Вместо рецензии, или Как решить задачу с помощью векторов

Минувшей осенью участники нашего математического кружка обсуждали одну интересную и трудную задачу, предложенную на заочном туре олимпиады «Покори Воробьевы горы-2009». Речь в задаче шла об углах между некоторыми отрезками, расположенными внутри правильного треугольника. Естественно было вначале рассмотреть какой-либо частный случай. Так возникла следующая задача.

Задача. .Пусть ABC — правильный треугольник. На его сторонах AB и AC отмечены точки M и K так, что AM : MB = CK : KA = 2 : 1. Точка P — точка пересечения отрезков BK и CM. Найдите величину угла APM.

Решение. Введем векторы (рис. 1). На основании правил сложения и вычитания векторов имеем:

Для любой точки T прямой CM выполняется равенство:

где t — параметр, соответствующий точке T (tR).

Аналогично, Для любой точки Q прямой BK выполняется равенство:

где u — параметр, uR.

В точке P пересечения прямых CM и BK выполняется равенство:

то есть

или

Векторы  — не коллинераны, поэтому последнее векторное равенство выполняется лишь при том условии, что коэффициенты разложения одновременно равны нулю. Значения параметров t и u, при которых это так, являются решением системы уравнений

Решая систему, находим: Тогда получаем, что

Предположим, что длины векторов и равны 1. Найдем скалярное произведение векторов Учитывая, что получим:

Задача решена.

Упражнение. Пусть S — середина стороны BC. Докажите, что угол между прямыми AP и SP равен 30° .

Рассмотренные задачи подтверждают эффективность использования векторов при решении задач. Всегда находятся школьники, которым интересно прочитать об этом в книге, подробно и обстоятельно. Сейчас в магазинах появилась книга «Векторы и координаты как аппарат решения геометрических задач» (М.: Дрофа, 2008. Серия «Элективные курсы»). Ее автор — профессор кафедры алгебры и геометрии Тольяттинского государственного университета Е.В. Потоскуев. Представленный в книге элективный курс будет полезен тем, кто решил связать свою дальнейшую профессиональную деятельность с работой в области теоретической и прикладной математики, а также в естественнонаучных областях. В книге изложен теоретический материал, который дополнен большим количеством задач. Почти все задачи снабжены указаниями и ответами.

Не пропустите новую интересную и полезную книгу по геометрии.