Заполнение пространства многогранниками

Заполнение пространства многогранниками

Какими многогранниками можно заполнить пространство так, чтобы любые два многогранника либо имели общую грань, либо общее ребро, либо общую вершину, либо не имели общих точек? Такое заполнение пространства многогранниками называется пространственным паркетом.

Ясно, что если имеется паркет на плоскости, состоящий из многоугольников, то призмы, основаниями которых служат эти многоугольники, будут образовывать пространственный паркет (рис. 1). В частности, пространственный паркет можно составить из произвольного параллелепипеда, правильной треугольной призмы, правильной шестиугольной призмы и др.

Рис. 1

Выясним, из каких правильных многогранников можно составить пространственный паркет. Заметим, что при заполнении пространства многогранниками сумма двугранных углов многогранников, прилегающих к одному ребру, должна составлять 360°. Поэтому из одноименных правильных многогранников пространственный паркет можно составить только из тех, у которых двугранные углы имеют вид .

Конечно, пространственный паркет можно составить из равных кубов. Двугранные углы куба равны 90°.

Найдем двугранные углы правильного тетраэдра. Пусть ABCD — правильный тетраэдр с ребром 1 (рис. 2). Из вершин A и D опустим перпендикуляры AE и DE на ребро BC. Угол AED будет линейным углом j искомого двугранного угла. В треугольнике ADE имеем:

.

Используя теорему косинусов, находим . Откуда φ ≈ 70°30'.

Рис. 2

Таким образом, если при одном ребре сходится менее шести тетраэдров, то сумма их двугранных углов меньше 360°, если же взять шесть или более тетраэдров, то сумма их двугранных углов будет больше 360°. Следовательно, из правильных тетраэдров нельзя составить пространственный паркет.

Найдем двугранные углы октаэдра. Рассмотрим правильный октаэдр с ребром 1 (рис. 3).

Рис. 3

Из вершин E и F опустим перпендикуляры EG и FG на ребро BC. Угол EGF будет линейным углом j искомого двугранного угла. В треугольнике EGF имеем:

Используя теорему косинусов, находим . Откуда φ ≈ 109°30'. Таким образом, если при одном ребре сходится менее четырех октаэдров, то сумма их двугранных углов меньше 360°, если же взять четыре или более октаэдров, то сумма их двугранных углов будет больше 360°. Следовательно, из правильных октаэдров нельзя составить пространственный паркет.

Найдем двугранные углы икосаэдра. Рассмотрим правильный икосаэдр с ребром 1 (рис. 4).

Рис. 4

Из вершин A и C опустим перпендикуляры AG и CG на ребро BF. Угол AGC будет линейным углом j искомого двугранного угла. В треугольнике AGC имеем:

Используя теорему косинусов, находим . Откуда φ ≈ 138°11'. Таким образом, если при одном ребре сходится менее трех икосаэдров, то сумма их двугранных углов меньше 360°, если же взять три или более икосаэдров, то сумма их двугранных углов будет больше 360°. Следовательно, из правильных икосаэдров нельзя составить пространственный паркет.

Найдем двугранные углы додекаэдра. Рассмотрим правильный додекаэдр с ребром 1 (рис. 5).

Из вершин A и C опустим перпендикуляры AG и CG на ребро BF. Угол AGC будет линейным углом φ искомого двугранного угла. В правильном пятиугольнике ABCDE стороны равны . AC — диагональ этого пятиугольника, и следовательно, . Кроме того, .

Используя теорему косинусов, находим . Откуда φ ≈ 116°34'. Таким образом, если при одном ребре сходится менее трех додекаэдров, то сумма их двугранных углов меньше 360°, если же взять три или более додекаэдров, то сумма их двугранных углов будет больше 360°. Следовательно, из правильных додекаэдров также нельзя составить пространственный паркет.

Рис. 5

В результате получаем, что единственным правильным многогранником, которым можно заполнить пространство, то есть составить пространственный паркет, является куб.

Используя куб, можно привести примеры других многогранников, из которых можно составить пространственный паркет.

Так, например, куб можно разбить на правильные четырехугольные пирамиды, основаниями которых являются грани куба, а вершиной — центр куба (рис. 6). Одной из таких пирамид является пирамида OABCD. Если в пространственном паркете из кубов каждый куб разбить на правильные четырехугольные пирамиды, то получим пространственный паркет из правильных четырехугольных пирамид.

Рис. 6

Правильную четырехугольную пирамиду OABCD (рис. 7) можно разбить на две равные треугольные пирамиды OABC и OACD. Разбиение кубов на такие пирамиды дает пространственный паркет, состоящий из треугольных пирамид — тетраэдров. Для единичного куба эти тетраэдры имеют ребра, равные . Тетраэдр OABC можно разбить на два равных тетраэдра OABP и OBCP. Ребра этих тетраэдров равны Тетраэдр OABP, в свою очередь, можно разбить на два равных тетраэдра OARP и OBRP. Ребра этих тетраэдров равны Наконец, из двух тетраэдров, равных тетраэдру OABP, можно составить один тетраэдр OABQ, из которого также можно составить пространственный паркет. Ребра этого тетраэдра равны Заметим, что гранями последнего тетраэдра являются равные равнобедренные треугольники со сторонами

Рис. 7

Оказывается, что никаких других тетраэдров, из которых можно составить пространственный паркет, кроме четырех тетраэдров, перечисленных выше, не существует (см. [1]).

Приведем другие примеры многогранников, из которых можно составить пространственные паркеты.

На рисунке 8 изображен ромбододекаэдр — многогранник, поверхность которого состоит из двенадцати равных ромбов. Форму ромбододекаэдра имеет кристалл граната. Поэтому его называют также гранатоэдр.

Рис. 8

Ромбододекаэдр можно получить из двух кубов следующим образом. Разрежем один из кубов на шесть равных правильных четырехугольных пирамид с вершинами в центре куба, основаниями которых являются грани куба. Поставим каждую такую пирамиду основанием на грань неразрезанного куба. Получим ромбододекаэдр (рис. 9).

Рис. 9

Приступим теперь к составлению паркета. Рассмотрим пространственный паркет из кубов, раскрашенных в черный и белый цвета в шахматном порядке так, что по граням соприкасаются только черные и белые кубы. Разобьем белые кубы на правильные четырехугольные пирамиды и присоединим их к прилегающим черным кубам. В результате получим искомый пространственный паркет из ромбододекаэдров.

Используя ромбододекаэдр, приведем пример еще одного многогранника, из которого можно составить пространственный паркет.

Рис. 10

Разрежем ромбододекаэдр плоскостью, проходящей через центр вписанного в него куба, параллельно одной из граней куба. В сечении будет квадрат ABCD со стороной, равной диагонали грани куба (рис. 10,а). Вставим между двумя половинками ромбододекаэдра правильную четырехугольную призму. Получим многогранник, поверхность которого состоит из двенадцати граней: восьми ромбов и четырех шестиугольников (рис. 10,б).

Покажем, что из таких двенадцатигранников можно составить пространственный паркет. Для этого разрежем паркет из ромбододекаэдров плоскостями, проходящими через центры черных кубов и параллельными одной выбранной грани черного куба. В пересечении каждой такой плоскости с ромбододекаэдрами образуется плоский паркет из квадратов. В каждый разрез вставим правильные четырехугольные призмы, основаниями которых являются квадраты из плоского паркета. В результате получим искомый пространственный паркет.

Приведем пример еще одного многогранника, из которого можно составить пространственный паркет. Он называется усеченным октаэдром и получается из октаэдра отсечением от его вершин правильных четырехугольных пирамид, боковые ребра которых равны одной трети ребра данного октаэдра (рис. 11,а). Гранями усеченного октаэдра являются шесть квадратов и восемь правильных шестиугольников (рис. 11,б).

Рис. 11

Разрежем усеченный октаэдр на восемь равных частей плоскостями, проходящими через пары противоположных ребер октаэдра (рис. 12).

Рис. 12

Каждая такая часть представляет собой половинку куба, полученную разрезанием куба по плоскости, дающей в сечении куба правильный шестиугольник.

Если взять два равных усеченных октаэдра, один из них разрезать на восемь равных частей и присоединить эти части к шестиугольным граням неразрезанного усеченного октаэдра, то получим куб.

Рассмотрим пространственный паркет, состоящий из кубов с вписанными в них усеченными октаэдрами. Эти усеченные октаэдры не заполняют все пространство. Между ними остаются пустоты. Однако эти пустоты расположены вокруг вершин кубов и представляют собой объединение восьмых частей усеченных октаэдров и, следовательно, сами являются усеченными октаэдрами. Таким образом, все пространство оказывается разбитым на усеченные октаэдры, и любые два таких усеченных октаэдра получаются друг из друга параллельным переносом.

Заметим, что в пяти из рассмотренных выше пространственных паркетах многогранники расположены параллельно друг другу. Это паркеты из шестиугольных призм, кубов (параллелепипедов), ромбододекаэдров, двенадцатигранников, полученных из ромбододекаэдра добавлением правильных четырехугольных призм и усеченных октаэдров.

Такие выпуклые многогранники, из которых можно составить пространственный паркет так, чтобы любые два многогранника из этого паркета получались друг из друга параллельным переносом, называются параллелоэдрами. Отечественным математиком и кристаллографом Е.С. Федоровым (1853–1919) было доказано, что существует только пять типов параллелоэдров: куб (параллелепипед), правильная шестиугольная призма, усеченный октаэдр, ромбододекаэдр и двенадцатигранник, полученный из ромбододекаэдра (см. [2]).

Приведем примеры пространственных паркетов, составленных из нескольких различных многогранников.

На рисунке 13 изображен многогранник, называемый усеченным кубом. Его гранями являются правильные треугольники и восьмиугольники. Он получается из куба отсечением от его вершин правильных треугольных пирамид. Непосредственные вычисления показывают, что для единичного куба боковые ребра этих пирамид должны быть равны . Если в пространственном паркете из кубов заменить кубы на усеченные кубы, то между ними останутся пустоты в виде октаэдров. Таким образом, усеченные кубы и октаэдры образуют пространственный паркет.

Рис. 13

На рисунке 14 изображен многогранник, называемый кубооктаэдром. Его гранями являются шесть квадратов (как у куба) и восемь правильных треугольников (как у октаэдра). Он получается из куба отсечением от его вершин правильных треугольных пирамид, боковые ребра которых равны половине ребра куба. Если в пространственном паркете из кубов заменить кубы на кубооктаэдры, то между ними останутся пустоты в виде октаэдров. Таким образом, кубооктаэдры и октаэдры образуют пространственный паркет.

Рис. 14

Рассмотрим пространственный паркет, состоящий из кубов с вписанными в них правильными тетраэдрами (рис. 15).

Рис. 15

Эти тетраэдры не заполняют все пространство. Между ними остаются пустоты. Однако эти пустоты расположены вокруг вершин кубов и представляют собой объединение восьмых частей октаэдров и, следовательно, сами являются октаэдрами. Таким образом, мы имеем пространственный паркет, составленный из правильных тетраэдров и октаэдров.

На рисунке 16 изображен многогранник, называемый ромбокубооктаэдром. Его гранями являются квадраты и правильные треугольники. Он получается из единичного куба следующим образом. Перенесем грани куба в направлении от его центра на расстояние, равное . Вершины этих граней будут служить вершинами искомого ромбокубооктаэдра. Будем заполнять пространство ромбокубооктаэдрами, совмещая их грани, полученные из граней куба. На остальные квадратные грани ромбокубооктаэдров поставим кубы, а на треугольные грани поставим кубооктаэдры. В результате получим пространственный паркет, составленный из ромбокубооктаэдров, кубов и кубооктаэдров.

На рисунке 17 изображен многогранник, называемый усеченным кубооктаэдром. Его гранями являются правильные восьмиугольники, шестиугольники и квадраты. Он получается из усеченного куба следующим образом. Перенесем восьмиугольные грани усеченного куба, ребра которого равны 1, в направлении от его центра на расстояние, равное . Вершины этих граней будут служить вершинами искомого усеченного кубооктаэдра.

Будем заполнять пространство усеченными кубооктаэдрами, совмещая их грани, полученные из восьмиугольных граней усеченного куба, так, чтобы шестиугольные грани одного усеченного кубооктаэдра примыкали к квадратным граням другого кубооктаэдра. Пустоты между этими усеченными кубооктаэдрами будут иметь форму усеченных октаэдров. Таким образом, эти усеченные кубооктаэдры и усеченные октаэдры будут образовывать пространственный паркет.

В заключение предлагаем упражнения для самостоятельного решения.

Упражнения

1. Можно ли составить пространственный паркет из произвольной:

а) треугольной призмы;

б) четырехугольной призмы;

в) шестиугольной призмы?

2. Можно ли составить паркет из какой-нибудь пятиугольной призмы?

3. Найдите двугранные углы, образованные гранями:

а) усеченного октаэдра;

б) ромбододекаэдра.

4. Вершинами какого многогранника являются центры граней ромбододекаэдра?

5. Покажите, что из равных правильных четырехугольных и шестиугольных пирамид можно составить пространственный паркет.

6. Найдите двугранные углы тетраэдров, из которых можно составить пространственный паркет.

7. Можно ли составить пространственный паркет из пространственного креста — многогранника, полученного объединением семи кубов (рис. 18).

Рис. 18

8. На рисунке 19 изображен многогранник, называемый звездчатым октаэдром, получающийся продолжением граней октаэдра. Он был открыт Леонардо да Винчи, затем, спустя почти сто лет, переоткрыт И. Кеплером и назван им Stella octangula — звезда восьмиугольная. Какой правильный многогранник нужно добавить к нему, чтобы из них можно было составить пространственный паркет?

Рис. 19

9. Двойственным к пространственному паркету, состоящему из многогранников, имеющих центр симметрии, называется пространственный паркет из многогранников, вершинами которых являются центры многогранников данного паркета. Какие пространственные паркеты двойственны паркету: а) из кубов; б) правильных треугольных призм; в) правильных шестиугольных призм?

10. Найдите пространственные паркеты, двойственные паркетам:

а) из усеченных октаэдров;

б) ромбододекаэдров;

в) двенадцатигранников, полученных из ромбододекаэдров?

1. Бончковский Р.Н. Заполнение пространства тетраэдрами//Математическое просвещение, 1935, № 4, с. 26—40. (Имеется на сайте www.mccme.ru)
2. Делоне Б., Житомирский О. Задачник по геометрии. — М.–Л.: Гос. изд. техн.-теорет. литературы, 1950. (Имеется на сайте www.mccme.ru )
3. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия. Учебник для 10–11 классов общеобразовательных учреждений. — М.: Мнемозина, 2006.