Примеры задач, решаемых с калькулятором при изучении производной и интеграла

Малые средства информатизации, к которым относят научные и графические калькуляторы, — одно из важнейших направлений развития информатизации в школе. Во многих странах они стали основным средством применения информационных технологий в образовании. Нередко именно с помощью калькуляторов, а не компьютеров ведут обучение в этих странах учителя математики, физики и других учебных предметов.

В российских школах использование калькулятора получило распространение в 80-х годах XX века. Авторы современных школьных учебников включают задания с применением калькулятора, несколько отличающиеся от типовых учебных заданий и обогащающие систему упражнений.

Особый интерес использование калькулятора на уроках возник в связи с появлением графических калькуляторов.
С их появлением общение с мини-моделью ЭВМ практически стало доступно для каждого ученика. Опыт показывает, что использование графического калькулятора непосредственно в учебном процессе позволяет повысить качество обучения:

— за счет привлечения дополнительного материала для развития интереса к учению,

— возможности постановки ряда задач с целью активизации навыков умственных операций (наблюдение, прогнозирование и т.п.),

— снятия технической сложности в задачах, связанных с построением графиков, с расчетами по формулам и пр.

Читатель, возможно, знаком с материалами, опубликованными в газете «Математика» с целью распространения опыта применения научных и графических калькуляторов на уроках математики [1–5]. В данной статье остановимся на примерах задач для старших классов, связанных с изучением производной и интеграла (расчеты и графические построения выполнены с помощью калькулятора CASIO fx-9860G SD).

Касательная к графику функции

Покажем, как построение касательных в отдельных точках позволяет уточнять эскизы графиков функций.

Сначала рассмотрим простой пример: построение касательной к параболе

в какой-нибудь точке х₀. Для этого найдем производную y' = 2x + 2 и запишем уравнение касательной, например, в точке х₀ = –1,5. Имеем:

Выполним соответствующие построения на калькуляторе:

А теперь посмотрим в динамическом режиме работы графического калькулятора, как касательные ограничивают нашу параболу. Для этого запишем уравнение касательной в общем виде

Здесь A — абсцисса точек касания. Упростив правую часть, получим уравнение

Придавая А значения, например, от –2 до 2, получим совокупность касательных к нашей параболе. Если использовать функцию Locus, позволяющую оставлять на экране калькулятора след предыдущего изображения, то мы увидим следующую картинку:

Рассмотрим другой пример. В учебнике [6, с. 130] показано, как для построения эскиза графика функции синус предварительно находят производные синуса в точках 0, π/2 и π и строят прямые, проходящие через точки (0; 0), (π/2; 1), (π; 0), с угловыми коэффициентами 1, 0 и –1. Понятно, что эти прямые — касательные к графику. Они заданы уравнениями у = х, у = 1 и у = –х + π и ограничивают график синуса на рассматриваемом промежутке:

А мы можем задать касательную к графику синуса, проходящую через точку с абсциссой А, уравнением общего вида у = sin A + cos A(x – A) и рассмотреть ее поведение при изменении А от 0 до π:

Монотонность. Экстремумы

При построении графика в экстремальных точках и точках, близлежащих к ним, учащиеся допускают ошибки. Это происходит из-за того, что учащиеся при построении графика функции берут во внимание лишь характер монотонности функции и забывают учесть, существует ли производная функции в этих точках, и если да, то каково ее значение. Ведь если производная функции в какой-либо точке равна нулю, то угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в этой точке, равен нулю, из чего следует, что касательная, проведенная к графику функции, в этой точке параллельна оси абсцисс (и это надо учитывать в изображении эскиза графика).

Конечно, соответствующие умения приобретаются с опытом, и, привлекая калькулятор, мы можем помочь учащимся накопить запас наглядных представлений о поведении графиков функций.

При выполнении упражнений позволим учащимся сверять свои построения с изображением на экране калькулятора. Приведем примеры из учебника [6].

№ 295(в). Исследуйте функцию на возрастание, убывание и экстремумы и постройте график функции

Комментарий к решению. Найдем производную функции — . Критических точек, в которых производная не существует, нет. Производная равна нулю при значениях аргумента, равных 2 и –2, значит, рассматриваемая функция имеет две критические точки. Функция убывает на промежутках (–∞; –2], [2; +∞) и возрастает на промежутке [–2; 2]. Найдем значения функции в критических точках, нули функции и построим график. Сверяем построенный нами график с графиком, построенным с помощью калькулятора.

№ 295 (г). Исследуйте функцию на возрастание, убывание и экстремумы и постройте график функции

Комментарий к решению. Найдем производную функции:

Критическая точка, в которой производная не существует, равна 1. Производная равна нулю при значениях аргумента, равных 0 и 2. Функция возрастает на промежутках (–∞; 0], [2; +∞) и убывает на промежутках [0; 1)(1; 2]. Точек пересечения с осью абсцисс нет, а ось ординат график пересекает в точке (0; –2). Строим эскиз графика и сверяем его с графиком, построенным с помощью калькулятора.

№ 297(б). Исследуйте функцию y = x⁴ – 2x² – 3 и постройте ее график.

Комментарий к решению. Проведем исследование по указанной в учебнике схеме.

1. D(f) = R, так как f — многочлен.

2. f(x) = f(–x), следовательно, функция четная.

3. Точки пересечения графика с осями координат: и (0; –3).

4. f'(x) = 4x³ – 4x. Критических точек, в которых производная не существует, нет. Производная равна нулю при значениях аргумента, равных –1, 0 и 1.

5. В точках с абсциссами равными –1, 0 и 1, функция принимает значения равные –4, –3 и –4 (далее учащиеся оформляют проведенное исследование в виде таблицы, дополняя его определением знака производной в рассматриваемых промежутках).

График функции y = x⁴ – 2x² – 3 должен иметь вид, соответствующий изображению на экране калькулятора:

Вычисление интеграла

Какие возможности представляются при вычислении интегралов с помощью калькуляторов? Во-первых, калькулятор позволяет вычислять интегралы, введенные в виде формул, с графическим отображением на экране калькулятора. Во-вторых, калькулятор может производить интегрирование функции, изображенной графически.

Рассмотрим примеры вычисления интегралов.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямой х = 2 и графиком функции

Комментарий к решению. Получить представление о фигуре, заданной аналитически, нам поможет калькулятор:

Найдем площадь суммированием интегралов:

Ответ: примерно 0,7 кв. ед.

Заметим, что, вычисляя значения интегралов, мы получили бы что равно 0,708(3).

При изучении определенного интеграла и его свойств недопустим формальный подход к вычислению интегралов. Прежде, чем вычислять интеграл, надо убедиться, что на отрезке интегрирования первообразная подынтегральной функции существует. Желательно приучить учащихся перед формальным интегрированием выяснять, непрерывна ли данная под интегралом функция. Наглядному представлению сопутствующих ситуаций поможет графическое изображение, получаемое с помощью калькулятора. Рассмотрим примеры.

1. Найдите ошибку в вычислении интеграла:

Комментарий к решению. Уже из аналитического задания функции понятно, что функция имеет разрыв на отрезке интегрирования в точке х = 1.

Это подтверждается графиком:

А значит, на отрезке [0; 3] интеграл вычислен быть не может.

На это же, кстати, указывает калькулятор, выдавая сообщение о прерывании вычислений — Break (от англ. break — прерывать):

2. Задайте такие значения пределов интегрирования, при которых существует интеграл

Комментарий к решению. Заметим, что функция у = cos 2x на отрезке равна нулю при

Выберем промежуток, на котором cos 2x не равен нулю, например [–0,7; 0,7], и вычислим интеграл

3. Задайте какие-нибудь значения пределов интегрирования, при которых существует интеграл

Комментарий к решению. Понятно, что подынтегральная функция в точках 2 и –2 не является непрерывной.

Выберем, например, промежутки [2,1; 4]; [2,5; 5] и выполним вычисления:

Интегрирование функции, изображенной графически

Поскольку калькулятор может производить интегрирование функции, уже изображенной на экране, упражнения, предлагаемые учебником, на вычисление площадей криволинейных трапеций дополним новыми — на поиск пределов интегрирования.

1. Найдите нижний предел интегрирования

такой, чтобы площадь криволинейной трапеции стала равной 3,5, с точностью до десятых.

Комментарий к решению. Придавая а значения 0, –1, –1,5, будем наблюдать за изменением площади криволинейной трапеции:

Ответ: а = – 1,5.

2. Найдите верхний предел интегрирования такой, чтобы площадь криволинейной трапеции стала равной 4, с точностью до 0,1.

Комментарий к решению. Будем искать ответ последовательными приближениями, меняя верхний предел интегрирования в соответствии с изменением площади.

Имеем:

Следовательно, в качестве верхнего предела интегрирования можно выбрать 3,2 или 3,1, а можно и 3,15. Итог проверим непосредственным вычислением на калькуляторе:

Ответ: b = 3,15.

3. Найдите нижний предел интегрирования такой, чтобы площадь криволинейной трапеции стала равной примерно 2.

Комментарий к решению. Заметим, что график данной функции симметричен относительно оси х графику, рассмотренному в предыдущем упражнении. Используя проведенные в процессе его решения наблюдения, можно легко выполнить данное задание. Действительно, придав а значение –1, получим нужный результат (отметим, что при этом значение интеграла — отрицательное число):

Ответ: а = –1.

4. Найдите пределы интегрирования такие, чтобы площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = –x² – 4x, стала примерно равной 7.

Ответ может быть таким: пределы интегрирования: –2,9 и –1.

Действительно:

1. Минаева С.С. Решать задачи становится интереснее //Математика, 2007, № 8, 17, 19, 21.
2. Большакова Г.В. Осваиваем малые средства информатизации//Математика, 2007, № 4.
3.  Журова Т.В., Зотова В.И. Расчёты на каждый день //Математика, 2007, № 10.
4. Серова З.Н. Особенности применения калькуляторов в курсе математики 5–6 классов//Математика, 2007, № 21.
5. Захарова Е. Калькулятор помогает исследовать функции//Математика, 2008, № 2.
6. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: учеб. для 10–11 кл. общеобраз. учреждений//Под ред. А.Н. Колмогорова. — М.: Просвещение, 2006.