Об области определения сложных показательных выражений

В недавней статье [1] авторы подробно рассмотрели вопрос об области определения выражения вида f(x)^g(x). Этот вопрос играет важную роль при решении уравнений вида f(x)^g(x) = h(x)^g(x), которые относительно часто предлагаются на экзаменах разного уровня.

К сожалению, точка зрения, приводимая авторами статьи [1], ошибочна. Чтобы продемонстрировать это, решим следующее уравнение (оно предлагалось на вступительном экзамене на экономический факультет МГУ в 2002 г.).

Задача 1. Решить уравнение

            (1)

Решение, предложенное экзаменационной комиссией по математике, в сжатом виде изложено в [2]. Ниже мы приведем подробный вариант этого решения.

Чтобы упростить выражение, прологарифмируем его почленно. Основание логарифма не имеет никакого значения и поэтому выберем десятичные логарифмы (просто потому, что символ lg короче, чем, например, символ log₂). Левая часть уравнения (1) имеет смысл при любом значении xR, если выполнено условие

Используя тождество log_a x^y = ylog_a x и равенство lg 1 = 0, мы получим:

          (2)

Произведение двух выражений равно нулю тогда и только тогда, когда одно из них равно нулю, а второе существует. Поэтому уравнение (2) распадается на систему и уравнение:

           (3)

Неравенство системы гарантирует существование . Если бы мы его не написали, то есть разбили бы уравнение (2) на два уравнения

          (4)

то нельзя было бы гарантировать равносильность этого преобразования. Соответственно, после решения совокупности (4) нужно было бы сделать проверку.

Дискриминант квадратного уравнения

3x² + 17x + 20 = 0

равен

D = 17² – 4∙3∙20 = 289 – 240 = 49.

Поэтому это уравнение имеет два корня:

При x = –4 выражение равно

так что условие выполнено.

Значит, x₁ = –4 — решение исходного уравнения.

При выражение равно

так что условие выполнено.

Значит,  — решение исходного уравнения.

Логарифмическое уравнение равносильно уравнению которое имеет один корень x = –3 — это третий корень исходного уравнения.

Ответ:

Теперь, следуя идеям статьи [1], подставим в уравнение (1) вместо x число 0. Это даст числовое равенство:

(–1)²⁰ = 1,            (5)

которое, «очевидно», истинно. Итак, по логике авторов статьи [1], уравнение (1) решено экзаменационной комиссией МГУ по математике неверно.

Разобраться в этой и других подобных ситуациях школьнику, да и любому человеку, не связанному профессионально с математикой (именно с математикой, а не только с преподаванием математики, тем более элементарной), довольно тяжело. Возникшая «проблема» связана с несложными, но весьма абстрактными конструкциями и утверждениями из университетского курса высшей алгебры, математического анализа, дифференциальных уравнений и теории функций комплексного переменного, а также (что самое важное) с пониманием внутренней гармонии математической науки.

Ключ к простейшему решению возникшей проблемы лежит в конструкциях и утверждениях высшей алгебры вроде содержащихся в следующей фразе:

Рациональное число — это вовсе не дробь вида , где n и m ≠ 0 — целые числа, а класс эквивалентности множества пар (n; m), где n и m ¹ 0 — целые числа, по отношению эквивалентности (n; m) ~ (a; b), определяемому равенством nb = ma (иначе говоря, множество дробей является специфическим фактор-множеством). Поэтому множество целых чисел не является подмножеством множества рациональных чисел, а лишь изоморфно его подмножеству.

Тем не менее попробуем разобраться в возникшей проблеме и без использования абстрактных математических конструкций.

Все хорошо знают, что, по определению, запись aⁿ, где n — натуральное число, означает произведение n одинаковых сомножителей a. Поскольку перемножить можно любые два числа, степень с натуральным показателем определена для любого основания.

Это определение немедленно дает известные формулы для умножения и деления степеней (с натуральным показателем):

Определяя запись a^x, где показатель x — произвольное действительное число, математики действуют не произвольно, а так, чтобы сохранялись эти основные свойства действий над выражениями вида a^x. Это требование автоматически приводит к следующей цепочке определений.

1. x — число 0. Запись a⁰ определена только для a ≠ 0 и означает число 1.

2. x — отрицательное целое число, то есть x = –n, где nN — натуральное число. По определению запись a^x, где x = –n — отрицательное целое число, означает дробь

Поэтому степень с отрицательным целым показателем определена для любого ненулевого основания.

3. x — рациональное число, то есть где mZ — целое число, nN — натуральное число. В этом случае, по определению, запись означает арифметический корень

Это определение автоматически влечет, что основание a должно быть положительным.
В частности, запись не определена, в то время как выражение определено. Действительно, формальное применение определения степени с рациональным показателем дает:

С другой стороны, поскольку , мы должны принять, что  — это одно и то же число:

Формальное применение определения степени с рациональным показателем дает:

а не –2, как мы «получили» ранее.

Если же определять как , а не как то мы получим: , то есть выражение, которое не определено.

Математики решили эту «проблему» очень просто: запись считается не имеющей смысла.

Модифицируем этот пример следующим образом. Поскольку , мы должны принять, что

Формальное применение определения степени с рациональным показателем дает:

а не –1, что следует из основного определения (–1)³ как произведения (–1)(–1)(–1). Если же считать, что

то число (–1)³ вообще не имеет смысла. Появившееся «противоречие» связано с тем, что в первом случае число 3 рассматривается как особое рациональное число, а во втором — как натуральное.

Поэтому, если в задаче употребляется запись a³, строго говоря, необходимо явно указать, элементом какого множества является показатель x = 3 — множества натуральных чисел N или множества рациональных чисел Q (или какого-то другого). Соответственно, на базе «уравнения» (1) можно создать два разных уравнения: уравнение

          (6)

ответ которого: {–4; –3; 0}, и уравнение

       ( 7)

ответ которого

Обычно считается (без всяких дополнительных указаний), что если в задаче стоят только степени с натуральными показателями в виде конкретных чисел, то все они рассматриваются именно как натуральные и потому определены для любого основания. Если же в задаче стоят степени с неизвестными показателями, то все они рассматриваются как действительные числа и потому определены только для положительных оснований. По этой причине число x = 0 не является корнем уравнения (1), хотя подстановка вместо x числа 0 дает: (–1)²⁰ = 1, то есть верное равенство, если считать, что 20 — просто натуральное число (а не частный случай действительного).

Требование положительности основания для степени с произвольным действительным показателем имеет более глубокие корни. Оно связано, в частности, с тем, что рассмотрение выражения a^x при фиксированном значении x, то есть как числа, представляет ограниченный интерес. Для математики важно то, что эта формула задает функцию с определенными свойствами. Например, при решении дифференциальных уравнений часто появляется стандартная показательная функция y = e^Cx, где C — некоторая константа. Эту функцию можно записать в виде y = a^x, где a = e^C, так что a > 0 вне зависимости от знака константы C. Условие a > 0, таким образом, не только обеспечивает корректность и определенную логику в определении числа a^x, но и взаимосвязь различных разделов математики.

Это внутреннее единство математической науки приводит и к необходимости рассматривать в теории функций комплексных переменных показательные функции с отрицательными основаниями. Эти функции связаны определенными соотношениями с вводимыми в действительном анализе показательными функциями с положительными основаниями. Например, функция (–1)^z совпадает с функцией e^iπz, где i — мнимая единица (в некотором, точно определенном смысле, i² = –1). Отметим, что на самом деле формулы (–1)^z и e^iπz задают так называемые многозначные функции, которые состоят из счетного количества однозначных непрерывных ветвей, но мы понимаем под этими формулами их главные значения. Взаимосвязь различных разделов математики, которая проявляется в соотношении

(–1)^z = e^iπz,

на самом деле еще глубже. Скажем, через формулу

(–1)^z = cos πz + i sin πz

показательные функции (определенные не произвольно выбранным соглашением, а «правильно») связаны с хорошо известными нам тригонометрическими функциями. Последняя формула, в частности, влечет, что если z = 2n — четное число, то, как и следовало ожидать,

(–1)²ⁿ = cos 2πn + i sin 2πn = 1 + i0 = 1,

а если z = 2n + 1 — нечетное целое число, то, как и следовало ожидать,

(–1)^2n + 1 = cos (2πn + π) + i sin (2πn + π) = –1 + i0 = –1.

Следует отметить, что все эти теоретические «проблемы» явно не соответствуют уровню требований к математической подготовке школьников и учителей, а уравнения, подобные (1), не содержат никаких глубоких и важных математических идей. Самые простые способы решить рассматриваемую «проблему»:

а) вообще не предлагать такие уравнения (неравенства) на экзаменах;

б) так формулировать условие задачи, чтобы из условия задачи следовала положительность основания степени;

в) более четко формулировать условие задачи (в духе (6), (7)).

Литература

1. Богданов С., Богданова Г. Показательно-степенные выражения, уравнения и неравенства//Математика, 2008, № 4.
2. Задачи вступительных экзаменов по математике (2002 г.). — М.: Факультет ВМиК МГУ, 2002.