Об использовании результатов ГИА выпускников основной школы в новой форме в 2008 г. в преподавании алгебры

Методическое письмо* (извлечение)

При анализе результатов в ряде случаев сделана попытка выявления некоторых тенденций в подготовке школьников путем сопоставления результатов этого года с результатами предыдущих лет по аналогичным заданиям. Однако необходимо иметь в виду ограниченные возможности такого сопоставления, его, безусловно, предварительный характер в силу того, что состав территорий, результаты которых анализируются, из года в год меняется, анализируемые выборки существенно различаются количественным и качественным составом в силу разных схем участия в экзамене на данном этапе его внедрения.

Результаты выполнения заданий первой части работы

Ниже приведен методический анализ результатов выполнения заданий по содержательным блокам, включаемым в проверку на базовом уровне.

Практически все результаты по заданиям данного блока удовлетворительны и укладываются в планируемый диапазон трудности. Неожиданно низкий результат получен по безусловно простому заданию, в котором требовалось упорядочить три десятичные дроби, например, расположить в порядке возрастания числа 0,092, 0,09 и 0,209. Из 10 тысяч учащихся, выполнявших это задание, справились с ним немногим более половины. Как показывает анализ ответов экзаменуемых, допускались все предусмотренные в дистракторах ошибки. Наиболее распространенной (16–18%) явилась ошибка, при которой учащиеся, правильно определив первое число в нужной последовательности чисел, неверно сравнивали два оставшихся (в данном случае это ответ 0,09, 0,209, 0,092). Более 10% выпускников запутались в терминах «возрастание» и «убывание». Можно с большой степенью уверенности предположить, что такой низкий результат объясняется ошибочной тактикой выполнения этого задания. Вместо того чтобы записать числа в нужной последовательности, а затем сопоставить свой ответ с предлагаемыми, учащиеся, как показывает практика, в силу кажущейся простоты задания выполняют его устно.

Во всех вариантах экзаменационной работы два из трех заданий блока «Числа» относились к категории «практическое применение». Одно из них связано с продолжением начатой в предыдущие годы линией работы с реальными данными, представленными в стандартном виде. Ниже приведен пример одного из вариантов.

Задание 1.
Площадь территории США составляет 9,610⁶ км², а Швейцарии  4,110⁴ км². Во сколько раз площадь территории США больше площади территории Швейцарии?

1) примерно в 23 раза
2) примерно в 230 раз
3) примерно в 43 раза
4) примерно в 2,3 раза

Эта задача была отнесена к категории «трудных» в силу того, что на уроках, как правило, учащиеся работают с «рафинированными» числами и редко получают приближенный ответ. Однако в реальности она попала в разряд «средних»; полученные результаты практически во всех территориях оказались не ниже 70%. И это выше прошлогоднего результата, полученного по задачам данной серии.

Вторая из практико-ориентированных задач, в соответствии с уже сложившейся традицией, — это задача с реальным сюжетом, связанная с выполнением несложных процентных расчетов. Ее особенностью является необходимость выбора из условия нужных данных. Приведем формулировку одного из вариантов этой серии задач.

Задание 2. Из объявления фирмы, проводящей обучающие семинары: «Стоимость участия в семинаре — 2000 р. с человека. Группам от организаций предоставляются скидки: от 2 до 5 человек — 3%; более 5 человек — 5%». Сколько должна заплатить организация, направившая на семинар группу из 6 человек?

1) 600 р.
2) 1900 р.
3) 12000 р.
4) 11 400 р.

Разброс результатов решения этой задачи по территориям небольшой, и практически всюду они соответствуют прогнозируемым. Наиболее распространенной была следующая ошибка: учащиеся выбирали ответ из расчета суммы, необходимой для одного человека из группы. Таким образом, было проявлено не отсутствие умения найти процент от числа, а неспособность разобраться в несложной фабуле. Этот недостаток в подготовке учащихся проявлялся и в предыдущие годы, что еще раз говорит о необходимости усиления внимания к осознанной работе с текстами.

Выражения. Преобразования выражений

Приходится констатировать, что в целом результаты выполнения всех заданий блока «Буквенные выражения» оказались невысокими. От 20 до 30% учащихся не справились с нахождением значения выражения типа  при заданных значениях переменных
(в качестве значений переменных были взяты десятичные дроби, например, а = 2,4, b = – 0,9, с = 0,7).

При выполнении задания, где требовалось выбрать из числа указанных значение переменной, при котором не имеет смысла квадратный корень вида ошибались до трети учащихся. При этом значительная часть ошибок была связана с «присутствием» нуля: учащиеся считали, что либо выражение не имеет смысла, либо при х = 0 не имеет смысла данное выражение.

Наибольшие затруднения вызвали задачи с буквенными данными.

Задание 3. Длина шага человека х см. По какой формуле можно вычислить число шагов n, которые ему надо сделать, чтобы пройти s метров?

1) 
2)
3)
4) n = 100sx

Анализ ответов показывает, что практически все учащиеся знают, какое действие требуется выполнить (в приведенном примере это деление). Однако почти половина школьников игнорируют тот факт, что величины выражены в разных единицах (так, в приведенной выше задаче выбирают ответ под номером 3). Примерно пятая часть выпускников, обращая внимание на этот важный факт, ошибаются при переходе от одних единиц к другим (от рублей к копейкам, от метров к сантиметрам и т.д.). А для того, чтобы не сделать такую ошибку и выбрать, например, в данной задаче из первых двух формул нужную, достаточно всего лишь понимать, что при переходе от метров к сантиметрам должно получиться число, в 100 раз большее. И в этом (уже не первый раз) проявляется неумение применить неформальные способы рассуждения.

В заданиях на преобразование алгебраических выражений лучший результат показан при выполнении действий со степенями с целым показателем (83–89%). Кроме того, учащиеся в целом продемонстрировали знание некоторых правил преобразования целых выражений: формул сокращенного умножения, правила ab = –(–a)b = (–a)(b) и др.

Несколько выше, чем обычно, результат выполнения заданий на преобразование дробных выражений. Однако, скорее всего, он объясняется максимально простыми заданиями этого года, например, . Но и с этими заданиями не справились от 20 до 30% выпускников 9-го класса. Необходимо отметить, что на изучение данного материала выделяется достаточно большое время, уровень требований в учебном процессе довольно высок, а результаты, ежегодно получаемые в ходе экзамена, низкие. Это служит серьезным основанием для пересмотра всей методической системы изучения алгебраических дробей в основной школе. При этом необходимо учитывать, что реальный уровень, необходимый большинству школьников для изучения курса математики старших классов, вполне разумен и достигаем, и изучение этого вопроса должно строиться дифференцированно.

Уравнения. Неравенства

Задания по данным двум разделам были направлены на проверку следующих умений: решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными, составлять уравнения по условию текстовой задачи, решать задачи на вычисление абсциссы точки пересечения параболы с осью х и на вычисление координат точек пересечения параболы и прямой, решать линейные неравенства, неполные квадратные неравенства, применять свойства числовых неравенств. В целом, проценты верного выполнения большинства заданий блока находятся в прогнозируемых диапазонах.

Как повторяется из года в год, многие учащиеся плохо справляются с составлением уравнения по условию задачи (от 30 до 40% не смогли сделать этого для простейшей текстовой задачи). Основные ошибки при этом были связаны с незнанием зависимости между скоростью движения, временем движения и пройденным расстоянием.

Несколько ниже планируемых результаты выполнения задания на применение свойств числовых неравенств (74–77%). Один из вариантов такого задания приведен ниже.

Задание 4. Какое из следующих неравенств не следует из неравенства x > y – z?

1) x + z > y
2) y < x + z
3) x – y + z > 0
4) y – z – x > 0

Неоднократные наблюдения за работой школьников в процессе выполнения экзаменационных и подобных им заданий дают основания сформулировать следующую причину ошибок: задание кажется настолько простым, что перенос членов неравенства учащиеся выполняют мысленно и при этом неизбежно ошибаются.

Функции. Последовательности

Результаты по территориям довольно сильно различаются. В ряде регионов для многих учащихся оказалось трудным задание (65%), направленное на проверку представлений о расположении в координатной плоскости графика функции y = kx + b.
Можно предположить, что у этих учащихся не сформировано никакого из возможных алгоритмов распознавания графика, соответствующего заданной формуле. В то время как умение распознавать, используя для этого определения, свойства, относится к общеинтеллектуальным умениям и должно формироваться на уроках математики. Кроме того, отсутствие у учащихся твердых знаний об особенностях расположения графика линейной функции в координатной плоскости будет существенно мешать содержательному овладению началами математического анализа в старших классах уже хотя бы в силу отсутствия наглядной опоры.

Задание на понимание взаимного расположения гиперболы и прямой, включавшееся в работы для другой группы территорий, дало удовлетворительные, даже несколько превышающие прогнозируемый уровень трудности, результаты при выполнении (70–76%).

Задание 5. Какая из прямых пересекает график функции   в двух точках?

1) y = –3x
2) y = 2x
3) y = –5
4) x = 4

Если рассматривать этот факт с точки зрения тенденций в изменении подготовки девятиклассников по теме «Функции», то его следует оценить положительно. Дело в том, что наличие представлений об изучаемых графиках является важным и, безусловно, относится к минимальному набору базовых знаний. Если же говорить об учащихся, не справившихся с этим заданием (от 25 до 30%), то у них отсутствуют представления о расположении в координатной плоскости основных графиков в зависимости от значений коэффициентов, входящих в соответствующую формулу. Это еще раз подтверждает выводы, сделанные при анализе предыдущего задания.

Результаты выполнения задания на чтение графика функции также существенно различаются по территориям. Для некоторых территорий оно оказалось трудным (65%), а для других попало в планируемую категорию заданий средней трудности (75%). Анализ выбора ответов показывает, что учащиеся путают абсциссу и ординату точки, неправильно трактуют такую запись, как f(0) = 3, при нахождении наименьшего значения функции выбирают нижнюю точку графика на оси у. Иными словами, вообще не обладают навыками восприятия готового графика как целостного объекта с характерными свойствами.

Трудной оказалась задача, в которой нужно было выполнить некоторые вычисления, сняв данные с реального графика (52–56%). По-видимому, предложенный уровень оказался выше возможностей значительной части школьников.

Блок «Последовательности и прогрессии» был представлен заданиями, направленными на проверку владения понятием арифметической прогрессии и понимания ее графической интерпретации; понимания рекуррентной формулы и умения применить ее для вычисления первых нескольких членов последовательности. Результаты выполнения задачи на представление членов арифметической прогрессии точками на координатной плоскости в целом по территориям (кроме одной) мало различаются и находятся в пределах 62–64%, что соответствует прогнозируемому диапазону. (Планируемый диапазон трудности этой задачи, в силу ее новизны, для экзамена составлял 60–70%). Однако необходимо заметить, что у выпускников часто возникают трудности, когда требуется перейти с одного математического языка на другой, когда речь идет о некоторой интерпретации. Это, безусловно, указывает, на проблемные места в математической подготовке школьников.

Результаты выполнения задания на применение рекуррентной формулы оказались очень низкими, существенно ниже прогнозируемых (28–36%). Выскажем некоторые предположения о причинах сложившейся ситуации. Вполне возможно, что учащиеся ошибались при вычислениях, хотя умение найти число, обратное данному (что фактически требовалось для решения этой задачи), безусловно, относится к обязательным требованиям. Но, скорее всего, основная причина состоит в другом — в непонимании самой формулы. Анализ опыта преподавания темы «Прогрессии» показывает, что учителя, в силу разных причин, практикуют узко прагматичный подход к отбору учебного материала, ограничиваясь лишь формулами и решением некоторых стандартных задач, то есть формируя только специальные знания, а не общекультурные. В результате учащиеся не осознают сущностные аспекты содержания данного вопроса, безусловно имеющие общеобразовательное значение. В частности, важной составляющей математической грамотности современного человека является понимание символических обозначений, однако опыт показывает, что рекуррентные формулы рассматриваются мимоходом и достаточно формально, они не осознаются школьниками как символическая запись вычислительного алгоритма. Поэтому перенос знания на аналогичную, но все же новую ситуацию затруднен, что бывает в случае ориентировки учащихся не на существенные, основополагающие отношения, а на внешние, ситуативные.

Результаты выполнения заданий второй части работы

Отметим значительный разброс в результатах выполнения заданий по территориям. При этом процент верного выполнения практически никогда не превышает прогнозируемого. Задания второй части представляли следующие блоки содержания: выражения и их преобразования, уравнения и системы уравнений, неравенства, координаты и графики, арифметическая и геометрическая прогрессии.

Задание по первому из перечисленных блоков (первое задание во второй части работы) было направлено на проверку владения умением выполнять в несложных случаях разложение многочлена на множители способом группировки. Владение этим умением важно для тех учащихся, которые изучают математику на уровне, требующем уверенного применения алгебраического аппарата к решению математических задач. Результат выполнения этого задания можно считать удовлетворительным. С ним справилось около 60% школьников. При этом анализ результатов показывает, что чуть более 10% девятиклассников успешно применили метод группировки, но не довели разложение на множители до конца.

Задание на применение аппарата неравенств для нахождения области определения алгебраического выражения (в работах помещено под номером 18) требовало комплексного применения нескольких алгоритмов, относящихся к разным разделам курса, умения видеть и анализировать структуру выражения в целом. А именно, надо было учесть условие существования квадратного корня и решить квадратное неравенство, учесть условие существования дроби и найти значения х, при которых знаменатель не равен нулю, и наконец исключить эти значения из множества решений квадратного неравенства, если они туда попадают. В целом результат выполнения этого задания также удовлетворительный — с таким непростым комплексным заданием справилось по разным территориям от 20 до 35% выпускников.

Если описанное выше задание носит в основном формально-оперативный характер с некоторым логическим шагом, то следующее задание (на арифметическую прогрессию, в работах имеет номер 19) отличается от него качественно. Результаты его выполнения почти во всех территориях (кроме одной) ниже прогнозируемых (15–19%) и соответствуют диапазону задач высокого уровня. В этом прослеживается некоторая закономерность. Как уже отмечалось, учащиеся всегда затрудняются при интерпретации и применении знаний. В данном случае надо было, прежде всего, дважды распознать арифметическую прогрессию, далее применить формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии для суммирования натуральных чисел и чисел, кратных 3. Но основная «изюминка» данной задачи — это логический шаг: чтобы найти сумму чисел, не делящихся на 3, надо найти сумму всех натуральных чисел до заданного числа включительно и вычесть из нее сумму тех чисел, которые делятся на 3. Этот логический прием имеет общий характер и применяется при решении многих задач повышенного уровня, и обучение математике обязано формировать у сильных учащихся соответствующее интеллектуальное умение. Никакими специальными приемами для решения подобной задачи владеть не надо, все необходимые фактические знания учащиеся получают в общем курсе алгебры основной школы. Поэтому полученные результаты указывают некоторое направление совершенствования преподавания.

Еще два задания — высокого уровня: решение системы двух уравнений с двумя переменными и решение задачи геометрического содержания на координатной плоскости с опорой на графические представления. Первое из этих заданий можно назвать нестандартным, так как хотя подобные системы и встречаются в учебниках, но не отрабатываются; чаще они присутствуют в курсах повышенного уровня. Фактические знания, требуемые для решения системы, не выходят за рамки обязательного минимума содержания, но чтобы решить ее, надо свободно владеть этими знаниями и уметь применить их в нужной ситуации. Результаты по этой задаче удовлетворительные (18–19%), при этом есть территория, где процент выполнения даже выше прогнозируемого.

Пример одного из вариантов второго задания — задачи, решаемой с опорой на графические представления, приведен ниже.

Задание 6. Найдите все значения k, при которых прямая y = kx пересекает в трех различных точках график функции

Эта задача, безусловно, трудная. Ее решение предполагает два этапа. Первый — технического характера, заключающийся в построении графика. Этот этап для хорошо подготовленного школьника не должен представлять затруднений. Вся суть этой задачи – во втором этапе, требующем проведения некоторого исследования. Надо увидеть границы, в которых должна «вращаться» прямая y = kx, чтобы иметь с графиком три общие точки, и найти граничные значения коэффициента k. Решение, в котором присутствует только первый этап и не сделано никакой попытки перейти ко второму, не должно оцениваться положительным баллом. В этом случае задача считается нерешенной. Но во всех территориях нашлись выпускники, которые справились с этой задачей (до 8% учащихся). Это, безусловно, потенциал профильных классов с высокими требованиями к уровню математической подготовки.

Некоторые типичные недочеты

Остановимся на типичных недочетах и недостатках, которые были выявлены при просмотре и проверке письменных решений заданий второй части экзаменационной работы.

Одной из важных целей обучения математике является формирование умения ясно, точно, логически грамотно выражать свои мысли как в устной, так и в письменной форме. Однако цель эта достигается далеко не всегда. Так, работы учащихся свидетельствуют об отсутствии у них общих представлений о том, что собственно нужно указывать и комментировать в ходе решения той или иной задачи, какие моменты решения действительно являются существенными. Достаточно часто встречаются обширные (на 2–3 страницы) «сочинения», содержащие такие, безусловно, ненужные комментарии, как словесное описание применяемых алгоритмов. Например, в задании, где требуется построить график функции, составленный из частей двух парабол, учащиеся подробно описывают словами полное построение каждой из них, что противоречит вспомогательной роли этого этапа работы. При этом, увлекшись описанием, они могут забыть выделить на рисунке итоговый график.

Наряду с работами-сочинениями нередко можно видеть и такие работы, в которых сплошным текстом идут выкладки без выделения каких-либо этапов решения, не содержащие никаких пояснений. В связи со сказанным отметим, что очень редко встречаются работы, в которых используются такие слова, раскрывающие логику рассуждений, как «следовательно», «поэтому», «значит» и пр.

Весьма типичным недостатком в записи решения является неверное употребление математической терминологии и символики. Так, вместо словосочетания «найдем корни квадратного трехчлена» можно увидеть выражение «решим квадратный трехчлен»; вместо слов «решим неравенство» ученики часто пишут «решим уравнение». Можно встретить такое ошибочное выражение, как «построим график прямой».

Серьезное непонимание существа дела проявляется в неуместном употреблении логических союзов «и» и «или». Налицо путаница между употреблением этих союзов как логических связок и как частей речи русского языка. Например, результат решения квадратного уравнения x² – 5x + 6 = 0 записывают так: x = 2 или x = 3 (или даже употребляют в этой записи знак совокупности). В то время как задача состоит в нахождении множества корней уравнения, в соответствии с чем требуется перечислить элементы этого множества (а не записывать дизъюнкцию высказываний). Это может быть сделано разными способами, например: x₁ = 2, x₂ = 3; 2 и 3; 2, 3.

Сплошь и рядом учащиеся путаются в обозначениях совокупности (квадратная скобка) и системы (фигурная скобка). В экзаменационных работах 2008 года значительное число успевающих школьников вместо символической записи, обозначающей совокупность двух систем, использовали запись, означающую систему двух совокупностей.
О нецелесообразности употребления термина «совокупность» и соответствующего обозначения следовало бы поговорить особо, но если уж их использовать, то в соответствии со смыслом, который в них вкладывается.

Обращает на себя внимание следующий факт: учащиеся, выполняющие задания второй части работы, то есть относящиеся к хорошо успевающим школьникам, не вооружены элементарными техническими навыками, своего рода азбукой преобразований, которая облегчает выполнение выкладок, позволяет избежать случайных ошибок. Приведем типичный пример. В одном из заданий экзаменационной работы для нахождения области определения выражения нужно было решать квадратное неравенство 21 + 2x – 3x² ≥ 0. Выяснилось, что многие школьники не знают о том, что, следуя мудрому правилу «плюс лучше минуса», это неравенство целесообразно сразу же заменить равносильным 3x² – 2x – 21 ≤ 0. Некоторые из них так и сохраняют до конца отрицательный коэффициент у старшего члена квадратного трехчлена и в результате допускают вычислительные ошибки. Другие меняют минус на плюс, но лишь после того как записывают уравнение –3x² + 2x + 21 = 0, и затем они ошибаются при нахождении множества решений неравенства, забывая о том, что в неравенстве коэффициент при x² был отрицательный. Подчеркнем, что такого рода недостатки носят массовый характер.

Вообще, решение квадратного неравенства для многих школьников представляет поистине непреодолимую трудность. И причина, скорее всего, кроется в методических подходах, широко используемых в практике преподавания. Дело в том, что учителя математики дополняют рассмотрение алгоритма решения квадратных неравенств, в основе которого лежат графические представления, весьма трудным для девятиклассников вопросом о решении неравенств методом интервалов (хотя он и не предусмотрен стандартом по математике основной школы). Из-за объективной сложности каждого из этих вопросов, большого объема материала, неизбежной методической «скороговорки» и в результате недостатка учебного времени ни один из них не усваивается сколько-нибудь удовлетворительно. Метод интервалов разрушает в сознании учащихся еще недостаточно освоенный алгоритм. Как следствие, они не могут решить такие квадратные неравенства, как x² + x + 1 > 0, x² – 5 < 0.

Чтобы решить упомянутое выше квадратное неравенство 21 + 2x – 3x² ≥ 0, многие школьники посчитали необходимым разложить левую часть неравенства на множители (тогда как достаточно было найти корни трехчлена и «прочитать» ответ по схематическому графику). Заметим, что это неравенство являлось частью решения комплексной задачи на нахождение области определения выражения, которая свелась к решению системы

После того как учащийся изображал на координатной оси корни трехчлена, а между ними «светлую» точку получалось четыре промежутка. И многие, спровоцированные неверными ассоциациями, последовательно проставляли над этими промежутками знаки «+, –, +, –» или «–, +, –, +».

Остановимся еще на одном распространенном недочете. В одной из работ было предложено решить весьма непростую систему двух уравнений с двумя переменными, которой удовлетворяет три пары чисел. Главной проблемой для многих, дошедших практически до конца решения, явилась запись ответа. Они либо не объединяли найденные значения в пары, либо объединяли, путая порядок. Это еще раз свидетельствует об отсутствии понимания существа дела: все преобразования выполнены, а логически решение не завершено.

Анализ выполнения заданий выпускниками с различным уровнем подготовки

По результатам одной из территорий проведен анализ особенностей выполнения заданий экзаменационной работы группами выпускников, получивших по пятибалльной шкале отметку «2», «3», «4» или «5».

Учащиеся, получившие отметку «5», в целом продемонстрировали очень хорошее владение материалом на уровне базовой подготовки. Результаты выполнения заданий первой части экзаменационной работы находятся в диапазоне от 88 до 97%. Исключение составляют два задания, имеющие практико-ориентированную направленность, одно из которых предполагало проведение вычислений по формуле с переводом одних единиц измерения в другие, а второе — процентные расчеты с выбором нужных данных из условия задачи. Процент выполнения этих заданий равен в среднем 55% и 77% соответственно. Эти задания вызвали наибольшие затруднения и во всех остальных группах.

Результаты выполнения заданий повышенного и высокого уровней (вторая часть экзаменационной работы), показанные этой группой учащихся, находятся в диапазоне от 85 (задание № 17) до 20% (задание № 21).

Учащиеся, получившие отметку «4», продемонстрировали стабильное владение материалом на уровне базовой подготовки. Результаты выполнения 13 заданий первой части экзаменационной работы находятся в этой группе в диапазоне от 72 до 95%. Значительно более низкие результаты здесь показаны по тем же двум заданиям, что и в предыдущей группе (39% и 68% соответственно).

Результаты выполнения первых четырех заданий второй части работы этой группой учащихся находятся в диапазоне от 55 (задание № 17) до 10% (задание № 20). С заданием № 21 справилось в среднем около 1% «четверочников».

Как и в предыдущие годы, немногим более половины выпускников данной группы (18% от общего числа учащихся) имеют рейтинг 8–10 баллов. Это «четверка», полученная на минимальной границе выставления «четверки» и характеризующая в основном подготовку тех учащихся, которые выполнили 12–16 заданий первой части и одно несложное из второй. В то же время можно выделить достаточно большую группу сильных «четверочников»; их рейтинг составил 13–15 баллов, уровень их подготовки можно считать близким к «пятерке». У них в полной мере сформированы базовые знания и умения, и они способны находить пути решения задач в ситуациях, отличающихся от стандартных. Это примерно треть получивших отметку «4» (9% от общего числа учащихся).

Учащиеся, получившие отметку «3», продемонстрировали нестабильное владение материалом на уровне базовой подготовки. Результаты выполнения основной части заданий в этой группе находятся в более широком диапазоне: от 57 до 76%. Следует отметить и довольно низкую верхнюю границу диапазона, и серьезный отрыв результатов данной группы от предыдущей. Кроме того, для учащихся этой группы имеет значение форма ответа: задания с кратким ответом они выполняют приблизительно на 15% хуже заданий с выбором ответа.

Два задания, оказавшиеся трудными для учащихся двух предыдущих групп, выполнили соответственно 40% и 52% троечников. Но хуже всего они справились с заданием на чтение реального графика (его выполнили около 37% экзаменуемых, получивших отметку «3»).

Что касается второй части работы, то учащиеся этой группы имеют реальный шанс справиться лишь с заданием № 17, выполняют его от 11 до 21% «троечников». Результат выполнения всех прочих заданий составляет около 1%.

Учащихся, набравших 6 или 7 баллов, можно отнести к категории «твердых троечников»: они выполняют больше половины заданий первой части работы, а некоторые из них и первое задание второй части. Таких учащихся около 19% от общего числа сдававших экзамен.

Учащиеся, получившие отметку «2», не продемонстрировали владение материалом на уровне базовой подготовки. Результаты выполнения заданий в этой группе находятся в широком диапазоне от 8 до 62%. Наиболее стабильные результаты — более 40% — показаны по заданиям, относящимся к познавательной категории «алгоритмы»: преобразование выражений, действия со степенями, формулы сокращенного умножения, представление чисел точками на координатной прямой, преобразование неравенств.

На основе анализа приведенных данных можно сделать некоторые выводы. Задачей первой части работы является проверка владения материалом курса на базовом уровне, но при этом на основе результатов выполнения заданий этой части уже можно дифференцировать учащихся по уровню подготовки. В меньшей степени это относится к хорошо успевающим школьникам. Тем не менее в среднем диапазон процентов верных ответов у «четверочников», отличается от соответствующего диапазона «пятерочников» на 5–10%. Более тонко эти две группы учащихся дифференцируются второй частью работы. А вот разница в результатах следующих групп уже более ощутима: по отметкам «3» и «4» диапазоны различаются на 10–20%, по отметкам «2» и «3» — на 30–40%. Последний факт свидетельствует о том, что «уровень незнания» действительно расположен очень низко.

Сравнивая результаты выполнения выделенными группами отдельных заданий второй части работы, можно отметить следующее. Результаты выполнения уже первого, наиболее простого, задания второй части существенно различаются: «четверочники» выполнили его на 20–40% хуже «пятерочников». Напомним, что отметка «4» выставляется и за практически полное выполнение первой части работы, правда, процент таких учащихся не высок — не более 3. Это нижняя граница четверки. При подготовке к экзамену целесообразно нацеливать определенную часть учащихся на безошибочное выполнение первой части, правильно расставляя акценты и учитывая их реальные возможности. Например, больше обращать внимание на понятийную сторону, — конечно, не в ущерб алгоритмической.

Это же соображение можно отнести и к группе «троечников». Особенность их подготовки состоит в том, что они освоили на базовом уровне алгоритмические умения, но имеют существенные пробелы в понятийном аспекте. Возможно, отсюда и проблемы с категорией «решение задач», где нет четкого алгоритма выполнения, а известны лишь общие соображения, из которых учащимся должно быть самостоятельно «собрано» решение несложной задачи.

Результаты выполнения заданий № 18–21 экзаменационной работы группой «троечников» находятся практически на нулевом уровне. Это лишний раз указывает на необходимость дифференцированного подхода к обучению и, в частности, при подготовке к экзамену: учителю необходимо ставить перед учащимся ту задачу, которую он может реализовать.

---

^* Письмо подготовлено членами федеральной предметной комиссии по алгебре канд. пед. наук Л.В. Кузнецовой, канд. пед. наук Л.О. Рословой, канд. пед. наук С.Б. Суворовой по материалам аналитического отчета по результатам проведения экзамена в 2008 г. для выпускников 9-х классов на основе обработки данных, полученных из базовых регионов (отчет размещен на сайте ФИПИ www.fipi.ru).