Турнир Архимеда. Московская математическая регата. 7 класс

Сезон математических регат 2007/08 учебного года завершала регата 7-х классов, состоявшаяся 19 апреля. Она собрала 80 команд школьников Москвы и области.

Регата проходила в Московском городском дворце детского (юношеского) творчества при финансовой поддержке департамента образования г. Москвы, организационной и технической поддержке Московского центра непрерывного математического образования.

Каждый участник и руководитель команды по окончании регаты получал небольшую брошюру с условиями и решениями задач только что прошедшей регаты. В подготовке и проведении регаты приняли участие около пятидесяти учителей и студентов. Дипломами Турниров Архимеда и математической литературой были награждены 13 команд. Дипломы первой степени получили команды лицея «Вторая школа», ФМШ № 2007 и гимназии № 1543. Полные итоги регаты опубликованы на сервере МЦНМО (http://www.mccme.ru/olympiads). Там же можно найти материалы регат предыдущих лет, которые ежегодно публикуются и на страницах газеты «Математика». Подробно о том, как проводятся математические регаты, — см. сборник «Московские математические регаты» (Cост.: А.Д. Блинков, В.М. Гуровиц, Е.С. Горская. М.: МЦНМО, 2007.)

Как обычно, часть заданий придумывалась авторами специально для этой регаты, а остальные являются математическим фольклором или взяты из популярной математической литературы. Тексты решений опубликованы в том виде, в котором они готовились для работы жюри.

Условия задач

Первый тур

(10 минут; каждая задача — 6 баллов)

1.1. Частное от деления двух одночленов равно 9х²у, а их произведение равно х⁸у⁹. Приведите пример таких одночленов.

1.2. В равнобедренном тупоугольном треугольнике проведите четыре отрезка так, чтобы он разделился на шесть прямоугольных треугольников. Поясните ваше решение.

1.3. Найдутся ли различные натуральные числа x, y и z такие, что сумма любых двух из них является простым числом? Объясните ответ.

Второй тур

(15 минут; каждая задача — 7 баллов)

2.1. Делегация некоторой страны на Олимпийских играх будет состоять из спортсменов и чиновников. Средний возраст этих спортсменов на начало олимпиады составит 22 года, а чиновников — 47 лет. При этом средний возраст всех членов делегации окажется равным 41 году. Какова в этой делегации доля чиновников, выраженная в процентах?

2.2. Из середины М стороны AB равностороннего треугольника ABC опустили перпендикуляры МK и МL на стороны AC и BC. Найдите KL, если AB = 1.

2.3. Вилли, Билли, Бим и Бом провели круговой турнир по шахматам (каждый сыграл с каждым по одному разу, победа — 1 очко, ничья — 0,5 очка, поражение — 0 очков). Известно, что четыре партии были сыграны вничью, а Вилли набрал 0,5 очка. Бим сказал, что он за турнир набрал 2,5 очка. Могло ли такое быть?

Третий тур

(15 минут; каждая задача — 7 баллов)

3.1. Винни-Пух и Пятачок сели за стол немного подкрепиться и начали одновременно есть мед из одного горшка, не отвлекаясь на разговоры. Если бы Винни-Пух ел со скоростью Пятачка, то процесс еды длился бы на 4 минуты дольше, а если бы наоборот, Пятачок ел со скоростью Винни-Пуха, то сократился бы на 1 минуту. За какое время мед из горшка был полностью съеден?

3.2. Точки А, В, С и D расположены на плоскости так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Известно, что AB = BC = CD и AC = BD. Докажите, что среди прямых (AB, BC, CD, AC, BD, AD), соединяющих данные точки попарно, есть хотя бы две параллельные.

3.3. На клетчатой бумаге нарисовали прямоугольник по линиям сетки. Внутри него оказалось единичных отрезков сетки на 90 больше, чем узлов. Определите размеры прямоугольника.

Четвертый тур

(20 минут; каждая задача — 8 баллов)

4.1. Решите уравнение | 65x³ + 12x | = | 48x² + 1 |.

4.2. Высоты ВР и СQ треугольника АВС пересекаются в точке Н. Оказалось, что BH = AC. Найдите возможные значения угла АВС.

4.3. Десятичная запись числа состоит из десяти различных цифр. Цифра называется «хорошей», если она равна сумме двух своих соседей (слева и справа). Какое наибольшее количество «хороших» цифр может быть в таком числе?

Решения задач

1.1. 

Комментарий. Получить ответ можно подбором. Можно также использовать уравнения: если А и В — искомые одночлены, то AB = x⁸y⁹, Перемножив эти равенства почленно, получим: A² = 9x¹⁰y¹⁰, откуда A = ±3x⁵y⁵. Тогда

1.2. См., например, рисунок 1.

Рассмотрим треугольник АВС, в котором АВ = АС и ВАС > 90°. Проведем его высоту AA₁, после чего в треугольниках ВАА₁ и САА₁ проведем высоты А₁С₁ и А₁В₁ соответственно, а затем проведем отрезок С₁В₁, который пересечет AA₁ в точке Р. Искомые шесть прямоугольных треугольников — А₁С₁В, А₁В₁С, А₁С₁Р, А₁В₁Р, АС₁Р и АВ₁Р. Прямоугольность всех указанных треугольников очевидна из симметрии. Строгое доказательство можно провести, например, так: из равнобедренности треугольника АВС следует, что равны его углы В и С, а высота AA₁ является также медианой и биссектрисой. Значит, треугольники А₁АС₁ и А₁АВ₁ равны (по гипотенузе и острому углу). Следовательно, треугольник С₁АВ₁ также равнобедренный и имеет с данным треугольником общий угол при вершине А. Тогда в треугольниках С₁АВ₁ и САВ равны и углы при основаниях, поэтому С₁В₁ ВС. Так как ВС АА₁, то С₁В₁ АА₁.

Рис. 1

1.3. Нет, не найдется.

Среди любых трех натуральных чисел найдется либо два четных, либо два нечетных числа (по принципу Дирихле). Сумма двух чисел одной четности является четным числом. По условию числа x, y и z различны, поэтому такая сумма отлична от двух, значит, она является составным числом.

2.1. 76%.

Пусть делегация состоит из x спортсменов и y чиновников, тогда суммарный возраст спортсменов равен 22x, а чиновников — 47y. Делегация насчитывает (x + y) человек, поэтому ее суммарный возраст равен 41(x + y). Получим уравнение 22x + 47y = 41(x + y). Упростив его, получим, что 6y = 19x. Доля чиновников, выраженная в процентах, равна:

2.2.

Так как САВ = СВА = 60°, то KMА = LMВ = 30° (рис. 2).

Рис. 2

Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла величиной 30°, равен половине гипотенузы, поэтому

Следовательно, В равнобедренном треугольнике CKL угол KCL равен 60°, поэтому этот треугольник — равносторонний, то есть

Комментарий. В заключительной фазе решения можно было рассуждать и по-другому: ∆АМK = ∆BML (по гипотенузе и острому углу), значит, MK = ML. Тогда в равнобедренном треугольнике KML:

KML = 120°, MKL = MLK = 30°.

Следовательно, CKL = СLK = 60° (непосредственный подсчет или использование параллельности прямых KL и АВ).

2.3. Нет, не могло.

В турнире было сыграно шесть партий, из которых четыре закончились вничью, значит, результативных партий было всего две. Каждый участник провел три партии, поэтому Вилли, набравший пол-очка, двум различным соперникам проиграл. Таким образом, эти соперники взяли по одному очку в партиях с Вилли и еще по две партии сыграли вничью, то есть набрали по два очка. Это и есть лучший результат, так как оставшийся игрок все три партии свел вничью, то есть набрал 1,5 очка.

3.1. За 2 минуты 40 секунд.

Способ I (арифметический). Если оба приятеля едят со скоростью Винни-Пуха, то они съедают мед на 5 минут быстрее, чем если они оба едят со скоростью Пятачка. При этом каждый съедает по половине горшка. Значит, Винни-Пух съедает полгоршка меда на 5 минут быстрее, чем Пятачок. Следовательно, когда они ели вместе и Винни-Пух съел полгоршка, то в горшке оставалось столько меда, сколько Пятачок съест за 5 минут. Но вместе они доели этот остаток за 1 минуту. За это время Пятачок успел съесть остатка, значит, остатка съел Винни-Пух, то есть Винни-Пух ест мед в 4 раза быстрее Пятачка. Таким образом, когда Винни-Пух съел половину горшка, Пятачок съел от половины, а на оставшиеся от половины горшка ему нужно было еще 5 минут. Следовательно, на половину горшка Пятачку нужно минуты. Если бы оба ели со скоростью Пятачка, то за это время они съели бы весь мед. Но по условию они съели его на 4 минуты быстрее, то есть за 2 минуты 40 секунд.

Способ II (алгебраический). Пусть за минуту Винни-Пух съедает m кг меда, Пятачок — n кг, а процесс их совместной еды длится t минут. Тогда из условия задачи получим два уравнения:

(m + n)t = 2n(t + 4) и (m + n)t = 2m(t – 1).

После преобразований первого уравнения: (m – n)t = 8n, а второго: (m – n)t = 2m.
Тогда m = 4n, то есть Винни-Пух ест мед в 4 раза быстрее, чем Пятачок. Подставив полученный результат, например, в первое уравнение, получим:

3.2. Возможны два случая расположения данных точек, поскольку отрезки АВ и CD могут лежать в разных полуплоскостях относительно прямой ВС или в одной полуплоскости.
В первом случае (рис. 3) треугольники АВС и DCB равны по трем сторонам, следовательно, АВС = DCB. Так как эти углы внутренние накрест лежащие для прямых АВ и CD и секущей ВС, то АВ CD.

Комментарий. Отметим, что в этом случае можно также доказать, что АС BD. Для этого достаточно из равенства уже рассмотренных треугольников получить, что АСB = DBC. Во втором случае (рис. 4) треугольники АВС и DCB также равны по трем сторонам. Кроме того, эти треугольники — равнобедренные, поэтому

BAC = BCA = CBD = CDB.

Заметим также, что треугольники ACD и DBA равны (по трем сторонам), следовательно,
CAD = ВDА. Пусть О — точка пересечения АС и BD. Тогда треугольники AOD и BOC — равнобедренные с равными (вертикальными) углами при вершинах, следовательно и с равными углами при основаниях. Используя любое из равенств:

CAD = ACB или ADB = CBD,

по признаку параллельности прямых получим, что AD BC.

3.3. 7 x 13 или 1 x 91.

Пусть в данном прямоугольнике n строк и m столбцов. Тогда внутри прямоугольника проходят (n – 1) горизонтальных линий сетки и (m – 1) вертикальных. Далее можно рассуждать по-разному.

Способ I. Горизонтальные и вертикальные линии пересекаются в (n – 1)(m – 1) точках, которые и являются узлами сетки, лежащими внутри прямоугольника. Каждая горизонтальная линия внутри прямоугольника делится вертикальными на m единичных отрезков, то есть количество горизонтальных единичных отрезков внутри прямоугольника равно m(n – 1). Аналогично, каждая вертикальная линия внутри прямоугольника делится на n единичных отрезков, то есть количество вертикальных единичных отрезков внутри прямоугольника равно n(m – 1). По условию

(n – 1)(m – 1) + 90 = m(n – 1) + n(m – 1).

Раскрыв скобки и приведя пдобные слагаемые, получим, что nm = 91.
Поскольку 91 = 713 = 191, то возможны два варианта ответа.

Способ II. Из каждого узла сетки, лежащего внутри прямоугольника, проведем вверх единичный вертикальный отрезок (рис. 5). Тогда количество проведенных отрезков равно количеству узлов. Остались не проведенными (n – 1) горизонтальных рядов по m единичных отрезков в каждом и еще (m – 1) вертикальных отрезков.
Таким образом, (n – 1)m + (m – 1) = 90, то есть nm = 91. Дальнейшее решение уже описано.

Рис. 5

4.1. ±0,2.

Способ I. Модули двух чисел равны тогда и только тогда, когда эти числа равны или противоположны, то есть

65x³ + 12x = 48x² + 1 или 65x³ + 12x = –48x² – 1.

В первом случае:

65x³ – 48x² + 12x – 1 = 0

x³ + (64x³ – 48x² + 12x – 1) = 0

x³ + (4x – 1)³ = 0 Û (4x – 1)³ = (–x)³

4x – 1 = –x x = 0,2.

Во втором случае:

65x³ + 48x² + 12x + 1 = 0

x³ + (64x³ + 48x² + 12x + 1) = 0

x³ + (4x +1)³ = 0 (4x + 1)³ = (–x)³

4x + 1 = –x x = – 0,2.

Способ II. 1. Если x ≥ 0, то уравнение примет вид:

65x³ + 12x = 48x² + 1.

Пусть тогда

y³ – 12y² + 48y – 65 = 0

y³ – 5y² – 7y² + 35y + 13y – 65 = 0

y²(y – 5) – 7y(y – 5) + 13(y – 5) = 0

(y – 5)(y² – 7y + 13) = 0 y = 5,

так как

Значит, x = 0,2.

2. Если x < 0, то уравнение примет вид:

– 65x³ – 12x = 48x² + 1.

Пусть тогда

y³ + 12y² + 48y + 65 = 0

y³ + 5y² + 7y² + 35y + 13y + 65 = 0

y²(y + 5) + 7y(y + 5) + 13(y + 5) = 0

(y + 5)(y² + 7y + 13) = 0 y = 5,

так как

y² + 7y + 13 = y² + 23,5y + 12,25 + 0,75 = (y + 3,5)² + 0,75 > 0.

Значит, x = –0,2.

4.2. 45° или 135°.

Пусть треугольник АВС — остроугольный, то есть точка Н лежит внутри треугольника (рис. 6). Заметим, что

ACQ = 90°– QAC = 90°– BAP = ABP.

Тогда прямоугольные треугольники ACQ и HBQ равны по гипотенузе и острому углу
(АС = =НВ — по условию и ACQ =HBQ — по доказанному). Следовательно, CQ = BQ, то есть треугольник QBC — прямоугольный и равнобедренный. В таком треугольнике углы при основании равны 45°, поэтому AВC = 45°.

Рис. 6

В случае, если треугольник АВС — тупоугольный и точка Н лежит вне треугольника (рис. 7), рассуждения аналогичны. Разница состоит в том, что угол QBC, равный 45°, является внешним углом треугольника АВС, поэтому AВC = 135°.

Комментарий. Для учащихся, знакомых с теоремой о средней линии треугольника, признаками параллелограмма, теоремой об окружности, описанной около треугольника, и свойством углов, вписанных в окружность, можно предложить и другое решение, основанное на следующей лемме.

Рис. 7

Пусть Н — точка пересечения высот треугольника АВС, О — центр описанной около него окружности, а В₁ — середина стороны АС. Тогда BH = 2OB₁ (рис. 8).

Рис. 8

Для доказательства введем следующие обозначения: R — середина отрезка ВН, Т — середина отрезка СН, А₁ — середина отрезка ВС.
В треугольнике ВНС отрезок А₁Т является средней линией, поэтому А₁Т BH. Отрезок А₁R — также средняя линия этого треугольника, значит, А₁R CH. Следовательно, четырехугольник RHTА₁ — параллелограмм и BR = RH = A₁T. Параллелограммом будет являться и четырехугольник OB₁TA₁. Действительно, О — центр окружности, описанной около треугольника АВС, значит, ОА₁ и ОВ₁ — серединные перпендикуляры к сторонам ВС и АС соответственно. A₁T BP, BP AC, следовательно, A₁T AC.
Таким образом, A₁T ОВ₁. Кроме того, В₁Т — средняя линия треугольника АНС, значит, В₁Т АН. Так как три высоты треугольника пересекаются в одной точке, то АН BC, значит, и В₁Т BC, тогда В₁Т OA₁. Таким образом, получим, что

Применим доказанную лемму к нашей задаче. Так как то медиана ОВ₁ треугольника АОС равна половине стороны АС, к которой проведена. Следовательно, треугольник АОС — прямоугольный (АОС = 90°; рис. 9 и 10).

Рис. 9

Далее возможны два случая: точки О и В расположены в одной полуплоскости относительно прямой ВС (см. рис. 9) или в разных полуплоскостях (см. рис. 10). По теореме об угле, вписанном в окружность, в первом случае

а во втором случае

Рис. 10

4.3. Четыре цифры.

Из условия задачи следует, что «хорошие» цифры не могут быть крайними. Кроме того, соседи «хороших» цифр не могут быть «хорошими», так как «хорошая» цифра должна быть больше каждого из своих соседей (ноль рядом с «хорошей» цифрой стоять не может, иначе «хорошая» цифра будет равна другой соседней, а по условию все цифры различны).

Таким образом, в числе может быть не более четырех «хороших» цифр. Пример: 1439682750 («хорошие» цифры выделены жирным шрифтом).

Комментарий. При построении примера, помимо указанных соображений, полезно учесть еще и такие:

а) ноль должен стоять в конце десятичной записи числа;

б) цифры 1 и 2 «хорошими» быть не могут, а цифры 8 и 9 обязаны быть «хорошими».

Существует всего шесть чисел, состоящих из различных цифр, с четырьмя «хорошими» цифрами (три пары симметричных, если отбросить ноль): 1439682750 и 5728693410; 1547396820 и 2869374510; 7813264950 и 5946231870.

Блинков А., Блинков Ю., Френкин Б., Чулков П., Шноль Д.