Наш ответ ЕГЭ: разноуровневое обобщающее повторение

Урок по теме «Применение свойств тригонометрических функций к решению задач ^*»

Тема урока выбрана на основании анализа результатов краевой диагностической работы, которая выявила, что учащиеся еще не в полной мере усвоили тему «Применение свойств тригонометрических функций к решению задач». В классе 23 ученика. По результатам диагностической работы выявлено, что с заданиями по данной теме на базовом уровне справились:

— 6 учащихся класса на 100% — 1-я группа;
— 11 учащихся на 50% — 2-я группа;
— 6 учащихся не справились — 3-я группа.

Перед началом урока учащиеся рассаживаются в соответствии с тремя уровнями подготовки на определенные ряды. При этом учащиеся знают, что по мере усвоения материала они могут переходить в следующую по уровню подготовки группу. Продолжительность урока — 45 минут.

Цели урока:

• Обобщить знания по темам «Тригонометрические функции и их свойства» и «Применение свойств тригонометрических функций к решению уравнений», рассмотреть методы решения тригонометрических и комбинированных уравнений базового и повышенного уровней сложности.

Оборудование:

Интерактивная доска или мультимедийная установка. На уроке используется презентация «Применение свойств тригонометрических функций к решению уравнений»:

• при повторении теоретического на доске высвечиваются графики тригонометрических функций, повторяемые формулы, примеры, иллюстрирующие основные факты;
• при проверке самостоятельной работы на доске появляются ответы на соответствующие задания.

На столах лежат конверты с карточками, которые учащиеся используют на различных этапах урока. Для каждой группы используются задания, напечатанные на карточках различных цветов: для 1-й группы — розовые; для 2-й группы — голубые; для 3-й группы — зеленые.

I этап урока — организационный

Учитель сообщает учащимся тему урока, цель и поясняет, что во время урока постепенно будет использоваться тот раздаточный материал, который находится на столах.

II этап урока — повторение теоретического материала

Учитель обращается к учащимся:

— Назовите тригонометрические функции, которые вы знаете.

Учащиеся в произвольном порядке называют функции:

y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x.

Учитель просит перечислить свойства тригонометрических функций, используя общую схему исследования функции, представленную на доске, и заполнить таблицу.

Учащиеся называют свойства тригонометрических функций, каждый правильный ответ высвечивается на доске. В результат обсуждения на доске появляется таблица (везде в таблице k Z).

При заполнении таблицы учитель просит учащихся комментировать ответы. Например:

• Область определения функций y = sin x и
  y = cos x есть множество действительных чисел, так как каждому действительному числу можно поставить в соответствие единственную точку на числовой окружности, а каждой точке числовой окружности можно поставить в соответствие ее абсциссу и ординату.
• В область определения функции y = tg x входят все действительные числа, для которых cos x ≠ 0, так как , то есть .
• Значение функции y = cos x определяется как значение соответствующих абсцисс точек числовой окружности, поэтому cos x = 0 в точках , где k Z.
• Функция y = sin x — нечетная (y = cos x — четная). Числа x и –x изображаются точками числовой окружности, симметричными относительно оси Ox, поэтому их ординаты противоположны, а абсциссы совпадают, следовательно,

sin (–x) = –sin x, cos (–x) = cos x.

• Функции y = tg x и y = ctg x являются нечетными, так как представляют собой отношение четной и нечетной функций.

Свойства функции	y = sin x	y = cos x	y = tg x	y = ctg x
Область опред.	(–∞; + ∞)	(–∞; + ∞)		x ≠ πk
Точки пересеч. графика с осями координат: Oy /Ox	(0; 0) / (πk; 0)	(0; 1) /	(0; 0) / (πk; 0)	нет/
Четность/ нечетность	нечетная	четная	нечетная	нечетная
Пром. монот.: возр/ убывания	/	(–π + πk;2πk)/ (2πk; π + 2πk)	/ нет	нет/ (πk; π + πk)
Экстрем.: min/ max	/	(2πk; 1)/ (–π + 2πk; –1)	нет / нет	нет/ нет
Период	T = 2π	T = 2π	T = π	T = π
Пром. знакопост.: y>0/y<0	(2πk; π + 2πk)/ (–π + 2πk; 2πk)	/	/	/
Множ. значений	[–1; 1]	[–1; 1]	(–∞; +∞)	(–∞; +∞)

Учитель говорит, что все перечисленные свойства функций на их графиках.

На доске появляются графики рассмотренных функций.

Учитель просит одного из учащихся по графику функции y = cos x перечислить ее свойства и показать, как они отображаются на графике.

Учитель обращается к учащимся с вопросом:

— Как располагаются графики функций y = 2sin x и y = sin 2x относительно графика функции y = sin x?

Предполагаемый ответ учащихся:

График функции y = 2sin x имеет те же точки пересечения с осью Ox, что и график функции y = sin x, так как обе функции в ноль обращаются одновременно, имеют одинаковые промежутки знакопостоянства и монотонности, одинаковый период, но разную область значений. Каждая ордината графика y = sin x должна быть умножена на 2. График функции y = 2sin x получается из графика функции y = sin x путем его растяжения в 2 раза вдоль ось Oy.

График функции y = sin 2x имеет период πk, kZ. Так как sin 2x = 2sin x cos x, то точками пересечения с осью Ox будут точки, в которых обращаются в ноль sin x или cos x, то есть , kZ. Вследствие этого изменятся и промежутки знакопостоянства и промежутки монотонности. Точки экстремума станут другими: ,kZ и kZ. Неизменной останется лишь область значений [–1; 1]. График функции y = sin 2x получается из графика функции y = sin x путем его сжатия в 2 раза вдоль оси Ox.

После ответов учащихся на доске появляются графики соответствующих функций.

III этап урока — устная работа по решению простейших задач

Учащимся розданы листы с заданиями для устной работы. Учитель предлагает по очереди отвечать на сформулированные вопросы, комментируя свой ответ ссылкой на соответствующий теоретический факт.

1. График какой функции изображен на рисунке?

1).  
2). y = 2cos x.

3).
4). y = 2sin x.

2. График какой функции изображен на рисунке?

1).  
2). y = –sin 2x.

3). y = sin 2x.
4).

3. График какой функции изображен на рисунке?

1). y = 2sin x.
2). y = sin 2x.

3). y = 2sin 2x.
4). y = 2cos 2∙.

4. Укажите множество значений функции

y = sin 3x + 2.

1). [–2; 2].
2). [–1; 5].

3). [1; 3].
4). [–3; 3].

5. Укажите множество значений функции

y = cos 4x – 4.

1). [–4; 4].
2). [–5; –3].

3). [1; 4].
4). [–4; 0].

6. Укажите функцию, множеством значений которой является промежуток [–3; 1].

1).  
2). y = log₄ x – 1.

3). y = 2sin x – 1.
4). y = 2^–x – 1.

7. Укажите множество значений функции

y = tg² x + 2.

1). [0; +∞).
2). [2; +∞).

3). (–∞; +∞).
4). (2; +∞).

8. Укажите множество значений функции

y = ctg² x – 2.

1). [–2; +∞).
2). [0; +∞].

3). (–∞; +∞).
4). (–2; +∞).

9. Укажите наибольшее значение функции на промежутке

IV этап урока — практическая разноуровневая работа

Далее учитель продолжает коллективную работу с учащимися 1-й группы, а учащиеся 2-й и 3-й группы решают самостоятельно задания на карточках (соответственно голубая и зеленая карточки с номером 1).

Голубая карточка № 1

1. Укажите множество значений функции y = 4sin 3x.

1). [–12; 12].
2). [1; 7].

3). [–1; 1].
4). [–4; 4].

2. Укажите множество значений функции y = sin 3x – 4.

1). [–5; –3].
2). [–1; 1].

3). [–1; 7].
4). [–4; 4].

3. Укажите число, принадлежащее области значений функции y = sin² 3x + 5.

1). 5.
2). 10.
3). 2.
4). 20.

4. Укажите функцию, множеством значений которой является промежуток [–8; 6].

1). 
2). y = 7log₄ x – 3.

3).
4). y = 7^–x – 3.

5. График какой функции изображен на рисунке?

1). y = cos x – 1.
2). y = –sin x + 1.

3).
4). y = –sin 2x – 1.

6. Укажите наибольшее значение функции на промежутке

Зеленая карточка № 1

1. Укажите множество значений функции y = 9cos x.

1). [–9; 9].
2). [0; 9].

3). (–∞; +∞).
4). [–1; 1].

2. Укажите множество значений функции y = 2 + cos x.

1). [–1; 1].
2). (–∞; +∞).

3). [–2; 2].
4). [1; 3].

3. Укажите множество значений функции y = cos² x.

1). [0; 1].
2). [–1; 1].

3). (–∞; +∞).
4). [–2; 2].

4. График какой функции изображен на рисунке?

1). y = 2cos x.
2). y = 2sin x.

3). y = –2sin x.
4). y = –2cos x.

Учащимся 1-й группы предлагается рассмотреть решение двух уравнений, обсуждая все шаги решения.

1. Решите уравнение

Решение. Преобразуем уравнение

Рассмотрим это уравнение как равенство функций

Каждая из функций определена на множестве действительных чисел. Найдем область значений каждой из них.

1.   — ограниченная функция, и так как , то

2. f(x) = x² – 5x + 6 — квадратичная функция,

Таким образом, функции f(x) и g(x) могут иметь единственное общее значение:
.
Функция f(x) принимает это значение при . Найдем :

Уравнение имеет единственный корень x = 2,5.

Ответ: 2,5.

2. Решите уравнение

Решение. 1. Преобразуем уравнение при условии, что cos x > 0:

которое равносильно уравнению

Так как cos x ≠ 0, то

2. Решим полученное однородное уравнение:

отсюда

Учитывая, что cos x > 0, получим:

Ответ:

После обсуждения и решения этих задач учащиеся 1-й группы приступают к выполнению самостоятельной работы (розовая карточка, варианты 1 и 2). На выполнение всей работы отводится 18 минут.

Розовая карточка

Вариант 1

Решите уравнение (1–3).

1. 

2. 

3. 2cos x ∙e^{ln (–cos x)} = sin 2x.

Вариант 2

Решите уравнение (1–3).

1. 

2. 

3. 

Через 8 минут после начала работы учащихся 2-й и 3-й группы на экране высвечиваются правильные ответы на задания голубой и зеленой карточек № 1. Учащиеся сверяют свои ответы и при необходимости обращаются к учителю за пояснениями.

IV этап урока — разноуровневая самостоятельная работа

Учащиеся 2-й и 3-й группы приступают к выполнению самостоятельной работы (голубая и зеленая карточки № 2 по вариантам). На выполнение работы отводится 15 минут. Вместе с заданиями учащиеся получают бланки для их выполнения. Учащиеся 3-й группы — это, как правило, учащиеся со слабой математической подготовкой. Работа для них содержит простейшие задания, аналогичные тем, которые разбираются на уроке (4 задания), и 2 задания на темы, по которым они уже демонстрировали успешное выполнение заданий.

Голубая карточка № 2

Вариант 1

1. Укажите множество значений функции

1). [2; 4].
2). [3; 5].

3). [–2; 2].
4). [–1; 1].

2. Укажите число, не принадлежащее области значений функции

1). 1.
2). 2.
3).
4). 4.

3. Укажите функцию, множеством значений которой является промежуток [–2; 0].

1). 
2). y = log₄ x – 1.

3). y = 2sin x – 1.
4). y = 2^–x – 1.

4. График какой функции изображен на рисунке?

1). y = sin x – 1.
2). y = sin x + 1.

3). y = cos x + 1.
4). y = –sin x – 1.

5. Укажите наименьшее значение функции на промежутке

Вариант 2

1. Укажите множество значений функции y = cos 4x – 5.

1). [–4; 5].
2). [–5; 5].

3). [–6; –4].
4). [–1; 9].

2. Укажите число, не принадлежащее области значений функции

1). 1.
2) .
3).
4).

3. Укажите функцию, множеством значений которой является промежуток [–7; –3].

1). 
2). y = 7log₄ x – 3.

3).
4). y = 7^–x – 3.

4. График какой функции изображен на рисунке?

1). y = –cos x + 1.
2). y = sin 2x.

3). y = cos x – 1.
4).

5. Укажите наибольшее значение функции на промежутке

Вариант 3

1. Укажите множество значений функции y = sin 2x – 5.

1). [–5; 1].
2). [–6; –4].

3). [–1; 1].
4). [–5; 5].

2. Укажите число, не принадлежащее области значений функции

1). 5.
2). 10.
3). 2.
4). 20.

3. Укажите функцию, множеством значений которой является промежуток [–8; 6].

1). 
2). y = 7log₄ x – 3.

3).
4). y = 7^–x – 3.

4. График какой функции изображен на рисунке?

1). y = cos x – 1.
2). y = –sin x + 1.

3).
4). y = –sin 2x – 1.

5. Укажите наибольшее значение функции на промежутке

Зеленая карточка № 2

Вариант 1

1. Вычислите:

1). –2.
2). 2.
3). –4.
4). 4.

2. Упростите выражение

1). 10x³.
2). 40x³.
3).
4). 10x².

3. Укажите множество значений функции

1). 
2).

3). [–13; 13].
4). [–1; 1].

4. Укажите множество значений функции y = 3 + sin 2x.

1). [2; 4].
2). [–1; 5].

3). [–3; 3].
4). [–1; 1].

4. Укажите множество значений функции y = 4 + tg² x.

1). [4; +∞).
2). [0; +∞).

3). (–∞; +∞).
4). (4; +∞).

6. График какой функции изображен на рисунке?

1). y = 2cos x.
2). y = 2sin x.

3). y = –2sin x.
4). y = –2cos x.

Вариант 2

1. Вычислите:

1). 20.
2). 15.
3). 5.
4). 10.

2. Упростите выражение

1). x.
2).
3).
4).

3. Укажите множество значений функции y = 15sin 3x.

1). [–15; 15].
2). [–3; 3].

3). [–45; 45].
4). [–1; 1].

4. Укажите множество значений функции

1). [–4; 4].
2). [3; 5].

3).
4).

5. Укажите множество значений функции y = 6 + ctg² 3x.

1). [0; +∞).
2). [6; +∞).

3). (–∞; +∞).
4). (6; +∞).

6. График какой функции изображен на рисунке?

1). y = cos 2x.
2). y = –sin x.

3). y = sin 2x.
4). y = –cos x.

Во время выполнения работы учитель при необходимости помогает учащимся 3-й группы и контролирует решение задач на доске.

Подведение итогов урока, комментарии по домашнему заданию

Учитель еще раз обращает внимание учащихся на те теоретические факты, которые вспоминали на уроке, говорит о необходимости выучить их.

В качестве домашнего задания учащиеся получают по варианту из предыдущей краевой контрольной работы и обмениваются вариантами самостоятельной работы в своей группе.

---

^* Разработки уроков по другим темам были опубликованы в № 6, 8 и 9 за 2007 год.

Белай Е., Семенко Е.