Решение качественных задач при изучении описательной статистики

Важное место в учебном процессе может занять решение качественных задач. Не требуя трудных вычислений, зачастую решаясь «в уме», они направлены на проверку усвоения внутренних законов изучаемого предмета. Быстрое и верное решение этого вида задач показывает, что ученик усвоил новое понятие не формально, что он способен оценить еще не вычисленный ответ, что он по-настоящему чувствует природу изучаемого понятия.

Эти задачи не требуют больших временных затрат на уроке, но они вносят в него разнообразие, оживляют работу, способствуют активизации мыслительной деятельности учащихся. Решение качественных задач способствует достижению самых разнообразных дидактических целей: они позволяют менять ритм урока, могут быть предложены на разных этапах урока, они неявно содержат в себе элементы игры. Качественные задачи способствуют поддержанию интереса к изучению математики, побуждают учеников к творчеству.

Многие из таких задач предполагают два варианта ответа («да – нет», «может – не может», «верно – неверно»), и в решение таких задач включаются даже самые пассивные учащиеся. И наконец, возможность устного решения привлекательна для той категории учащихся, которые не любят или не умеют выполнять безошибочно (и порой громоздкие) вычисления. Хотя задачу, сначала решенную в уме, затем можно довести до ответа и подтвердить вычислениями высказанное предположение.

Известно, что многие ученики пасуют перед задачами, содержащими непривычную, нестандартную, неизбитую формулировку, совершают ошибки из-за того, что пропускают в тексте условия важные данные. Между тем умение вчитываться в любой текст, во-первых, необходимо тренировать, а во-вторых, имеет самостоятельную ценность, развивает гибкость мышления и его логическую составляющую. Для отработки этого умения среди предлагаемых ниже задач встречаются такие, у которых условия отличаются чуть-чуть. Найти это отличие, обратить на него внимание, оценить степень влияния этого изменения на конечный ответ – задача не из легких, но важных! К тому же тексты содержат вопросы, сформулированные в непривычной форме, и если систематически решать такие задачи, то учащиеся не только выучат новую тему, но и привыкнут ко всевозможным постановкам вопроса.

Качественные задачи в зависимости от их трудности могут быть предложены на разных этапах знакомства с учебным материалом. Они являются важным дополнением к традиционным задачам. Их можно решать как в ходе первичного закрепления, так и для обобщения целого раздела. Их целесообразно предлагать всему классу с тем, чтобы расставить акценты в изучаемой теме, выявить особенности изучаемого понятия, а также обратить внимание на нестандартное звучание вопроса. Качественные задачи являются крайне удобными для включения их в текст самостоятельных работ, математических диктантов, а также тестов, как с выбором варианта ответа, так и с записью ответа в краткой форме.

Наконец, вспомним о том, что умение графически представить себе условие, «нарисовать» его является весьма эффективным подспорьем при решении задач. Поэтому среди предложенных задач есть такие, которые направлены на отработку наглядного представления числового набора и его характеристик на координатной прямой. Это сделано с той целью, чтобы не только хорошо подготовленные ученики, но и впоследствии бóльшая часть класса с легкостью смогли представить себе ту часть координатной прямой, на которой сконцентрированы данные числа, и успешно решить задачу, опираясь на созданный мысленный образ. Не забудьте договориться, как отмечать на прямой совпадающие точки в наборе: либо отмечать точки друг над другом с одинаковым шагом, либо писать над точкой её вес (количество вхождений в набор).

Среднее арифметическое.
Среднее взвешенное

1. Правильно ли записано выражение и проведены рассуждения для вычисления среднего арифметического:

а) Для набора чисел 3; 4; 5; 6; 7; 8 среднее арифметическое равно

б) Поскольку ноль не влияет на сумму чисел, стоящих в числителе, то для набора чисел 0; 3; 4; 5; 6; 7; 8 среднее арифметическое также равно

в) Для набора чисел 3; 4; 5; 6; 7; 7 среднее арифметическое равно

так как число 7 в нем повторяется дважды.

2. Даны два набора чисел: 3; 6; 12 и 100; 101; 102. Отметьте схематически данные числа на координатной прямой. Отметьте приблизительное местонахождение среднего арифметического. У какого набора среднее арифметическое больше?

3. Даны два набора чисел: 3; 6; 12 и 3; 6; 12; 13. У какого набора среднее арифметическое больше? Обоснуйте свой результат с помощью координатной прямой.

4. Средняя отметка Наташи по математике равна 4, а у Сережи — 4,2.

а) Как могло получиться, что Сережино среднее значение получилось дробным числом, ведь отметки — это натуральные числа?

б) Можно ли утверждать, что Сережа никогда не получал по математике двоек?

в) Можно ли утверждать, что у Сережи по математике меньше троек, чем у Наташи?

г) Можно ли утверждать, что Наташа никогда не получала по математике «пять»?

5. Найдите среднее арифметическое чисел, изображенных на рисунке 1.

Рис. 1

6. К набору 3; 4; 5 добавьте еще одно число так, чтобы его среднее арифметическое не изменилось. Возможно ли это? Сколько существует способов это сделать?

7. Изобразите на координатной прямой наборы из 2–3 чисел, удовлетворяющие следующим условиям:

а) среднее арифметическое равно 4;

б) среднее арифметическое равно 0.

8. Верно ли каждое утверждение?

а) У любого набора существует среднее арифметическое.

б) Наименьшее число набора не может быть его средним арифметическим.

в) Среднее арифметическое разных чисел больше наименьшего числа.

9. На рисунке 2 изображен числовой набор. Найдите среднее арифметическое этого набора? Опишите словами его положение.

Рис. 2

10. К набору 3; 3; 3 добавьте еще одно число так, чтобы новое среднее арифметическое стало больше исходного.

11. К набору 3; 3; 3 добавьте еще одно число так, чтобы новое среднее арифметическое стало равным 4. Возможно ли это?

12. Коля вычислил среднее арифметическое для набора чисел 6,37; 7,12; 8,32; 9,01 и получил число 11,43. Прав ли Коля? Проиллюстрируйте свои рассуждения на координатной прямой.

13. Найдите положение центра одинаковых масс, расположенных на координатной прямой в точках 4; 6; 11.

14. Имеются данные об успеваемости 7«А» и 7«Б» по геометрии: о количестве учащихся, получивших ту или иную четвертную отметку. Результаты занесены в таблицу:

Отметка	7«А»	7«Б»
5	6 чел.	4 чел.
4	12 чел.	10 чел.
3	6 чел.	5 чел.

а) Правильно ли вычислять среднее значение оценок 7«А» следующим образом: , или правильно так: ?

б) Какой класс в среднем имеет лучшие результаты?

15. Пусть среднее арифметическое набора из пяти чисел равно 12. К этому набору добавили число 18.

а) Изменилось ли среднее арифметическое?

б) Оно увеличилось или уменьшилось?

в) Хватает ли данных, чтобы вычислить среднее арифметическое нового набора?

г) Чему оно равно?

16. К набору 3; 4; 5 добавьте еще одно число так, чтобы его среднее арифметическое стало равным 5. Объясните свое решение с помощью координатной прямой, на которой в данных точках и искомой расположены одинаковые грузы.

17. Даны два числа а < b и их среднее арифметическое х. Выберите среди данных утверждений верные:

а) х > a; б) x > b; в) x > a и x > b.

18. Как называются числа а и b, если их среднее арифметическое равно 0?

19. На координатной прямой отмечены числа а, b и с (рис. 3). Какие из них абсолютно точно не могут являться средним арифметическим чисел данного набора?

Рис. 3

20. Токарь выточил за смену 5 больших деталей и 10 маленьких. Большая деталь стоит 200 рублей, а маленькая — 50 рублей.

а) Нам нужно найти среднюю стоимость детали. Цены образуют набор 50; 200. Что в данной задаче следует считать весом каждого из этих чисел? Совпадает ли это с физическим пониманием слова «вес»?

б) У какого числа вес больше?

в) Сколько в среднем стоит одна деталь при данных расценках?

21. Токарь изготовил за смену 5 больших деталей и 12 маленьких. Большая деталь стоит 200 рублей, а маленькая 50 рублей.

а) Что изменилось в условии этой задачи по сравнению с предыдущей: набор чисел или их веса?

б) Не выполняя вычислений, ответьте: увеличится или уменьшится средняя стоимость детали по сравнению с предыдущей задачей?

в) Проверьте свое предположение с помощью вычислений: сколько в среднем стоит одна деталь при тех же расценках?

22. В наборе 3; 4; 5 числа имеют соответственно веса 1; 10; 100. Не выполняя вычислений, выберите среди данных чисел наиболее близкое к их среднему взвешенному.

23. Даны два набора чисел: в первом наборе числа 3; 4; 5 имеют соответственно веса 1; 10; 100, а во втором эти же числа имеют веса 1; 10; 101. Не выполняя вычислений, скажите, у какого набора среднее взвешенное больше?

24. Турист шел 3 ч со скоростью 6 км/ч и затем ехал 2 ч со скоростью 40 км/ч.

а) В каком диапазоне должна находиться средняя скорость этого туриста?

б) Коля вычислил среднюю скорость туриста: , и получил ответ 2,5 км/ч. Прав ли Коля?

в) Затем Коля еще раз попытался найти среднюю скорость:, и получил ответ 23 км/ч. Прав ли Коля на этот раз? Не выполняя вычислений, предположите, больше или меньше 23 км/ч должна быть средняя скорость туриста?

г) Можно ли при вычислении средней скорости считать, что число 6 в наборе имеет вес 3, а число 40 — вес 2?

д) Вычислите, с какой средней скоростью перемещался турист?

е) Увеличится или уменьшится его средняя скорость, если турист будет не 2 ч, а 20 ч ехать со скоростью 40 км/ч? Как в этом случае изменятся веса данных чисел?

Медиана

1. Правильно ли найдена медиана:

а) Для набора чисел 1; 7; 8; 9 медиана равна

б) Для набора чисел 0; 3; 4; 5; 6; 7; 8 медиана равна 5.

в) Для набора чисел 6; 1; 9 медиана равна 1.

г) Для набора чисел 3; 4; 5; 6; 7; 8 число 5,5 является медианой.

д) Так как в наборе чисел 3; 4; 5; 6; 7; 7 число 7 повторяется дважды, то это и есть его медиана.

2. Согласны ли вы с утверждениями?

а) У любого набора чисел существует медиана.

б) Медиана всегда равна одному из данных чисел.

в) Наибольшее число набора не может быть его медианой.

г) Медиана может быть равна среднему арифметическому.

д) Медиана может быть меньше среднего арифметического.

Продемонстрируйте свои рассуждения на координатной прямой.

3. Укажите медиану каждого набора, изображенного на рисунке 4 точками.

Рис. 4

4. На координатной прямой схематически изобразите наборы из 2–3 чисел, удовлетворяющие условиям:

а) медиана равна 4;

б) медиана равна 0;

в) медиана совпадает со средним арифметическим;

г) медиана больше среднего арифметического.

5. Дан набор, в котором число 3 встречается 1 раз, число 4 — десять раз, а число 5 — сто раз. Других чисел в наборе нет. Укажите медиану данного набора.

6. Даны два набора чисел: 3; 6; 12 и 100; 101; 102. У какого набора медиана больше?

7. Даны два набора чисел: 3; 6; 12 и 3; 6; 6; 12. Отличаются ли медианы этих наборов?

8. К набору 3; 3; 3 добавьте еще одно число:

а) чтобы новая медиана не изменилась (Сколько существует способов это сделать?);

б) новая медиана стала равна 4 (Возможно ли это?).

9. К набору 3; 3; 3 добавьте еще несколько чисел так, чтобы новая медиана стала равна 4. Возможно ли это? Какие слова в условии данной задачи отличают ее от предыдущей?

10. К набору 3; 4; 5 добавьте еще одно число:

а) чтобы медиана по-прежнему равнялась 4 (Возможно ли это? );

б) новая медиана увеличилась (Возможно ли это? ).

Сколько существует способов это сделать?

11. К концу четверти у Коли по математике были такие отметки: 4, 4, 4, 5, 5, *, 4, 4, 3. Значок «*» означает, что одну оценку Коля не помнит. Помешает ли отсутствие одной отметки сделать прогноз будущей четвертной отметки?

12. В течение четверти Коля получил такие отметки по географии: 2; 4; 4; 2; 4; 4. Что лучше характеризует Колину успеваемость: среднее арифметическое или медиана? Какое среднее «выгоднее» Коле для получения более высокой четвертной отметки?

Наибольшее и наименьшее значения.
Размах

1. Правильно ли найдено наименьшее значение:

а) Для набора чисел 0; 3; 4; 5; 6; 7; 8 наименьшее значение равно 0.

б) Для набора чисел 6; 1; 9 наименьшее значение равно 6.

в) У набора чисел 3; 3; 4; 5; 6; 7; 8 наименьшего значения не существует.

Отметьте данные числовые наборы на координатной прямой и проверьте свои ответы. Опишите словами, как расположено наименьшее значение на числовой оси.

2. Согласны ли вы с утверждениями:

а) У любого набора существует наибольшее значение.

б) Наименьшее значение всегда равно одному из данных чисел.

в) Наименьшее число набора не может быть его медианой.

г) Существует числовой набор, у которого размах равен –12.

д) Размах набора — число положительное.

е) Размах зависит от значения среднего арифметического числового набора.

ж) Чем больше наибольшее значение набора чисел, тем больше его размах?

3. Найдите наименьшее значение, наибольшее значение и размах по рисунку 5.

Рис. 5

4. Даны два набора чисел: 3; 6; 12 и 100; 101; 102. У какого набора размах больше?

5. Даны два набора чисел: 3; 6; 12 и 3; 6; 12; 13. У какого набора размах больше?

6. Изобразите схематически на координатной прямой числовые наборы, у которых:

а) наименьшее значение равно 4;

б) наибольшее значение равно 0;

в) размах равен 672.

Существует ли набор, удовлетворяющий одновременно трем условиям а–в?

7. С помощью координатной прямой покажите, как к набору 8; 8; 8 добавить еще одно число так, чтобы размах не изменился. Сколько существует способов это сделать?

8. К набору 2; 2; 2 добавьте еще одно число:

а) чтобы размах стал равен 6 (Сколько существует способов это сделать?);

б) наименьшее значение стало равным 0 (Возможно ли это?).

Покажите решение на координатной прямой.

9. Отметьте на координатной прямой набор чисел 3; 5; 7. Добавьте к нему еще одно число:

а) чтобы его размах стал равен 100;

б) его размах не изменился.

В каждом случае подумайте: возможно ли это? Сколько существует вариантов ответа? Проиллюстрируйте свои рассуждения на координатной прямой. Опишите словами, где будут располагаться искомые точки.

10. К набору 3; 4; 5 добавьте еще одно число так, чтобы его наибольшее значение не изменилось. Возможно ли это? Сколько существует вариантов ответа? Опишите словами местонахождение новой точки. Возможно ли выполнить требование задачи так, чтобы размах остался прежним? стал больше?

11. Дан набор, в котором число 2 встречается два раза, число 4 — десять раз, число 6 — сто раз, а других чисел нет. Укажите наибольшее, наименьшее значения данного набора и его размах. Хватает ли данных, чтобы вычислить среднее арифметическое этих чисел и их медиану?

12. В аквариуме родились мальки. Их никто не ест, зато они умело прячутся в водорослях. Несколько раз в день мама, папа и два сына пытаются внимательно подсчитать, сколько же новых жильцов появилось в аквариуме. У них получились такие результаты: 12; 13; 8; 15; 14; 13; 11; 10. Они уверены, что при подсчетах не ошибались, то есть верно подсчитывали всех неспрятавшихся мальков. Сколько же рыбок родилось?

13. Обычно Вася идет до школы 10–15 мин.

а) Следует ли из этого, что он, скорее всего, успеет к первому уроку (к 8.30), если выйдет из дома в 8 ч 10 мин?

б) Успеет ли он дойти до кабинета на четвертом этаже, если пойдет привычным шагом, выйдя из дома в 8 ч 20 мин?

в) Можно ли утверждать, что он чаще тратит на дорогу до школы 10 мин, чем 15 мин?

14. Туристическая фирма начинает оформление путевок за 2–3 месяца до даты отъезда. Семья планирует свой отпуск на июль и хочет приобрести нужную путевку именно в этой фирме. Когда надо обратиться в турфирму, чтобы можно было выбрать себе путевку в числе первых покупателей, когда выбор еще велик?

15. Железнодорожные кассы начинают продажу билетов за 45 суток до даты отъезда.

а) Продадут ли 1 февраля билет на 1 апреля?

б) Рассмотрим набор чисел, показывающих, сколько дней при покупке билета осталось до отъезда. Какой его характеристикой является число 45?

Отклонения. Дисперсия

1. В каком случае отклонения от среднего арифметического для набора чисел 3; 4; 8 найдены правильно?

а) В середине набора стоит число 4. Отнимем его от каждого из чисел. Тогда отклонения равны: 3 – 4 = –1; 4 – 4 = 0; 8 – 4 = 4. Ответ: –1; 0; 4.

б) От каждого числа отнимем первое число в списке. Тогда отклонения равны: 3 – 3 = 0; 4 – 3 = 1; 8 – 3 = 5. Ответ: 0; 1; 5.

в) Сначала вычислим среднее арифметическое набора. Оно равно 5. Поэтому отклонения равны: 3 – 5 = –2; 4 – 5 = –1; 8 – 5 = 3. Ответ: –2; –1; 3.

2. Для некоторого числового набора были вычислены отклонения от среднего арифметического: 1; 2; –2; 1. Докажите, что вычисления содержали ошибку.

3. Коля начал вычислять отклонения для набора, состоящего из пяти чисел. Но он успел найти только первые четыре: 2; –3; –1; 0. Найдите последнее отклонение, которое не успел вычислить Коля.

4. Даны отклонения от среднего арифметического: 2; 0; 3; –5. Верно ли утверждение: «Одно из чисел набора является средним арифметическим». Ответ обоснуйте.

5. Могут ли все отклонения от среднего арифметического быть:

а) положительными числами;

б) отрицательными числами;

в) нулями;

г) меньше 2?

6. Какой способ нахождения дисперсии набора чисел 3; 4; 8 является правильным

Способ I. Сначала найдем отклонения: 3 – 5 = = –2; 4 – 5 = –1; 8 – 5 = 3. А затем их среднее арифметическое: (–2 + (–1) + 3) : 3 = 0. Это и есть дисперсия. Ответ: 0.

Способ II. Отклонения по-прежнему равны: 3 – 5 = –2; 4 – 5 = –1; 8 – 5 = 3. Найдем их квадраты: (–2)² = 4; (–1)² = 1; 3² = 9. Сумма квадратов равна 4 + 1 + 9 = 14. Это и есть дисперсия. Ответ: 2.

Способ III. Отклонения по-прежнему равны: 3 – 5 = –2; 4 – 5 = –1; 8 – 5 = 3. Их квадраты такие же, как и были вычислены ранее: (–2)² = 4; (–1)² = 1;
3² = 9. Среднее арифметическое квадратов отклонений равно . Это и есть дисперсия. Ответ:

7. Может ли дисперсия быть:

а) положительным числом;

б) отрицательным числом;

в) нулем;

г) меньше 1?

8. Как изменится дисперсия:

а) если к набору чисел 4; 6; 8 добавить число 14;

б) из набора 4; 6; 8; 14 вычеркнуть число 14?

9. К набору чисел добавили еще одно число — его среднее арифметическое. Как при этом изменилась дисперсия?

10. Отличаются ли дисперсии наборов чисел:

6; 7; 7; 7; 7; 7; 8 и 6; 7; 8?

11. Верно ли, что у набора, состоящего из двух чисел, размах и дисперсия совпадают?

12. Верно ли, что чем ближе числа располагаются к своему среднему арифметическому, тем меньше становится дисперсия набора?