Поскольку это доказательство П. Ферма для произвольного п не было найдено исследователями (да и было ли оно?), математики решили доказать (или опровергнуть) высказанное утверждение. Делались также попытки найти доказательство для некоторых конкретных значений числа п.

Не мог пройти мимо Великой теоремы и гений Л. Эйлера. Ему не удалось доказать утверждение П. Ферма в общем случае. Однако он нашел доказательства для п = 3 и п = 4. Итоги этих усилий Эйлер и включил во 2-й том своей «Универсальной арифметики» — передового для того времени учебника алгебры с усиленной теорией. В этом учебнике, с одной стороны, излагались основы предмета алгебры. С другой — Эйлер отважился в книгу, предназначенную для гимназистов, включить достаточно серьезные математические проблемы. Среди них были и такие, которые лишь недавно были рассмотрены Эйлером и ранее не публиковались в научной математической литературе.

Цель настоящей статьи — познакомить читателей с доказательством Л. Эйлера Великой теоремы Ферма для случая п = 4. Слово «познакомить» здесь употреблено не случайно. Книга, изданная на русском языке в 1768–1769 гг., ныне является библиографической редкостью и малодоступна для современного читателя, тем более живущего вдали от центральных библиотек. А ведь нам так хочется заглянуть в творческую лабораторию великого Эйлера!

При написании статьи использован подлинник русского издания 2-го тома книги «Универсальная арифметика». Полное название книги таково:

«Универсальная арифметика г. Леонгарда Ейлера, переведенная с немецкого подлинника Академии Наук адъюнктом Петром Иноходцевым и студентом Иваном Юдиным. Том вторый, в котором предлагаются правила, решения уравнений и Диофанский образ решить вопросы. При императорской Академии Наук 1769 года».

Рассмотрим содержание соответствующих пунктов из «Универсальной арифметики».

Пункт 1004

В нем Эйлер формулирует задачу:

«Много труда положено в изобретении двух биквадратов, коих бы сумма или разность была квадратное число; но весь труд был тщетный, и сыскано наконец доказательство, что ни формулы x⁴ + y⁴, ниже сей x⁴ – y⁴ никогда квадратом сделать не можно», исключая для первой формулы очевидный случай х = 0 или у = 0, а для второй — у = 0 или у = х.

«Во всех остальных (случаях. — А.Х.) оное невозможно», то есть x⁴ + y⁴ ¹ z⁴, в то время как если речь идет «о простых квадратах, то бесконечно много решений имеют место»: уравнение x² + y² = z² имеет бесконечное множество решений в множестве целых чисел, отличных от нуля.

Замечание. В дальнейшем будем предполагать, что числа x, y и z – натуральные.

Пункт 1005

В нем Эйлер показывает:

Титульная страница «Арифметики» Диофанта (1621). Главное содержание книги – неопределенные уравнения, которые теперь называются диофантовыми уравнениями..

Для доказательства теоремы о том, что x⁴+y⁴≠z² для любых х,у,zZ достаточно доказать невозможность равенства x⁴ + y⁴ = z² для случая, когда числа х и у «неделимые между собой», то есть взаимно простые.

Это утверждение Эйлер обосновал с помощью доказательства от противного.

Предположим, что для взаимно простых чисел равенство неверно, а для не взаимно простых — верно. Допустим, что для каких-то не взаимно простых х и у оказалось, что x⁴ + y⁴ = z².
Обозначим НОД(х; у) = d > 1, откуда x = dp, y = dq, причем числа p и q взаимно простые (это обозначается так: (p; q) = 1). Подставляя выражения для х и у, получим:

z² = x⁴ + y⁴ = d⁴р⁴ + d⁴q⁴ =
= d⁴(р⁴ + q⁴), z² = d⁴(р⁴ + q⁴),

поэтому сумма р⁴ + q⁴ должна быть квадратом: р⁴ + q⁴ = к², где (р; q) = 1, что противоречит условию. Значит, допущение неверно, и x⁴ + y⁴ ¹ z² при любых х и у.

Вывод. Если будет доказано, что для взаимно простых чисел х и у имеет место неравенство x⁴ + y⁴ ¹ z², то можно будет утверждать, что и для любых чисел х и у истинно x⁴ + y⁴ ¹ z² (и подавно x⁴ + y⁴ ¹ z⁴) . Тем самым будет доказана теорема Ферма для п = 4.

Итак, будем вести доказательство невозможности равенства x⁴+y⁴=z² при условии, что (х; у) = 1.

С этой целью, вслед за Эйлером, воспользуемся методом доказательства от противного.

Пункт 1006

Здесь Эйлер объясняет суть доказательства того, что сумма x⁴+y⁴, где (х; у)=1, не может быть квадратом.

«Если бы кто захотел опровергнуть наше положение, то бы надлежало утверждать, что такие знаменования (значения. — А.Х.) для х и у возможны, что бы x⁴ + y⁴ было квадрат, оные знаменования сколь бы велики ни были: ибо заподлинно в малых ни одного не попадается.

Но ясно показать можно, что хотя бы такие знаменования для х и у и в самых больших числах попались; то бы из оных заключить можно было и о малых числах, а из сих бы еще о меньших, и так далее. Но понеже в малых числах таких знаменований нет, выключая два помянутых, но которые ни к каким другим нас не приводят, то заподлинно можно заключить, что и в больших да и в самых пребольших числах нет таких знаменований для х и у».

Из приведенной цитаты следует, что:

а) Эйлер будет проводить доказательство методом от противного, то есть допустив, что сумма x⁴+y⁴ при (х; у) = 1 есть точный квадрат, придет к противоречию;
б) Эйлер применяет способ доказательства, называемый методом спуска.

Идея метода состоит в следующем: доказательство утверждения о том, что x⁴+y⁴ не является квадратом для любых больших чисел х и у, заменяется доказательством того же утверждения для чисел х₁ и у₁, меньших соответственно чисел х и у, затем — для чисел х₂ и у₂ , меньших х₁ и у₁, и так далее. И если для малых чисел очевидно, что рассматриваемое утверждение не имеет места, значит, оно не выполнимо и для исходных произвольно больших целых чисел.

Пункт 1007

Здесь Эйлер реализует задуманное доказательство.

Допустим, что найдутся такие взаимно простые числа х и у, что х⁴+у⁴=z². Очевидно, что числа х и у не могут быть оба четными; докажем, что они оба не могут быть нечетными. Положив х=2п+1 и у=2k+1, получим:

х⁴ + у⁴ = (4q₁ + 1) + (4q₂ + 1) = 4q + 2 = z².

(Здесь q₁ и q₂ — некоторые натуральные числа, q = q₁ + q₂.)

Покажем, что последнее равенство не может иметь места. В самом деле, из него следует, что z² делится на 2, откуда и z делится на 2, z = 2z₁. Получаем равенство которое не может быть верным ни при каких значениях переменных (2 на 4 не делится). Значит, наше предположение неверно, и числа х и у не могут быть одновременно нечетными. Таким образом, остается только одна возможность: одно из них четно, а другое нечетно.

Далее Эйлер проводит замены:

x² = p² – q², y² = 2pq, z = p² + q², p > q.

Можно доказать, что если для некоторых чисел а, b и с выполняется равенство а² + b² = с²,
то эти числа можно подбирать из условий: а = р² – q² , b = 2рq и с = р² + q² , где р, q N, p > q.
(Доказательство этого можно найти в книге М.М. Постникова «Теорема Ферма».)

Леонард Эйлер (1707–1783). Выдающийся математик, внесший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук.

Выполненной заменой мы фиксировали, что у — четное; значит, х — нечетное.

Эйлер доказывает, что числа p и q разной четности, причем p — нечетное, а q — четное. Это нетрудно установить, рассмотрев формулу x²=p²–q², где х — число нечетное. Запишем ее по-другому: x²+q²=p². Если допустить, что q — нечетное, то, сделав замены x=2n+1,
q = 2k + 1, получим: 4m + 2 = p². Невозможность такого равенства мы установили выше. Значит, q – четное.

Эйлер отмечает:

«Должно быть р нечетное, а q — четное, где само по себе разумеется, что оные должны быть между собою неделимы»

(то есть взаимно простыми). Утверждение о взаимной простоте чисел p и q Эйлер принимает как очевидное и не доказывает его.

• Обоснуйте его самостоятельно.

Наконец Эйлер делает еще одну замену переменных, после чего уже становится очевидным, как «работает» метод спуска. Он пишет:

«Когда р² – q² должно быть равно х², то учинится сие, как мы прежде видели, ежели р = r² + s² и q = 2rs, ибо оттуда было бы х² = (r² – s²)² и следовательно, х = r² – s² ».

Эйлер здесь применяет тот же прием, что и выше: числа x, q, p, для которых выполняется соотношение x² + q² = p², заменяются на r² – s², 2rs и r² + s² соответственно.

• Докажите, что если числа p и q — взаимно простые, то и числа r и s также взаимно простые.

Подставим теперь в выражение для у² вместо p и q числа r и s, получим:

у² = 2рq = 2(r² + s²) · 2rs = 4rs(r² + s²),

то есть у² = 4rs(r² + s²).

Из последнего равенства следует, что выражение rs(r² + s²) должно быть точным квадратом: rs(r² + s²) = k².

Поскольку (r; s) = 1, то числа r, s и (r² + s²) — попарно взаимно простые. Эйлер об этом пишет так:

«r и s — неделимые между собою числа, и потому находящиеся здесь три множителя r, s и r² + s² общего делителя не имеют».

• Докажите это утверждение самостоятельно.

В заключительной части доказательства Эйлер осуществляет «метод спуска». Он пишет:

«Но ежели произведение из большего числа множителей, кои между собою неделимы, должно быть квадрат, то каждый множитель сам по себе должен быть квадрат».

Иными словами, если aжbжc = k² , где (a; b) = = (b; c) = (a; c) = 1, то a=a₁², b=b₁² ,c=c₁²

Эндрю Уайлс (р. 1953). Впервые узнал о теореме Ферма в возрасте 10 лет и сразу попытался ее доказать. Затем, став математиком, вернулся к теореме Ферма снова. В тайне от своих коллег долго искал ее доказательство и со временем его нашел.

Это утверждение Эйлер не обосновывает, видимо считая его очевидным.

• Попробуйте обосновать его самостоятельно (используйте основную теорему арифметики).

Далее Эйлер возвращается к равенству rs(r² + s²) = k². Он делает вывод:

Так как числа r, s и r² + s² — попарно взаимно простые, и их произведение является точным квадратом, то «каждый множитель сам по себе должен быть квадратом, и так положи: r = t² ,
s = u², то до'лжно также t⁴ + u⁴ быть квадрат», то есть t⁴+u⁴=v² .

Эйлер продолжает:

«И по сему ежели бы x⁴ + у⁴ было квадратное число, то бы также и t⁴ + u⁴, то есть сумма двух биквадратов была бы квадрат. При чем надлежит примечать, что было бы х = t⁴ – u⁴ и у² = 4t²u²(t⁴ + u⁴), где очевидно числа t и u гораздо меньше, нежели х и у, затем что х и у определяются уже четвертыми степенями чисел t и u и следовательно бесспорно были бы гораздо больше».

Итак, если допустить, что сумма x⁴ + y⁴ = z² (есть точный квадрат), то существуют числа t < х и и < у такие, что сумма t⁴ + u⁴ = v² (есть точный квадрат). Далее, поступая аналогично, «можно бы еще о меньших суммах заключить и наконец пришли бы к самым малым числам; но когда такая сумма в малых числах не возможна, то следует из сего, что и в пребольших числах оной суммы не будет».

Таким образом, Эйлер завершает рассуждение «методом спуска». Тем самым завершено доказательство методом от противного: допустив, что равенство x⁴ + y⁴ = z² возможно «в больших числах», он доказал, что такое же равенство должно иметь место и «в малых числах». Но «в малых числах» такое равенство не существует (вообще говоря, этого Эйлер строго не обосновывает). Значит, получилось противоречие с допущением о возможности равенства x⁴ + y⁴ = z². Противоречие показывает, что допущение неверно, то есть не существует натуральных чисел x, y, z, для которых имеет место равенство x⁴ + y⁴ = z². Тем более не выполнимо равенство x⁴ + y⁴ = (z²)²= z⁴.

Итак, Великая теорема Ферма для п = 4 доказана.

В последующих разделах второй части «Универсальной арифметики» Эйлер доказывает, что нельзя в виде точного квадрата представить выражения:

x⁴ – y⁴; x⁴ ± 4y⁴; 2x⁴ ± 2y⁴; 4x⁴ – y⁴; x⁴ + 2y⁴.

Таково содержание фрагмента знаменитого учебника алгебры, созданного гениальным математиком XVIII века — Леонардом Эйлером.

Заметим также, что Великая теорема Ферма в общем случае была доказана лишь в 1995 г. английским математиком Эндрю Уайлсом, который в процессе доказательства теоремы использовал многие разделы современной математики.

Литература

1. Арнольд И.В. Теория чисел. — М.: Учпедгиз, 1939.
2. Бухштаб А.А. Теория чисел. — М.: Просвещение, 1966.
3. Диофант. Арифметика / Под ред. И.Г. Башмаковой. – М.: Наука, 1974.
4. Полякова Т.С. История математического образования в России. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 2002.
5. Постников М.М. Теорема Ферма. — М.: Наука, 1978.
6. Сингх С. Великая теорема Ферма. — М.: МЦНМО, 2000.
7. Хрестоматия по истории математики/Под ред. А.П. Юшкевича. Ч. 2. — М.: Просвещение, 1976.
8. Эйлер Л. Универсальная арифметика. Т. II. — СПб., 1769.

Хармац А.