Как на уроке математики развивать исследовательские умения

Сейчас много говорят о проектах, об исследовательских задачах для школьников. Свое понимание этих слов я сформулировал в статье [5]. Здесь я пишу о том, как подготовить учеников к решению исследовательских задач, то есть какие формы работы и элементы урока помогают развивать исследовательские навыки. На мой взгляд, это может быть полезно и тем учителям, которые не собираются вести никаких проектов.

Хороший образ: математика — это лес. Учитель прокладывает в нем просеки. Слабым ученикам хорошо бы научиться ходить по просекам. Обычных учащихся можно научить не бояться заходить в любой лес, видеть простые ориентиры, не теряться (хотя бы недалеко от дороги). Для сильных учеников возможен поход по бездорожью, то есть самостоятельное решение исследовательской задачи. Умение не заблудиться в лесу и есть то, чему мы хотим научить.

Хочется обратить внимание на основную психологическую трудность для учителя: работая над исследовательской задачей, надо разговаривать с учеником как с младшим коллегой. Это совсем другая психологическая позиция, чем обычно на уроке. Нужно уметь четко разделять эти две ситуации.

Какие умения хотим развить

Приведем конкретные примеры исследовательских умений.

Не боимся нестандартных задач.Я знал школьницу, которая умела решать полные квадратные уравнения и умела переносить слагаемые из одной части в другую. Но уравнение 2x² + 11x = –5 она решить не могла. То есть комбинировать простые идеи ученик не был научен.

Другой пример: уравнение x⁶ + 100x⁴ + x² + 1 = 0. У него нет корней, так как левая часть всегда положительна. Чтобы понять это, не надо знать ничего вне школьной программы, надо только понимать, что значит «решить уравнение», и не пугаться его вида («мы этого не проходили»). Установка должна быть четкой: «Не знаем алгоритма — не беда, подумаем».

Конструируем. Школьников постоянно просят решить пример и очень редко — придумать свой пример. Между тем такие задания полезны и в чисто учебном отношении: они проверяют понимание, тренируют «конструкторские» способности.

П р и м е р. Придумайте уравнение с целыми коэффициентами, имеющее корень:

П р и м е р. Придумайте:

а) неравенство второй степени, решением которого является одно число;

б) неравенство четвертой степени, решением которого являются два числа.

Каждую вновь появляющуюся конструкцию через некоторое время тренируемся строить сами. (См. дальнейшие примеры в работе Д. Шноля «Задачи с параметром» [11].)

Задаем вопросы. Школа этому не учит. Вопросы обычно задает учитель, причем не потому, что не знает ответа, а потому, что хочет выяснить, знает ли его ученик. Между тем умение задавать вопрос «по делу» пригодится в жизни всем.

П р и м е р. Пройдена тема «Квадратные уравнения». Учитель пишет на доске уравнение x² + bx + 4 = 0 и говорит: «Придумайте вопрос к этому уравнению». Ученики начинают спрашивать: «При каких b уравнение имеет два корня?», «При каких b корни целые?», «При каких b есть корень, равный –1?» Отвечать на вопросы могут другие ученики или учитель.

Обычно задача жестко задана: составитель разложил конфигурацию бильярдных шаров и ученику надо только грамотно ударить. А здесь ученик начинает сам видеть конфигурации: нет ли лишних данных, что еще можно найти и т.д.

Экспериментируем. Математика — наука не только теоретическая, но и экспериментальная [8]. Хочется, чтобы ученик, встречая сложную задачу, к которой не понятно, как подступиться, не пасовал, а начинал изучать частные случаи, пока за ними не выстроится закономерность.

Я убежден, что правильный путь, нахождения формул для сумм типа 1 + 3 + ... + (2n – 1), 1³ + 2³ + ... + n³, — это подсчитать первые несколько сумм (для маленьких n), найти закономерность и доказать ее.

В сложных задачах часто дано большое значение параметра, а надо решить сначала для маленького и угадать закономерность. Например, так легче всего найти сумму

–(–1 – (–1 – (–1 – (–1 – ...)))),

где 2007 или 2008 пар скобок.

Угадать и доказать — в этом нет ничего зазорного. Настоящие математики так и работают [2].

Выдвигаем гипотезы. В геометрии большой простор для экспериментирования дает программа «Живая геометрия» [8]. С ее помощью можно строить довольно сложные геометрические конструкции, изменять их и наблюдать различные свойства.

П р и м е р. Когда пройдена тема «Четырехугольники», можно дать новую фигуру — дельтоид, то есть четырехугольник ABCD, у которого AB = BC, CD = DA, и попросить учащихся найти его свойства и признаки по аналогии с параллелограммом и другими изученными фигурами. Затем можно исследовать равноугольные шестиугольники и равносторонние шестиугольники (тут пригодится «Живая геометрия»). Оказывается, у равносторонних шестиугольников никаких интересных свойств нет! Школьникам трудно с этим смириться, но это тоже результат — и это важно понимать.

Задачи

Какие этапы нужно постепенно пройти на уроке от школьной задачи, в которой есть определенные данные и конкретный вопрос, к исследовательской задаче?

1-й этап. Задача с определенными данными и несколькими вопросами по модели «найти» или «доказать».

П р и м е р. Саша купил два карандаша, четыре тетради и четыре ручки и заплатил 32 р., а Дима купил четыре карандаша, две тетради и две ручки и заплатил 22 р.

а) Сколько заплатила Маша, если она купила карандаш, тетрадь и ручку?

б) Сколько стоит карандаш?

в) Сколько заплатил Витя, если он купил три тетради и три ручки?

2-й этап. «Заготовка задачи». Данные есть; требуется поставить разумный вопрос, чтобы на него можно было найти ответ.

П р и м е р. В 12.00 из деревни Шахматово вышел шахматист со скоростью 4 км/ч. В тот же момент по той же дороге навстречу ему из деревни Шашкино вышел шашист со скоростью 6 км/ч. Они встретились, поговорили 5 мин и пошли дальше. Каждый дошел до другой деревни, побыл там 15 мин и пошел обратно. На обратном пути они снова встретились и, не останавливаясь, пошли дальше, каждый в свою деревню. Расстояние между деревнями 12 км. Задайте к этому тексту все вопросы, какие сможете, и найдите на них ответы.

П р и м е р. В ромбе сторона равна a и равна одной из диагоналей. Задайте вопрос и решите задачу. (Найдите углы ромба, другую диагональ, высоту, площадь, радиус вписанной окружности и т.д.)

3-й этап. Анализ данных. Что можно найти, исходя из данных, а что нельзя?

П р и м е р. В трапеции ABCD известны основания BC = a, AD = b и высота BH = h. Диагонали пересекаются в точке K. Какие из следующих величин можно найти, исходя из этих данных?

а) Сторону AB.

б) Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

в) Диагональ AC. 

г) Площадь треугольника AKD.

Ответ обязательно поясните: если величину можно найти, то найдите ее, если данных недостаточно, то приведите пример двух трапеций с данными основаниями и высотой, но имеющих разные другие величины.

4-й этап. Работа с данными. Что нужно задать, чтобы найти некоторую величину?

П р и м е р. Задайте минимальное количество точек координатной плоскости, лежащих на параболе, чтобы можно было найти квадратную функцию, графиком которой эта парабола является.

П р и м е р. Дано кубическое уравнение x³ + ax² + bx + c = 0. Какие коэффициенты нужно знать, чтобы найти сумму квадратов корней уравнения?

5-й этап. Создание учеником задачи с использованием уже разобранной задачи (задача на ту же идею, обобщение задачи, усиление условия и т.д.).

П р и м е р. Коля доказал, что в прямоугольнике биссектрисы противоположных углов параллельны друг другу; значит, четыре биссектрисы образуют параллелограмм. Верно ли его утверждение? Насколько оно интересно? Можете ли вы его дополнить? Усилить?

Диалоги. При введении нового материала полезно не давать всё готовым «под запись», а обсуждать какие-то кусочки материала с учениками, вместе нащупывать истину.

П р и м е р. Пусть на уроке в 5-м классе выяснено следующее: чтобы найти число, большее единицы, которое при делении на 2, на 3 и на 5 дает в остатке 1, можно взять число (2∙3∙5 + 1). Один ученик спрашивает: «А если вместо 2, 3 и 5 взять другие числа?» Разбираемся, что такой способ всегда дает остаток 1. Другой спрашивает: «А будет ли оно самым маленьким среди таких чисел?» Приводим пример с 2, 4, 6, когда способ дает не самое маленькое. Школьники задумываются: а когда же он дает самое маленькое число? Произошел серьезный исследовательский диалог.

По мере того как учащиеся овладевают типичными исследовательскими вопросами, учитель из транслятора готовых знаний превращается в руководителя семинара.

П р и м е р. Научились решать квадратные уравнения и сводить к ним биквадратные. Какие еще уравнения можно решить с помощью этой идеи?

П р и м е р. При изучении арифметической прогрессии учащимся указали на свойство

Они сами доказали его, сами нашли и доказали признак. При изучении геометрической прогрессии учителю достаточно дать определение — свойство и признак учащиеся самостоятельно откроют и докажут по аналогии.

Открытые задачи. Почти во всех задачах просят «найти» («решить») или «доказать». А мы будем решать открытые задачи, в которых спрашивают: «верно ли, что...», «существует ли...», «когда существует», «уточните условие», «обобщите», «проверьте справедливость обратного утверждения» [5, 6]. Примерный план «открытия» школьных задач приведен в предыдущем разделе статьи.

При открытой постановке учащиеся учатся задавать правильные вопросы, уточнять задачу, выделять ведущий параметр (раньше это была наша прерогатива!).

По некоторым темам удается вообще все задачи «открыть». Так, в школе «Интеллектуал» используются подборки открытых задач по геометрии 7–8-х классов на делимость чисел и простые числа, на метод математической индукции [11].

Домашняя олимпиада.Для учеников 5–7-х классов можно проводить домашнюю олимпиаду [9, 10]. На неделю выдается 5 нестандартных задач; затем проверка, разбор и новые задачи (за год до 30 циклов). В известном смысле — это «олимпиада наоборот»: можно думать долго, можно советоваться с кем хочешь, награждаются все участники. Последний пункт не входит в классическую схему П. Чулкова, а предложен автору М. Ройтбергом: назначается несколько планок (4–5), и ученик, добравшийся до очередной планки (неважно, когда), получает приз. Таким образом, даже не самые сильные ученики, работая в течение года, получают 1– 2 приза. Очень важно ещё, что школьники учатся записывать нестандартные решения. Поскольку задачи разнообразны, имеют привлекательную формулировку, учащиеся их очень любят.

Фронтальное обсуждение «минипроекта». В 5–6-х классах исследовательскую работу можно вести с сильными учащимися прямо на уроке. Этим облегчается переход к новой форме работы, требующей самоорганизации. Мы выделяем для этого один урок в неделю. В статье [4] подробно описана технология решения исследовательских задач в группах в аудиторное время. Начинать стоит с «переходных» — между длинной задачей и маленьким проектом — случаев.

П р и м е р. Решили на уроке задачу: «На сколько частей можно разрезать блин тремя разрезами?» Далее задается вопрос: «А если разрезов четыре, пять, n?» О наименьшем количестве частей ученики догадываются довольно быстро, о наибольшем кто-то догадывается, кто-то нет. (Стоит упомянуть, что о промежуточных случаях современная наука знает не всё: например, могут ли 8 прямых делить плоскость на 23 части? [1]

Другие примеры фронтальных проектов для 5–7-х классов:

1. Полоска. Двое играют на полоске из n x1 клеток бумаги. Каждый закрашивает одну или две идущие подряд клетки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Найти выигрышную стратегию. Обобщить для полосок n ´ m, для кубиков в пространстве. (См. работу М.Ройтберга [3].)

2. Полезные числа. Петя хочет узнать, является ли число 2503 простым или составным. Для этого он делит его последовательно на натуральные числа 2, 3, 4, 5 и т.д. Если на какое-то число оно разделится нацело, значит, оно составное.

а) Согласны ли вы, что необходимо делить на все подряд натуральные числа?

б) На каком числе можно остановиться и признать число 2503 простым? Обобщите для числа N.

3. Нелегальный доход. Можно ли выписать n чисел, чтобы сумма любых двух соседних была отрицательна, а сумма всех чисел — положительна? Тот же вопрос для любых трех соседних; любых k соседних чисел.

4. Прямоугольники и диагонали. На листе бумаги в клеточку обведите прямоугольник размером 2 x 5 клеток. Сколько клеток пересекает диагональ этого прямоугольника? Через сколько узлов (то есть вершин клеток) проходит диагональ? Проделайте то же с прямоугольниками 3 x 6 и 6 x 8 клеток. Какие закономерности видны? Как вы думаете, каким будет ответ для прямоугольника 199 x 991 клеток? Попробуйте дать ответ для произвольного прямоугольника размером m x n клеток. Примечание. Диагональ пересекает клетку, если она заходит «внутрь» этой клетки, а не просто проходит через вершину.

Задачи попроще решаются на уроке и тут же (или дома) записываются. Задачи посложнее обсуждаются в классе один раз в неделю, а через 2–4 недели подводятся итоги. Учащиеся, которые думают медленно и от этого на уроках обычно страдают, тут оказываются в выигрышной ситуации. Важно требовать запись решения: ученик еще раз всё продумывает, выстраивает логически, обосновывает. Обычно мы не получаем полного решения от всех, каждый доводит решение до своего уровня. Но здесь это не страшно (в отличие от работы с программным материалом).

После того как несколько циклов пройдено, можно дать ученикам несколько задач на выбор, и пусть каждый решит свою. По нашему опыту, одному учителю удается работать с 6–8 заинтересованными школьниками разом на этапе решения задачи. Когда же дело доходит до оформления результатов и подготовки доклада, стоит каждому ученику или группе назначить своего консультанта, который посмотрит свежим взглядом на его решение, «выловит» ошибки, «дожмет» с подготовкой доклада к нужному сроку (когда запланирована конференция) [4]. Тут ресурса одного человека на всех не хватает, тем более что обычно учащиеся больше любят решать, чем оформлять.

Важно, чтобы обстановка на конференции была праздничной и делать доклад было престижно. Учащиеся, успешно прошедшие такие мероприятия в 5–7-х классах, затем при желании легко включаются в решение более сложных исследовательских задач — уже в индивидуальном порядке, размышляя дома и консультируясь у учителя.

Многочисленные примеры задач и подробности можно найти в статьях [4, 5, 7].
В Московском центре непрерывного математического образования работает семинар учебно-исследовательских работ школьников. Материалы семинара можно найти на сайте www.mccme.ru/nir/uir

Благодарю Д. Шноля за идеи и помощь в подготовке статьи.

1.  Арнольд В.И. На сколько частей делят плоскость n прямых? // Математическое просвещение. Третья серия. Выпуск 12. 2008, с. 95–104.
2.  Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. — М.: ИЛ, 1957.
3.  Ройтберг М. Игра в полоску // Математика, 2008, № 21, с. 27–33.
4.  Ройтберг М. О математических проектах в Красноярской летней школе // Математика, 2008, № 13, с. 25–38.
5.  Сгибнев А.И. Исследуем на уроке и на проекте // Сборник «Учим математике»/Под ред. А.Д. Блинкова, И.Б. Писаренко, И.В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2006, с. 59–71.
6.  Сгибнев А. Как задавать вопросы // Математика, 2007, № 12, с. 30–41.
7.  Сгибнев А., Шноль Д. Исследовательские задачи при обучении математике в школе «Интеллектуал» // Математика, 2007, № 12, с. 17–22.
8.  Сгибнев А. Экспериментальная математика // Математика, 2007, № 3, с. 2–8.
9.  Чулков П.В. Нестандартные задачи и обучение математике // Сборник «Учим математике» / Под ред. А.Д. Блинкова, И.Б. Писаренко, И.В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2006, с. 11–14.
10.  Чулков П.В. Школьные олимпиады. 5– 6 класс. — М.: НЦ ЭНАС, 2004.
11.  http://int-sch.ru/math

Работа выполнена при поддержке РГНФ (грант 06-06-00427а).

Сгибнев А.