

Найдем значение функции f в точках –2, –1, 0:

f (–2) = (–4 + 2)⁵ – 5(–4 + 2)⁴ = –112;

f (–1) = (–2 + 2)⁵ – 5(–2 + 2)⁴ = 0;

f (0) = 2⁵ – 52⁴ = 32 – 80 = –48.

Так как –112 < –48 < 0, то искомое наименьшее значение функции равно –112.

Ответ : –112.

Способ II. Этот способ основан на выявлении характера экстремума функции в найденной точке.

Ученики, так же как и в способе I, решают неравенство и находят производную данной сложной функции. Полученную критическую точку исследуют на экстремум, а далее, выяснив, что характер экстремума в найденной точке противоположен требованию задачи, делают вывод, что тогда наименьшее значение достигается в одном из концов отрезка. Сравнивают соответствующие значения и получают ответ к задаче.

Решение. 1. | x + 1 | ≤ 1 –1 ≤ x + 1 ≤ 1 – 2 ≤ x ≤ 0.

2. f(x) = (2x + 2)⁵ – 5(2x + 2)⁴,

f' (x) = ((2x + 2)⁵ – 5(2x + 2)⁴)' =
= 5(2x + 2)⁴(2x + 2)' – 20(2x + 2)³(2x + 2)' =
= 10(2x + 2)⁴ – 40(2x + 2)³ =
= 10(2x + 2)³(2x + 2 – 4) =
= 10(2x + 2)³(2x – 2).

Итак,

f '(x) = 10(2x + 2)³(2x – 2).

Критические точки: x = –1, x = 1.

–1 [–2; 0], 1 [–2; 0]. Точка –1 — точка максимума функции на отрезке [–2; 0], следовательно, наименьшее значение функция принимает либо в левом, либо в правом конце отрезка.

f (–2) = (–4 + 2)⁵ – 5(–4 + 2)⁴ = –32 – 80 = –112;
f (0) = 2⁵ – 52⁴ = 32 – 80 = –48.

Так как –112 < –48, то наименьшее искомое значение функции равно –112.

Ответ: –112.

Оба приведенных способа абсолютно равноправны и оценивались высшим количеством баллов — 2 очка.

Типичные ошибки при выполнении приведенного задания С1:

1. Учащиеся находят значения функции только в концах отрезка, не исследовав функцию. Несмотря на то, что в такой ситуации учащиеся получали правильный ответ для всех вариантов, решение оценивалось одинаково — 0 баллов.

2. При нахождении производной функции не учитывается то, что заданная функция — сложная.

3. Много ошибок при решении неравенства с модулем. Встречаются такие «преобразования»: | x + 1 | ≤ 1, | x + 1 | – 1 ≤ 0, следовательно,

–(x + 1) – 1 ≤ 0.

4. Допускаются ошибки в решении уравнения при нахождении критических точек. В большинстве эти ошибки связаны с выполнением действия вынесения общего множителя за скобки. Типичным примером являются такие «преобразования»:

10(2x + 2)⁴ – 40(2x + 2)³ = 0,
–30(2x + 2)^4 – 3 = 0, x = –1.

5. Встречаются работы, где решение задачи сводится к нахождению значения функции во всех «целых» точках найденного отрезка. Что, разумеется, приводит к правильному ответу, но не засчитывается.

6. Встречаются ошибки теоретического характера. При способе II решения ученик определяет, что критическая точка является точкой максимума, а «следовательно, наименьшее значение функция принимает на участке убывания, то есть в правом конце отрезка», что неверно в целом и в данной конкретной задаче.

7. Необходимо особо обратить внимание на то, что учащиеся путаются в том, что они находят: точку минимума или наименьшее значение функции.

8. Речевые ошибки:

«функция (2x + 2)⁴(2x – 3) имеет вид параболы, направленной ветвями вверх»;

«модуль — функция без знака»;

«у такой параболы положительные ветви».

9. Особо остановимся на ошибках, связанных с заменой переменной при исследовании функции.

Для этого рассмотрим задачу другого варианта.

C1

 

Найдите наименьшее значение функции

f (x) = (0,5x – 1)⁴ – 50(0,5x – 1)²

при | x – 3 | ≤ 3.

Неправильное решение 1. | x – 3 | ≤ 3, 0 ≤ x ≤ 6.

Пусть (0,5x – 1)² = t, тогда f(t) = t² – 50t.

f '(t) = 2t – 50, 2t – 50 = 0, t = 25.

t = 25 — это точка минимума функции f(t), а поскольку мы ищем наименьшее значение функции, то

f (25) = 25² – 5025 = 25(–25) = –625.

Неправильное решение 2. | x – 3 | ≤ 3, 0 ≤ x ≤ 6. Пусть (0,5x – 1)² = t, тогда f(t) = t² – 50t.

f '(t) = 2t – 50, 2t – 50 = 0, t = 25.
(0,5x – 1)² = 25, 0,5x – 1 = 5, x = 12;
0,5x – 1 = –5, x = –8.

Оба найденных значения не принадлежат найденному отрезку, следовательно, осталось найти значение функции в концах отрезка и сравнить.

Ответ: –184.

Особенность ошибки далеко не очевидна, она заключается в том, что делать замену переменной при исследовании функции можно только на то выражение, для которого можно будет говорить о свойстве строгой монотонности при рассмотрении соответствующей функции.

Чтобы это стало очевидным, рассмотрим функцию y = x⁴. Замена x⁴ = t приводит к рассмотрению функции y = t, производная которой равна 1, следовательно, исходная функция должна быть возрастающей, что, разумеется, неверно.

Если идти с позиций формальных законов, то в представленных решениях нарушено условие теоремы о свойстве композиции монотонных функций.

Обратимся к задаче С2.

C2

 

Найдите все значения x, при каждом из которых выражения

и 4x² + x

принимают равные значения.

Решение. Задача сводится к нахождению корней уравнения

–4x²log₃ (1 + 4x) – xlog₃ (1 + 4x) – (4x² + x) = 0
(4x² + x)log₃ (1 + 4x) + (4x² + x) = 0
(4x² + x)(log₃ (1 + 4x) + 1) = 0

Ответ: 0;

Заметим, что показанный в данном решении метод равносильных преобразований не является обязательным методом решения уравнений и неравенств на экзамене. Главное — чтобы выпускник показал в решении все необходимые преобразования, технику решения уравнения и способ установления посторонних корней, а как он это сделает — это его право, лишь бы не было математических ошибок.

C2

 

Найдите все значения x, при каждом из которых выражения

принимают равные значения.

Несмотря на то, что по содержанию эти задания ни при каких условиях не могут быть признаны равноценными, ошибки при их выполнении по своему характеру оказались весьма похожими.

Типичные ошибки при выполнении приведенных заданий С2:

1. Приравнивание к нулю обоих выражений и запись общего корня или серии чисел (встречаемость ошибки порядка 25–30%).

2. Приводились решения одного из уравнений и последующая проверка найденных корней для другого уравнения (включая тригонометрические). Например: 4x² + x = 0, откуда x = 0, . Проверка показывает, что только x = 0 является корнем уравнения

Необходимо обратить внимание на то, что это задание ни в коей мере не диагностирует умение решать логарифмическое или тригонометрическое уравнения. Одним из составных элементов таких задач является необходимость составить математическую модель заданного сюжета, а число таких задач в действующих учебниках невелико. В связи с этим при планировании уроков итогового повторения различных разделов школьного курса алгебры, а также алгебры и начал математического анализа необходимо предусмотрительно включать задачи с такими сюжетами:

а) найдите все значения переменной, при каждом из которых выражения A(x) и B(x) принимают равные значения;
б) определите множество всех значений x, при которых функции y = f(x) и y = g(x) имеют одинаковые знаки значений;
в) определите множество всех значений x, при которых график функции y = f(x) расположен выше графика функции y = g(x);
г) определите множество всех значений x, при которых график функции y = f(x) лежит ниже биссектрисы I и III координатных углов;
д) найдите координаты точки пересечения графиков функций y = f(x) и y = g(x).

3. Ошибки в нахождении области допустимых значений переменной:

а) для учащиеся указывают лишь требование , забывая о том, что не должно быть тех значений x, для которых

б) встречаются такие требования для логарифма: 1 + 4x ≥ 0.

4. В процессе нахождения посторонних корней учащиеся путают понятие отрицательного значения аргумента и отрицательного значения выражения. Например, после получения корней уравнения

можно было встретить такие записи — «так как логарифм отрицательных чисел не существует, то x = 0. Ответ: 0».

5. При решении логарифмического уравнения допускается «стандартная» ошибка по «отбрасыванию логарифмов» — нарушается принцип монотонности функции при решении уравнений.

Самсонов П.