Можно ли упростить решения иррациональных неравенств?

В настоящей статье речь пойдет о неравенствах . Во многих учебниках и пособиях по школьной математике даются такие «общие рецепты» решения иррациональных неравенств

Но нигде (по крайней мере авторам не известно) не обсуждается вопрос о возможном упрощении таких подходов. Например, почему совокупности (1), (2) не являются «избыточными»? Возможен ли более рациональный подход к решению данного типа неравенств? Одним из возможных ответов на эти вопросы являются утверждения 1 и 2.

Утверждение 1. Иррациональное неравенство равносильно совокупности неравенства f(x) > g2k(x) и системы неравенств

Заметим, что совокупность (3) отличается от совокупности (1) тем, что система заменена на одно неравенство f(x) > g^2k(x)!
Вроде бы удаление условия g(x)≥0 (условие равносильности для возведения в четную степень) здесь недопустимо, но это только на первый взгляд! Авторы отдают себе отчет в том, что утверждение 1 звучит очень неожиданно и не согласовано с общеизвестными методами решения подобных задач. Поэтому мы предлагаем читателю перед дальнейшим чтением доказательства утверждения 1 попытаться построить контрпример — такое неравенство для которого применение (3) приводило бы к ответу, отличному от ответа, получаемого согласно (1), и только после этого продолжить чтение доказательства утверждения 1.

Запишем данное утверждение в виде равносильного перехода:

Итак, докажем утверждение 1. Проведем доказательство, используя терминологию теории множеств. Обозначим и рассмотрим следующие множества:

E — множество чисел x (x R), для которых определены функции f(x) и g(x);

A = {x E: f(x)≥0} — множество чисел x из E, для которых справедливо неравенство f(x)≥0 (множество A обычно называют ОДЗ неравенства ).

Далее, используя аналогичные обозначения:

B = {x E: f(x) > g^2k(x)},

C = {x E: g(x) < 0},

D = {x E: g(x) ≥ 0}.

Отметим сразу некоторые соотношения между данными множествами.

1. C D = E, C ∩ D = , так как для любого xE справедливо только одно из неравенств g(x)<0
   или g(x)≥0.
2. B A, так как если для некоторого x верно f(x)>g^2k(x), то заведомо верно и f(x)≥0, что следует из
   g^2k(x)≥0.

Тогда множество решений, получаемое согласно (1), можно записать как множество

(B ∩D) (A ∩ C).

Множество чисел, получаемое согласно (3), запишется как

B (A ∩ C).

Докажем, что (3) дает тоже верное решение неравенства то есть докажем, что в нашей ситуации:

(B ∩D) (A ∩C) = B (A ∩C).

Во-первых, так как B ∩ D B, то

(B ∩ D) (A ∩ C) B (A ∩C).

Таким образом, (3) дает множество, содержащее множество решений неравенства

Во-вторых,

B (A ∩ C) (B ∩ D) (A ∩C).

Действительно, пусть xB (A∩C). Возможны два случая: xB или xA∩C. Рассмотрим эти случаи.

• Случай 1.Пусть xB, то есть f(x)>g^2k(x).
  Так как BE, E = C D и C∩D = (см.1.), то xC (то есть g(x)<0) или xD (то есть g(x)≥0). Если xC, то xB ∩C A∩C (так как BA (см. 2.), и данный x содержится в множестве (B∩D)(A∩C).
  Если xD, то xB∩D, и снова данный x содержится в множестве (B∩D)(A∩C).
• Случай 2.Пусть xA∩C. В этом случае очевидно, что x(B∩D)(A∩C).

Таким образом, в любом случае x (B∩D) (A∩C) и множества B (A∩C) и (B∩D) (A∩C) совпадают!

Утверждение 1 полностью доказано.

Тем самым мы доказали, что решать неравенство можно, используя равносильный переход (3). Причем выигрыш от применения (3), по сравнению с (1), составляет отказ от решения неравенства g(x)≥0 в системе неравенств

Сделаем последнее простое замечание относительно (3). Наиболее целесообразно этот равносильный переход использовать в виде:

То есть начинать решение неравенства следует с решения неравенств f(x)≥0 и g(x) < 0. В силу того, что:

а) если решением неравенства f(x)≥0 окажется (другими словами, неравенство f(x)≥0 не будет иметь решений), то таким же будет и решение неравенства
. Естественно, решать неравенство f(x)>g^2k(x) не имеет смысла;
б) если решением неравенства g(x) < 0 окажется все множество действительных чисел R, то решать неравенство f(x)>g^2k(x) тоже не имеет смысла. Действительно, в этом случае B∩D= и, согласно (1), решением неравенства является решение системы
. Поэтому, если неравенство f(x)>g^2k(x) и имеет решения, то они содержатся в решениях системы

Таким образом, в данном случае неравенство будет равносильно одному неравенству f(x)≥0.

Рассмотрим теперь неравенство и сформулируем утверждение 2.

Утверждение 2. Иррациональное неравенство равносильно совокупности неравенства f(x)≥g2k(x) и системы неравенств

Запишем это утверждение в виде равносильного перехода:

Заметим, что совокупность в (5) отличается от совокупности в (2) тем, что система заменена на одно неравенство f(x)≥g^2k(x)!

Докажем утверждение 2. Помимо множеств E, A, B, C, D, введенных при доказательстве утверждения 1, рассмотрим множество

H = {x E: f(x) = g^2k(x)}.

Заметим сразу, что:

3. HA, так как если для некоторого числа x верно f(x) = g^2k(x), то и подавно f(x)≥0;
4. {xE: f(x)≥g^2k(x)} = BH.

Для дальнейшего доказательства утверждения 2 нам понадобятся несколько свойств операций над множествами, которые мы приведем для удобства ссылок:

X Y = Y X для любых множеств X, Y; (6)

(X Y) Z = X (Y Z) для любых множеств X, Y, Z; (7)

(X Y) ∩Z = (X ∩Z) (X ∩Z) для любых множеств X, Y, Z. (8)

Итак, наша задача состоит в том, чтобы доказать равенство множеств

((B H) ∩ D) (A ∩C) = (A ∩C) B H, (9)

где ((B H) ∩ D) (A ∩C) — множество решений неравенства полученное по (2), (A ∩C)BH — множество чисел, полученное согласно (5). Преобразуем множество

((B H) ∩ D) (A ∩ C)

согласно (6)–(8):

((B H) ∩D) (A ∩C) =
= (B Ж D) (H ∩D) (A ∩C) =
=((B ∩D) (A ∩C)) (H ∩D).

Заметим, что (B∩D)(A∩C) — это множество решений неравенства
получаемое по (1), и согласно утверждению 1:

(B ∩D) (A ∩C) = B (A ∩C).

Тогда предыдущие преобразования множеств можно продолжить так:

((B∩D) (A∩C)) (H∩D) = (B (A∩C)) (H∩D).

Далее, в силу HA (см. 3), получим

H∩C A∩C и A∩C = (A∩C) (H∩C).

Таким образом, согласно (6)–(8):

(B(A∩C))(H∩D) =
= (B (A∩C)(H∩C))(H∩D) =
= B(A∩C)((H∩C)(H∩D)) =
= B(A∩C)(H∩(CD)) =
= B(A∩C)H = (A∩C)BH.

Предпоследнее равенство справедливо в силу C D = E (см.1) и H ∩E = H.

Таким образом, мы доказали требуемое равенство (9). Утверждение 2 полностью доказано. Подчеркнем еще раз, что выигрыш от применения равносильного перехода (5), по сравнению с (2), состоит в отказе от решения неравенства
g(x)≥ 0 в системе

Ткач Л., Ткач Т.