«Жесткие» и «мягкие» математические модели

Примером жесткой модели является таблица умножения. Простейший пример мягкой модели — принцип «чем дальше в лес, тем больше дров». Возможность полезной математической теории мягких моделей открыта относительно недавно. В докладе на простейших примерах будет показано, как эта теория может применяться в экономических, экологических и социологических моделях.

1. Модель войны или сражения

В простейшей модели борьбы двух противников (скажем, двух армий) — модели Ланкастера — состояние системы описывается точкой (x; y) положительного квадранта плоскости. Координаты этой точки, x и y — это численности противостоящих армий. Модель имеет вид

Здесь à — мощность оружия армии x, а b — армии y. Попросту говоря, предполагается, что каждый солдат армии x убивает за единицу времени a солдат армии y (и, соответственно, каждый солдат армии y убивает b солдат армии x). Точка над буквой здесь и далее обозначает производную по времени t, то есть скорость изменения обозначенной буквой величины.

Это — жесткая модель, которая допускает точное решение:

Эволюция численностей армий x и y происходит вдоль гиперболы, заданной этим уравнением (рис. 1). По какой именно гиперболе пойдет война, зависит от начальной точки.

Рис. 1 Жесткая модель войны

Эти гиперболы разделены прямой Если начальная точка лежит выше этой прямой (случай 1 на рис. 1), то гипербола выходит на ось y.
Это значит, что в ходе войны численность армии x уменьшается до нуля (за конечное время). Армия y выигрывает, противник уничтожен.

Если начальная точка лежит ниже (случай 2), то выигрывает армия y. В разделяющем эти случаи состоянии (на прямой) война заканчивается ко всеобщему удовлетворению истреблением обеих армий. Но на это требуется бесконечно большое время: конфликт продолжает тлеть, когда оба противника уже обессилены.

Вывод модели таков: для борьбы с вдвое более многочисленным противником нужно в четыре раза более мощное оружие, с втрое более многочисленным — в девять раз и т.д. (на это указывают квадратные корни в уравнении прямой).

Ясно, однако, что наша людоедская модель сильно идеализирована и было бы опасно прямо применять ее к реальной ситуации. Возникнет вопрос — как изменится вывод, если модель будет несколько иной. Например, коэффициенты a и b могут быть не строго постоянными, а могут, скажем, зависеть от x и от y. И точный вид этой зависимости нам может быть неизвестен.

В этом случае речь идет о системе

которая уже не решается явно.

Однако в математике разработаны методы, позволяющие сделать выводы общего характера, и не зная точно явного вида функций a и b. В этой ситуации принято говорить о мягкой модели — модели, поддающейся изменениям (за счет выбора функций a и b в нашем примере).

Общий вывод в данном случае есть утверждение о структурной устойчивости исходной модели: изменение функций a и b изменит описывающие ход военный действий кривые на плоскости (x; y) (которые уже не будут гиперболами и разделяющей их прямой), но это изменение не затрагивает основного качественного вывода.

Вывод этот состоял в том, что положения «x выигрывает» и «y выигрывает» разделены нейтральной линией «обе армии уничтожают друг друга за бесконечное время».

Математики говорят, что топологический тип системы на плоскости (x; y) не меняется при изменении функций a и b: оно приводит лишь к искривлению нейтральной линии (рис. 2).

Рис. 2 Мягкая модель войны

Этот математический вывод не самоочевиден. Можно представить себе и другую ситуацию, например, изображенную на рисунке 3. Математическая теория структурной устойчивости утверждает, что эта ситуация не реализуется, во всяком случае для не слишком патологических функций a и b (скажем, она не реализуется, если это положительные в нуле многочлены).

Рис. 3 Нереализуемая модель войны

Мы можем сделать вывод о качественной применимости простейшей модели войны для приближенного описания событий в целом классе моделей, причем для этого даже не нужно знать точного вида жесткой модели: выводы справедливы для мягкой модели. На самом деле простейшая модель дает даже полезное количественное предсказание: наклон разделяющей нейтральной прямой в нуле определяется формулой где a и b — значения коэффициентов в нуле.

То есть принцип: «если противников вдвое больше, то надо иметь в четыре раза более мощное оружие», справедлив на конечном этапе взаимного истребления, в то время как на начальном этапе войны число 4 нужно, быть может, откорректировать (учитывая вид коэффициентов a и b). Для этой корректировки в математике мягких моделей тоже разработаны эффективные методы (несмотря на то, что явная формула решения уравнений модели не только неизвестна, но и — это строго доказано — не существует вовсе).

Можно думать, что описанная модель отчасти объясняет как неудачи Наполеона и Гитлера, так и успех Батыя и надежды мусульманских фундаменталистов.

2. Оптимизация как путь к катастрофе

Простейшая модель роста предложена Мальтусом (для роста населения Земли). Она ведет, как хорошо известно, к экспоненциальному (то есть очень быстрому) росту населения x с течением времени. Эта жесткая модель применима (разумеется, с оговорками), например, к развитию науки в 1700– 1950 годах (измеряемому, скажем, числом научных статей) (рис. 4). Продолжение экспоненциального роста науки в следующий век быстро привело бы к исчерпанию бумаги и чернил, причем число ученых должно было бы достичь половины населения земного шара.

Рис. 4 Рост науки

Ясно, что общество (во всех странах) не может этого допустить, и следовательно, развитие науки должно быть подавлено (что мы и наблюдаем во многих странах; в России реформирование академической науки происходит как раз сейчас).

Аналогичные явления насыщения происходят в любой популяции (и, вероятно, вскоре произойдут с человечеством в целом): когда население становится слишком большим, мальтусовская жесткая модель с постоянным коэффициентом роста k перестает быть применимой. Естественно, при слишком больших x конкуренция за ресурсы (пищу, гранты и т.д.) приводит к уменьшению k, и жесткая модель Мальтуса должна быть заменена мягкой моделью

с зависящим от населения коэффициентом размножения. Простейшим примером является выбор k(x) = a – bx, что приводит к так называемой логической модели (рис. 5):

например,

Выбором системы единиц x и t можно превратить коэффициенты a и b в 1. Подчеркну, однако, что выводы, которые будут сделаны ниже, остаются (с точностью до числовых значений констант) справедливыми и при любых значениях коэффициентов a и b для широкого класса моделей с различными (убывающими с x) функциями k(x). Иными словами, дальнейшие выводы относятся ко всей мягкой модели, а не к специально жесткой логистической модели.

Рис. 5 Логистическая модель

На рисунке 5 слева изображен график функции k(x)x, положительной между точками A и B. В центре изображено векторное поле¹ на изображающей всевозможные состояния системы оси x. Оно указывает скорость эволюции состояния. В точках A и B скорость равна нулю: это стационарные состояния. Между A и B скорость положительна (население растет), а за точкой B — отрицательна (население убывает). Справа изображена результирующая зависимость населения от времени при разных начальных условиях.

Модель предсказывает, что с течением времени устанавливается стационарный режим B, который устойчив: большее население уменьшается, меньшее — увеличивается.

Логистическая модель удовлетворительно описывает многочисленные явления насыщения. Вблизи A, когда население мало, она очень близка к мальтузианской модели. Но при достаточно больших x (порядка при нашем выборе коэффициентов) наблюдается резкое отличие от мальтузианского роста (обозначенного на рис. 5 пунктиром): вместо ухода x на бесконечность, население приближается к стационарному значению B.
Население Земли сейчас приближается к 6 миллиардам. Стационарное значение (по разным оценкам) 16–20 миллиардов человек.

Логистическая модель является обычной в экологии. Можно себе представить, например, что x — это количество рыб в озере или в мировом океане. Посмотрим теперь, как скажется на судьбе этих рыб рыболовство с интенсивностью c:

Вычисления показывают, что ответ резко меняется при некотором критическом значении квоты вылова, c. Для нашей жесткой модели это критическое значение есть но аналогичные явления имеют место и для мягкой модели

(критическое значение c в этом случае — максимум функции k(x)x).

Ход эволюции числа рыб x с течением времени t изображен на рисунке 6. Если квота c мала, то изменения (по сравнению со свободной популяцией, для которой c = 0)
состоят в следующем.

Рис. 6 Недолов (а), перелов (б) и оптимизация (в) рыболовства

Система имеет два равновесных состояния, A и B. Состояние B устойчиво: популяция в этом случае несколько меньше, чем необлавливаемая, но она восстанавливается при малых отклонениях x от равновесного значения B.

Состояние A неустойчиво: если вследствие каких-либо причин (скажем, браконьерства или мора) размер популяции упадет хоть немного ниже уровня A, то в дальнейшем популяция (хоть и медленно, если отличие от A невелико) будет уничтожена полностью за короткое время.

По моему мнению, состояние науки в России в настоящее время описывается примерно точкой A: оно еще стационарно, но, как говорят физики, квазистационарно в том смысле, что небольшое встряхивание может легко привести к необратимому уничтожению.

При больших критических квотах вылова c популяция x уничтожается за конечное время, как бы велика она ни была в начальный момент.

Это — судьба мамонтов, бизонов, многих китов: экологи подсчитали, сколько видов погибает ежедневно под влиянием деятельности человека, и эти цифры ужасают. Модели этого рода описывают также банкротство фирм, концернов и государств. Опасность уничтожения в нашей модели появляется тогда, когда неустойчивое состояние A приближается к устойчивому состоянию B, то есть когда величина x опускается примерно до половины исходной стационарной величины необлавливаемой популяции.

Население России, мне кажется, еще не понизилось до этого смертельно опасного уровня, но, по-видимому, движется к нему. Наука же в России находится в настоящее время именно в таких условиях «перелова». Например, заработная плата главного научного сотрудника в Математическом институте им. Стеклова РАН (каковым я являюсь) составляет менее 100 долларов в месяц. Это раз в сто меньше зарплаты моих коллег в США (и раз в 50 меньше, чем во Франции). Понятно, что в таких условиях величина c (скорость убыли числа ученых в России) ограничивается в основном дискриминационными мерами, принимаемыми Западом (например, США) для охраны своих рабочих мест от наплыва лучше подготовленных иностранных аспирантов и докторантов (в основном из Китая и России).

Из сказанного видно, что выбор значения параметра c является чрезвычайно важным моментом управления эксплуатацией популяции x. Стремясь к увеличению квоты эксплуатации c, разумная планирующая организация не должна превосходить критический уровень (в нашем случае ). Оптимизация приводит к выбору именно критического значения при котором эксплуатируемая популяция еще не уничтожается, но доход от эксплуатации за единицу времени достигает максимально возможного значения (больший доход в нашей популяции в течение длительного времени невозможен, так как максимальная скорость прироста даже и неэксплуатируемой популяции есть ).

Из нижней части рисунка 6 мы видим, что произойдет при таком «оптимальном» выборе, . Какова бы ни была начальная популяция с течением времени она выйдет на стационарный режим Эта стационарная популяция, однако, неустойчива. Небольшое случайное уменьшение x приводит к полному уничтожению популяции за конечное время.

Следовательно, оптимизация параметров плана может приводить (и приводит во многих случаях, из которых наша модель — лишь простейший пример) к полному уничтожению планируемой системы вследствие возникающей из-за оптимизации неустойчивости.

Наша мягкая модель, при всей своей очевидной примитивности, позволяет, однако, предъявить способ борьбы с указанным злом. Оказывается, устойчивость восстанавливается, если заменить жесткое планирование обратной связью. Иными словами, решение о величине эксплуатации (квоты вылова, налогового пресса и т.д.) следует принимать не директивно (c = const), а в зависимости от достигнутого состояния системы:

c = kx,

где параметр k («дифференциальная квота») подлежит выбору.

В этом случае модель принимает вид (рис. 7)

Рис. 7 Устойчивая система с обратной связью

При k < 1 с течением времени устанавливается стационарное состояние B, которое устойчиво. Средний многолетний «доход» c = kx в этом состоянии оптимален, когда прямая y = kx проходит через вершину параболы y = x – x², то есть при При этом выборе дифференциальной квоты k средний «доход» достигает максимально возможного в нашей системе значения. Но, в отличие от жестко планируемой системы, система с обратной связью устойчива и при оптимальном значении коэффициента k (небольшое случайное уменьшение по отношению к стационарному уровню x = B приводит к автоматическому восстановлению стационарного уровня силами самой системы).

Более того, небольшое отклонение коэффициента от оптимального значения приводит не к самоуничтожению системы (как это было при небольшом отклонении от оптимального жесткого плана c), а лишь к небольшому уменьшению «дохода».

Итак, введение обратной связи (то есть зависимости принимаемых решений от реального состояния дел, а не только от планов) стабилизирует систему, которая без обратной связи разрушилась бы при оптимизации параметров.

Все сказанное выше останется справедливым и для мягкой модели (с соответствующим пересчетом коэффициентов). Следует подчеркнуть, что именно эта независимость от деталей жесткой модели (которые, как правило, не слишком хорошо известны) делает выводы мягкого моделирования полезными.

Попытки заменить мягкое моделирование жестким обычно приводят к иерархии все более сложных и громоздких математических построений, исследование которых доставляет прекрасный материал для большого количества диссертаций, но реальная ценность которых зачастую не превосходит в сущности простых (хотя без математики и не очевидных) выводов, основанных на анализе именно простейших моделей, подобных описанной выше.

3. Жесткие модели как путь к ошибочным предсказаниям

Важно, чтобы простейшая модель была структурно устойчивой, то есть чтобы выводы выдерживали малое изменение параметров и функций, описывающих модель. Описанная выше модель обладает этим свойством структурной устойчивости. Пример модели, не обладающей этим свойством, — знаменитая модель Лотка–Вольтерра борьбы за существование (рис. 8),

В этой модели x — число карасей, y — число щук (желающие могут считать, что x — трудящиеся, а y — организованные преступники). Коэффициент a описывает скорость естественного прироста числа карасей в отсутствие щук, b — естественное вымирание щук, лишенных карасей. Вероятность взаимодействия карася и щуки считается пропорциональной как количеству карасей, так и числу щук (xy). Каждый акт взаимодействия уменьшает популяцию карасей, но способствует увеличению популяции щук (члены –cxy и dxy в правой части уравнения).

Рис. 8 Эволюция популяций карасей и щук в модели Лотка-Вольтерра

Математический анализ этой (жесткой) модели показывает, что имеется стационарное состояние (A на рис. 8), всякое же другое начальное состояние (B) приводит к периодическому колебанию численности как карасей, так и щук, так что по прошествии некоторого времени система возвращается в состояние B.

При малом изменении модели

к правым частям добавляются малые члены (учитывающие, например, конкуренцию карасей за пищу и щук за карасей). В результате вывод о периодичности (возвращении системы в исходное состояние B), справедливый для жесткой системы Лотка–Вольтерра, теряет силу. В зависимости от вида малых поправок f и g возможны, например, сценарии 1–3 рисунка 9 (которые уже структурно устойчивы).

Рис. 9 Мягкая структурно устойчивая модель борьбы за существование

В случае 1 равновесное состояние A устойчиво. При любых других начальных условиях через большое время устанавливается именно оно.

В случае 2 система «идет вразнос». Стационарное состояние неустойчиво. Эволюция приводит то к резкому увеличению числа бандитов, то к их почти полному вымиранию (вследствие того, что они настолько ограбили трудящихся, что взять уже нечего). Такая система в конце концов попадает в область столь больших или столь малых значений x и y, что модель перестает быть применимой: происходит изменение законов эволюции, то есть революция.

В случае 3 в системе с неустойчивым стационарным состоянием A устанавливается с течением времени периодический режим C (в котором, скажем, радикалы и консерваторы периодически сменяют друг друга). В отличие от исходной жесткой модели Лотка–Вольтерра, в этой модели установившийся периодический режим не зависит от начального уровня. Первоначально незначительное отклонение от стационарного состояния A приводит не к малым колебаниям около A, как в модели Лотка–Вольтерра, а к колебаниям вполне определенной (и не зависящей от малости отклонения) амплитуды. Возможны и другие структурно устойчивые сценарии (например, с несколькими периодическими режимами).

Вывод. Жесткую модель всегда надлежит исследовать на структурную устойчивость полученных при ее изучении результатов по отношению к малым изменениям модели (делающим ее мягкой).

В случае модели Лотка–Вольтерра для суждения о том, какой же из сценариев 1– 3 (или иных возможных) реализуется в данной системе, совершенно необходима дополнительная информация о системе (о виде малых поправок f и g в нашей формуле). Математическая теория мягких моделей указывает, какую именно информацию для этого нужно иметь. Без этой информации жесткая модель может привести к качественно ошибочным предсказаниям. Доверять выводам, сделанным на основании жесткой модели, можно лишь тогда, когда они подтверждаются исследованием их структурной устойчивости.

---

* Эта статья представляет собой текст доклада, сделанного академиком В.И. Арнольдом в 1997 году на семинаре при Президентском Совете РФ.

¹ Именно, в каждой точке, изображающей состояния, приложен вектор скорости изменения этого состояния, то есть См., например [10], с. 32.

Арнольд В.